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Autor Tema: Ejercicio de función continua  (Leído 5014 veces)
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mgb
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« : 09/10/2018, 05:24:43 pm »

Buenas tardes hice este ejercicio de continuidad de función en partes y quería saber si alguno me podría ayudar.
El enunciado dice hallar "a" para que la función tenga una discontinuidad evitable en x=1. Una vez hallado "a", calcular las ecuaciones de las asíntotas de f.

[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a} & \text{si}& x>1\\2^{1/x} & \text{si}& x<1\end{cases}[/texx]

Bueno por propiedad para que sea descontinua y evitable tiene que existir el [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}1^+}{f(x)}[/texx]
Lo que tenia planeado hacer es hallar el valor de los limites e igualarlos  [texx]L^+=L^-[/texx] con esto encontraría el valor de [texx]a[/texx] para luego reemplazar y re defino la función. Pero tuve un problema con el limite por derecha
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x^2-1)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x-1)(x+1)}}}[/texx]
En este paso cancelo [texx](x+1)[/texx] y reemplazo [texx]x [/texx]un compañero me dijo que tengo que cancelar el [texx]sen[/texx] pero no supe hacerlo.
Por ultimo obtengo 
[texx]\frac{sen(-4)}{2a}[/texx]
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^-}{2^\frac{1}{x}=2}[/texx]
Igualo los limites [texx]\frac{sen(-4)}{2a}=2[/texx]
El ejercicio me lo revisaron y me dijeron que estaba mal pero no logro encontrar el error.
Agradecería muchísimo la ayuda, además el jueves tengo el parcial y este ejercicio lo tengo hace un par de horas sin poder resolverlo.




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alucard
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« Respuesta #1 : 09/10/2018, 05:44:16 pm »

Buenas tardes hice este ejercicio de continuidad de función en partes y quería saber si alguno me podría ayudar.
El enunciado dice hallar "a" para que la función tenga una discontinuidad evitable en x=1. Una vez hallado "a", calcular las ecuaciones de las asíntotas de f.

[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a} & \text{si}& x>1\\2^{1/x} & \text{si}& x<1\end{cases}[/texx]

Bueno por propiedad para que sea descontinua y evitable tiene que existir el [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}1^+}{f(x)}[/texx]
Lo que tenia planeado hacer es hallar el valor de los limites e igualarlos  [texx]L^+=L^-[/texx] con esto encontraría el valor de [texx]a[/texx] para luego reemplazar y re defino la función. Pero tuve un problema con el limite por derecha
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x^2-1)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x-1)(x+1)}}}[/texx]
En este paso cancelo [texx](x+1)[/texx]

No podes cancelar lo que esta en el argumento , multiplica y dividi por [texx](4x-4)[/texx] recorda que

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{1}}{\dfrac{\sen (x-1)}{x-1}}=1[/texx]

 
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« Respuesta #2 : 09/10/2018, 05:52:43 pm »

Buenas tardes hice este ejercicio de continuidad de función en partes y quería saber si alguno me podría ayudar.
El enunciado dice hallar "a" para que la función tenga una discontinuidad evitable en x=1. Una vez hallado "a", calcular las ecuaciones de las asíntotas de f.

[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a} & \text{si}& x>1\\2^{1/x} & \text{si}& x<1\end{cases}[/texx]

Bueno por propiedad para que sea descontinua y evitable tiene que existir el [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}1^+}{f(x)}[/texx]
Lo que tenia planeado hacer es hallar el valor de los limites e igualarlos  [texx]L^+=L^-[/texx] con esto encontraría el valor de [texx]a[/texx] para luego reemplazar y re defino la función. Pero tuve un problema con el limite por derecha
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x^2-1)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x-1)(x+1)}}}[/texx]
En este paso cancelo [texx](x+1)[/texx]

No podes cancelar lo que esta en el argumento , multiplica y dividi por [texx](4x-4)[/texx] recorda que

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{1}}{\dfrac{\sen (x-1)}{x-1}}=1[/texx]

 
Entiendo lo hare devuelta en lapiz, muchas gracias por la ayuda.
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« Respuesta #3 : 09/10/2018, 05:58:31 pm »

De nada , tene cuidado con las simplificaciones, no se si estas en UTN FRBA, pero si cancelas así como lo hiciste si es Amed la que corrigió cayo desmayada, si es Albione le agarro un infarto y si es Fiorante te tiro la silla en la cabeza  :risa: :risa:, así que guarda  :lengua_afuera:
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« Respuesta #4 : 09/10/2018, 06:01:40 pm »

Buenas tardes hice este ejercicio de continuidad de función en partes y quería saber si alguno me podría ayudar.
El enunciado dice hallar "a" para que la función tenga una discontinuidad evitable en x=1. Una vez hallado "a", calcular las ecuaciones de las asíntotas de f.

