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Autor Tema: Ejercicios con recta tangente y derivadas.  (Leído 1365 veces)
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mgb
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« : 10/10/2018, 06:44:43 pm »

Buenas tardes estos ejercicios son parecidos pero me cuestan mucho o no me salen. Quería pedir si tienen consejos de como encararlos o si tienen un modo de resolver parecido. Mañana tengo el parcial y es el único tema que lo tengo  :BangHead:. Pienso que el segundo lo hice bien solo pude compararlo con un compañero y a el no le dio lo mismo, agradecería mucho si lo revisan.

1)Sea [texx]y=2x+3[/texx] la recta tangente a una funcion [texx]g[/texx] en [texx]x=-2[/texx]. Sea
[texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}/f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}[/texx] Calcular [texx](fog)´(-2)[/texx]

2)Sea la funcion [texx]h(x)=f(x).g(x)[/texx] , donde [texx]g(x)=\displaystyle\frac{e^x}{2x-3}[/texx]  y sabemos que la recta tangente a f en el punto de abscisa [texx]x=1[/texx]   es [texx]y=-3x+5[/texx] . Calcular [texx]h´(1)[/texx]

3)Hallar el valor de "a" para que la curva [texx]x^2+y^2-x.y=a[/texx] tenga recta tangente horizontal en un punto de abscisa [texx]x=2[/texx] . Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.

El segundo lo resolvi asi:
Por producto de derivadas 
[texx]h´(x)=f´(x).g(x)+f(x).g´(x)[/texx]

[texx]h´(1)=f´(1).g(1)+f(1).g´(1)[/texx]

Con la recta  [texx]y=-3x+5[/texx]  hallo [texx]f(1)=2 [/texx]  y [texx]f´(1)=-3[/texx] . Luego [texx]g(1)=-e[/texx] y [texx]g´(1)=-5.43[/texx]


Reemplazo y termino el problema

[texx]h´(1)=(-3).(-2.71)+2.(-5.43)=-2.73[/texx]

Para realizar estos ejercicios lo que uso es producto de derivadas genéricamente, la ecuación de la recta tangente genérica otras herramientas que uso y conozco son ecuación de la recta normal,derivación implícita y gráficos.¿Hay algo que me este faltando? Aveces siento que me faltan conocimientos básicos. Muchas gracias por leer.
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« Respuesta #1 : 10/10/2018, 08:17:39 pm »

Hola

Te ayudo con el primero:

1)Sea [texx]y=2x+3[/texx] la recta tangente a una funcion [texx]g[/texx] en [texx]x=-2[/texx]. Sea
[texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}/f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}[/texx] Calcular [texx](fog)´(-2)[/texx]

Identifiquemos las funciones. Si nos dicen que una función es una recta tangente en un punto, nos dan el dato de su derivada. Es decir, [texx]y_t=g'(x)[/texx]. Reemplazando, [texx]g'(x)=2x+3[/texx].

La otra función [texx]f(x)[/texx] es conocida.

Para calcular [texx](f\circ g)'(x)[/texx] es lo mismo que decir [texx][g\big(f(x)\big)]'(x)[/texx] y, por la regla de la cadena, esto será igual a

[texx][g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)](x)[/texx].

Una vez que calcules todo recién ahí reemplazá a [texx]x[/texx] por [texx]-2[/texx].

Nota. Podemos aplicar la regla de la cadena pues por enunciado sabemos que [texx]g[/texx] es derivable en [texx]x=-2[/texx] y [texx]f[/texx] admite derivada también en ese punto pues en [texx]x=-2[/texx] la función derivada es continua.

