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Autor Tema: Calcular el grupo fundamental de los siguientes toros de mapeo.  (Leído 166 veces)
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Squee
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« : 30/09/2018, 07:51:07 am »

Antes que nada, mil disculpas si no uso terminología estandar, mi libro esta en inglés y no se si estaré traduciendo bien.

Asumo que todas mis funciones son continuas.
 
El toro de mapeo [texx]T_{f}[/texx] de [texx]f:X \rightarrow X[/texx] es el cociente de [texx]X \times I[/texx] obtenido al identificar cada punto[texx](x,0)[/texx] con [texx](f(x),1)[/texx].

a) En el caso de [texx]X = S^{1} \wedge S^{1}[/texx] con [texx]f[/texx] que preserve el punto base, calcule una presentación de [texx]\pi_{1} (T_{f})[/texx] en terminos del mapeo inducido [texx]f_{*}: \pi_{1} (X) \rightarrow \pi_{1} (X)[/texx].
b) Lo mismo que el ejercicio a) pero con [texx]X= S^{1} \times S^{1}[/texx] un toro.
Pista: Una forma de hacer esto es construir [texx]T_{f}[/texx] a partir de [texx]X \wedge S^{1}[/texx] pegandole celulas.


a) Llamamos [texx]a,b[/texx] con punto base en común [texx]x_{0}[/texx] a los bucles generadores en [texx]X[/texx].
Mi idea es armar un 1-esqueleto [texx]T_{1}[/texx] en el que haya una copia de [texx]X[/texx] correspondiendo a [texx]X \times 1/2[/texx] y una copia de [texx]f(X)[/texx] correspondiente a [texx](0,x) \sim (1,f(x))[/texx]. Además de eso, les pego el circulo en [texx](1/2,x_{0})[/texx]  y [texx](0,x_{0})[/texx] respectivamente.

Sean [texx]\gamma_{1} : I \rightarrow T_{1}  [/texx] dado por [texx]\gamma_{1} (t) = (t,x_{0})[/texx] y [texx]\gamma_{1} : I \rightarrow T_{2}  [/texx] dado por [texx]\gamma_{2} (t) = (1-t,x_{0})[/texx]

A [texx]\pi_{1} (T_{1})[/texx] lo generan las clases de [texx]a,b, \gamma_{1} \overline{\gamma_{2}},  \gamma_{2} \overline{\gamma_{1}} ,\gamma_{1} f(a) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{1}}   [/texx]

No estoy seguro de si tengo redudancia de generadores.

Mi idea siguiente es construir el grupo de [texx]T_{f}[/texx] agregando las cuatro celulas dos dimensionales pegadas en:
[texx]a \gamma_{1} f(a) \overline{\gamma_{1}}[/texx]
[texx]a \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{2}}[/texx]
[texx]b \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{1}}[/texx]
[texx]b \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{2}}[/texx]
Y por ende cocientar el grupo generado por los elementos anteriores para obtener una presentación de mi grupo. Claramente la clase de, por ejemplo, [texx]\gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{2}}[/texx] es [texx]\[ \gamma_{2} \]  f_{*} \[ b \]  \[ \gamma_{2} \]^{-1}[/texx] por lo que cumpliría con el enunciado.

Creo que debo haber sobrecomplicado el asunto así que decidí postearlo a ver si alguién puede ayudarme y echarle un poco de luz al asunto.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 01/10/2018, 07:51:24 am »

Hola

Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/180625/hatcher-problem-1-2-11-cell-decomposition-of-mapping-torus-t-f-of-s1-times

Saludos.

 
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