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Autor Tema: Homeomorfismo  (Leído 98 veces)
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Anasanchez
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« : 25/10/2018, 05:42:11 pm »

Hola necesito ayuda con este ejercicio: encontrar un homeomorfismo entre

[texx] \{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}/S^1[/texx]

y un subespacio de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] o [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Demostrar porque es homeomorfismo
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 26/10/2018, 03:37:39 am »

Hola

Hola necesito ayuda con este ejercicio: encontrar un homeomorfismo entre

[texx] \{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}/S^1[/texx]

y un subespacio de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] o [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Demostrar porque es homeomorfismo

Por favor, Anasanches, cuida la escritura de las fórmulas poniéndolas en LaTeX. He corregido tu mensaje.

Entiendo que:

[texx] \{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}/S^1[/texx]

se refiere al espacio cociente de [texx]X=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}[/texx] donde se identifican los puntos de la circunferencia [texx]S^1[/texx].

Iniutivamente si en una corona circular colapsas a un punto una de las circunferencias frontera te queda un disco.

Puedes definir entonces la siguiente aplicación:

[texx]f:X\longrightarrow{}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq \dfrac{1}{4}\}[/texx] (sobre el disco cerrado [texx]D((0,0),1/2)[/texx])

en polares como:

[texx]f(r,\theta)=(1-r,\theta)[/texx]

o en cartesianas:

[texx]f(x,y)=\dfrac{(x,y)}{\|(x,y)\}}\cdot (1-\|(x,y)\|[/texx]

Comprueba que es:

- Continua, sobreyectiva, inyectiva en [texx]X-\{S^1\}[/texx] y [texx]f(S^1)=\{(0,0)\}[/texx].

Deduce que pasa al cociente a una aplicación continua y biyectiva:

[texx]\bar f:X/S^1\longrightarrow{}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq \dfrac{1}{4}\},\qquad \bar f([(x,y)])=f(x,y)[/texx]

Para ver que es homemorfismo comprueba que es cerrada. Para ello puedes usar el siguiente argumento: [texx]X/S^1[/texx] es compacto por ser cociente de un compacto. Un cerrado [texx]A[/texx] en un compacto es compacto; la imagen continua de un compacto es compacta; y un compacto dentro de un Hausdorf es cerrado.

Saludos.
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