Saludos
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« Respuesta #2 : 10/10/2018, 08:20:34 pm »

Hola

Te ayudo con el primero:

Saludos

Que fácil lo haces parecer, supongo que me falta practica, gracias.
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sugata
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« Respuesta #3 : 10/10/2018, 08:49:19 pm »

¡¡Cuidado!!
Que una recta sea tangente a una curva no implica que sea su derivada.
Tenemos [texx]y=2x+3[/texx] es tangente a g en [texx]x=-2[/texx], de ésto tenemos [texx]g^{\prime} (-2)=2[/texx] y [texx] g(-2)=-1[/texx]
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« Respuesta #4 : 10/10/2018, 08:55:01 pm »

¡¡Cuidado!!
Que una recta sea tangente a una curva no implica que sea su derivada.
Tenemos [texx]y=2x+3[/texx] es tangente a g en [texx]x=-2[/texx], de ésto tenemos [texx]g^{\prime} (-2)=2[/texx] y [texx] g(-2)=-1[/texx]
Muchas gracias, lo tendré en cuenta.
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« Respuesta #5 : 10/10/2018, 09:16:12 pm »

Hola

Revisando el 2)

2)Sea la funcion [texx]h(x)=f(x).g(x)[/texx] , donde [texx]g(x)=\displaystyle\frac{e^x}{2x-3}[/texx]  y sabemos que la recta tangente a f en el punto de abscisa [texx]x=1[/texx]   es [texx]y=3x-7[/texx] . Calcular [texx]h´(1)[/texx]


El segundo lo resolvi asi:
Por producto de derivadas 
[texx]h´(x)=f´(x).g(x)+f(x).g´(x)[/texx]

[texx]h´(1)=f´(1).g(1)+f(1).g´(1)[/texx]

Con la recta  [texx]y=-3+5[/texx]  hallo [texx]f(1)=2 [/texx]  y [texx]f´(1)=-3[/texx] . Luego [texx]g(1)=-e[/texx] y [texx]g´(1)=-5.43[/texx]


Reemplazo y termino el problema

[texx]h´(1)=(-3).(-2.71)+2.(-5.43)=-2.73[/texx]

Para realizar estos ejercicios lo que uso es producto de derivadas genéricamente, la ecuación de la recta tangente genérica otras herramientas que uso y conozco son ecuación de la recta normal,derivación implícita y gráficos.¿Hay algo que me este faltando? Aveces siento que me faltan conocimientos básicos. Muchas gracias por leer.

Hasta la ecuación pintada de azul es correcto. La recta tangente a f en el punto cuya abscisa es [texx]x=1[/texx], es la recta [texx]y=3x-7[/texx], pero utilizas otra recta supongo [texx]y=-3x+5[/texx] ¿Por qué?, la que hay que utilizar es la primera.

Saludos
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« Respuesta #6 : 10/10/2018, 09:16:58 pm »

Hola

¡¡Cuidado!!
Que una recta sea tangente a una curva no implica que sea su derivada.
Tenemos [texx]y=2x+3[/texx] es tangente a g en [texx]x=-2[/texx], de ésto tenemos [texx]g^{\prime} (-2)=2[/texx] y [texx] g(-2)=-1[/texx]

¡Gracias sugata! Estoy despistado.

¿Podemos ayudar a mgb en el ejercicio 3:

3)Hallar el valor de "a" para que la curva [texx]x^2+y^2-x.y=a[/texx] tenga recta tangente horizontal en un punto de abscisa [texx]x=2[/texx] . Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.

diciendo que derive implícitamente la curva, despeje [texx]y'[/texx], reemplace por [texx]x=2[/texx], halle el valor de [texx]y[/texx] y luego encuentre [texx]a[/texx]?

Saludos
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« Respuesta #7 : 10/10/2018, 09:38:49 pm »

Hola

Revisando el 2)

2)Sea la funcion [texx]h(x)=f(x).g(x)[/texx] , donde [texx]g(x)=\displaystyle\frac{e^x}{2x-3}[/texx]  y sabemos que la recta tangente a f en el punto de abscisa [texx]x=1[/texx]   es [texx]y=3x-7[/texx] . Calcular [texx]h´(1)[/texx]


El segundo lo resolvi asi:
Por producto de derivadas 
[texx]h´(x)=f´(x).g(x)+f(x).g´(x)[/texx]

[texx]h´(1)=f´(1).g(1)+f(1).g´(1)[/texx]

Con la recta  [texx]y=-3+5[/texx]  hallo [texx]f(1)=2 [/texx]  y [texx]f´(1)=-3[/texx] . Luego [texx]g(1)=-e[/texx] y [texx]g´(1)=-5.43[/texx]


Reemplazo y termino el problema

[texx]h´(1)=(-3).(-2.71)+2.(-5.43)=-2.73[/texx]

Para realizar estos ejercicios lo que uso es producto de derivadas genéricamente, la ecuación de la recta tangente genérica otras herramientas que uso y conozco son ecuación de la recta normal,derivación implícita y gráficos.¿Hay algo que me este faltando? Aveces siento que me faltan conocimientos básicos. Muchas gracias por leer.

Hasta la ecuación pintada de azul es correcto. La recta tangente a f en el punto cuya abscisa es [texx]x=1[/texx], es la recta [texx]y=3x-7[/texx], pero utilizas otra recta supongo [texx]y=-3x+5[/texx] ¿Por qué?, la que hay que utilizar es la primera.

Saludos
Completa razón, fue mi error copie el enunciado mal, tenia otro ejercicio exactamente igual pero con otros valores. Lo siento.Gracias por la corrección.
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« Respuesta #8 : 10/10/2018, 09:41:30 pm »

Hola

¡¡Cuidado!!
Que una recta sea tangente a una curva no implica que sea su derivada.
Tenemos [texx]y=2x+3[/texx] es tangente a g en [texx]x=-2[/texx], de ésto tenemos [texx]g^{\prime} (-2)=2[/texx] y [texx] g(-2)=-1[/texx]

¡Gracias sugata! Estoy despistado.

¿Podemos ayudar a mgb en el ejercicio 3:

3)Hallar el valor de "a" para que la curva [texx]x^2+y^2-x.y=a[/texx] tenga recta tangente horizontal en un punto de abscisa [texx]x=2[/texx] . Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.

diciendo que derive implícitamente la curva, despeje [texx]y'[/texx], reemplace por [texx]x=2[/texx], halle el valor de [texx]y[/texx] y luego encuentre [texx]a[/texx]?

Saludos
Gracias voy a probar y disculpa fue mi error por confundir los enunciados, ya lo arregle.
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« Respuesta #9 : 10/10/2018, 10:14:21 pm »


¿Podemos ayudar a mgb en el ejercicio 3:

3)Hallar el valor de "a" para que la curva [texx]x^2+y^2-x.y=a[/texx] tenga recta tangente horizontal en un punto de abscisa [texx]x=2[/texx] . Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.

diciendo que derive implícitamente la curva, despeje [texx]y'[/texx], reemplace por [texx]x=2[/texx], halle el valor de [texx]y[/texx] y luego encuentre [texx]a[/texx]?

Saludos
[/quote]

La derivada me quedo  [texx]y´=\displaystyle\frac{-2x+y}{2y+x}[/texx] 
Reemplazo [texx]f´(2)=\displaystyle\frac{-4+y}{2y+2}[/texx]
Con esto que deberia hacer por que deberia despejar[texx] y[/texx] pero me he trabado aqui. :¿eh?:
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« Respuesta #10 : 10/10/2018, 10:56:09 pm »

¿Cuál es la derivada en un punto con tangente horizontal?
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« Respuesta #11 : 10/10/2018, 10:58:44 pm »

¿Cuál es la derivada en un punto con tangente horizontal?

Cuando la pendiente es horizontal es [texx]m=0[/texx]
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« Respuesta #12 : 10/10/2018, 11:18:37 pm »

Pues ya lo tienes. Iguala la derivada a cero y sacas y.
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« Respuesta #13 : 10/10/2018, 11:21:08 pm »

Pues ya lo tienes. Iguala la derivada a cero y sacas y.

Rayos como me cuesta, gracias. Seguire intentando. Muchas gracias
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« Respuesta #14 : 10/10/2018, 11:32:55 pm »

Pues ya lo tienes. Iguala la derivada a cero y sacas y.
Muchas gracias pude hacerlo, me quedo [texx]0=\displaystyle\frac{-4+y}{2(y+1)} [/texx] y eso me dio [texx]y=4[/texx]
Reemplazando en [texx]x^2+y^2-x.y=a[/texx]
[texx]2^2+4^2-2.4=a \longrightarrow{a=4}[/texx]
Gracias y buenas noches
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« Respuesta #15 : 11/10/2018, 01:01:01 am »

Hola

[texx]2^2+4^2-2.4=a \longrightarrow{a=4}[/texx]

Ojo con las cuentas, debería ser [texx]a=12[/texx].

Falta contestar a

Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.

Hice un dibujo ilustrativo y parece que la otra recta tangente horizontal es cuando [texx]x=-2[/texx]:


pero no se me ocurre cómo demostrarlo, ya que, desde aquí

[texx]y'=0\iff\dfrac{-2x+y}{2y-x}=0[/texx]

tiene sentido sólo cuando [texx]y=2x[/texx] con [texx]x\neq2y[/texx], así que los puntos son de la forma [texx](a,2a),\;a\in\Bbb R\setminus\{0\}[/texx], pero no sé cómo probar que [texx]a=x_0=-2[/texx] :¿eh?:.

Mañana tengo el parcial y es el único tema que lo tengo  :BangHead:.

¡Mucha suerte! :sonrisa:.

Saludos

* RectasTangHorizontales.jpg (80.32 KB - descargado 71 veces.)
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« Respuesta #16 : 11/10/2018, 01:09:58 am »

Una forma de demostrarlo sería observando que si cambiamos de signo a x e y, la ecuación no cambia.
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« Respuesta #17 : 11/10/2018, 01:50:11 am »

Una forma de demostrarlo sería observando que si cambiamos de signo a x e y, la ecuación no cambia.

Mmmm, claro...

[texx]f:\Bbb R^2\to\Bbb R\mid f(x,y)=x^2+y^2-xy-12=f(-x,-y)[/texx]

eso nos dice que es simétrica respecto a los ejes... ¿y qué podemos concluir? :¿eh?:.

¿Que como en [texx]x=2[/texx] hay recta tangente horizontal, por la simetría, en [texx]x=-2[/texx] también habrá recta horizontal?

Me gusta mucho la idea :sonrisa:. ¿Es propiamente una demostración, o hay que ser más "estrictos" con la prueba?

Saludos

P.D. Yo inventé el nombre [texx]f(x,y)[/texx] pero no creo que el usuario haya visto funciones de varias variables. Debería quitar esa etiqueta y no poner nada pero no sé de otra manera :indeciso:.
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« Respuesta #18 : 11/10/2018, 05:41:00 am »

Buenas,

...
pero no se me ocurre cómo demostrarlo, ya que, desde aquí

[texx]y'=0\iff\dfrac{-2x+y}{2y-x}=0[/texx]

tiene sentido sólo cuando [texx]y=2x[/texx] con [texx]x\neq2y[/texx], así que los puntos son de la forma [texx](a,2a),\;a\in\Bbb R\setminus\{0\}[/texx], pero no sé cómo probar que [texx]a=x_0=-2[/texx] :¿eh?:.
...

Casi lo tenías,
Como [texx]y=2x[/texx], sustituye en la ecuación de la curva:
[texx]x^2+(2x)^2-x\,(2x)=12\longrightarrow 3x^2=12\longrightarrow x_{0,1}=-2,2[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #19 : 11/10/2018, 06:27:14 am »

...
Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.
...

Veo que pide que se indiquen los puntos completos, pues....

Para [texx]x=2[/texx] se tiene [texx]4+y^2-2y-12=0\longrightarrow (y-4)(y+2)=0\longrightarrow y_{0,1}=-2,4[/texx].
La condición [texx]y=2x[/texx] sólo la cumple [texx]y=4[/texx], un punto es el [texx](2,4)[/texx].

Para [texx]x=-2[/texx] y procediendo de la misma manera llegamos a [texx](y+4)(y-2)=0\longrightarrow y_{0,1}=-4,2[/texx].
La condición se cumple para [texx]y=-4[/texx], el otro punto es [texx](-2,-4)[/texx].

Saludos.
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