[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a} & \text{si}& x>1\\2^{1/x} & \text{si}& x<1\end{cases}[/texx]

Bueno por propiedad para que sea descontinua y evitable tiene que existir el [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}1^+}{f(x)}[/texx]
Lo que tenia planeado hacer es hallar el valor de los limites e igualarlos  [texx]L^+=L^-[/texx] con esto encontraría el valor de [texx]a[/texx] para luego reemplazar y re defino la función. Pero tuve un problema con el limite por derecha
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x^2-1)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x-1)(x+1)}}}[/texx]
En este paso cancelo [texx](x+1)[/texx]

No podes cancelar lo que esta en el argumento , multiplica y dividi por [texx](4x-4)[/texx] recorda que

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{1}}{\dfrac{\sen (x-1)}{x-1}}=1[/texx]

 
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}.\frac{(4x-4)}{4x-4}}[/texx]
Continuare con el ejercicio creo que tiene buena apariencia, muchisimas gracias alucard. Estoy en unlam, mi profesora se llama Betina Williner y seguro me reta si ve eso.
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« Respuesta #5 : 09/10/2018, 06:07:25 pm »

Bien , ahora de aca

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}.\frac{(4x-4)}{4x-4}}[/texx]

usando el límite fundamental, y sacando factor común a en el denominador

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{(4x-4)}{a(x^{2}-1)}}
[/texx]

aplicas diferencia de cuadrados , sacas 4 de factor común y podes determinar el valor de L
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« Respuesta #6 : 09/10/2018, 06:14:35 pm »

Bien , ahora de aca

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}.\frac{(4x-4)}{4x-4}}[/texx]

usando el límite fundamental, y sacando factor común a en el denominador

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{(4x-4)}{a(x^{2}-1)}}
[/texx]

aplicas diferencia de cuadrados , sacas 4 de factor común y podes determinar el valor de L

Pude terminar el ejercicio alucard, muchas gracias. Ahora toca seguir con otros. Muchísimas gracias, por cierto debes conocer unlam  :risa:
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« Respuesta #7 : 09/10/2018, 06:32:55 pm »

De nada, si si la conozco je
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« Respuesta #8 : 09/10/2018, 07:46:04 pm »

Hola

Sólo dos pequeños comentarios:

[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a} & \text{si}& x>1\\2^{1/x} & \text{si}& x<1\end{cases}[/texx]

Debería haber en algún lado un "igual" porque sino para [texx]x=1[/texx] la función no está definida. Por ejemplo, en la rama de arriba debería quedar [texx]\text{si}\;x\geq1[/texx].

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x^2-1)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x-1)(x+1)}}}[/texx]

Como te comentó alucard está mal hecho, pero no por mucho. Otra forma sería solamente multiplicar y dividir entre [texx]4[/texx], ya que

[texx]\displaystyle\lim_{x \to1^+}\frac{\sin(4x-4)}{ax^2-a}=\lim_{x \to1^+}\frac{\sin(4(x-1))}{a(x-1)(x+1)}=\lim_{x \to1^+}\frac4{a(x+1)}\cancelto{1}{\frac{\sin(4(x-1))}{4(x-1)}}=\frac4{2a}=\frac2a,[/texx]

o bien utilizar la regla de L'Hopital:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to1^+}\frac{\sin(4x-4)}{ax^2-a}=\left\lbrace\frac00\right\rbrace=\lim_{x \to1^+}\frac{4\cos(4x-4)}{2ax}=\frac4{2a}=\frac2a.[/texx]

Saludos
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« Respuesta #9 : 09/10/2018, 08:35:09 pm »

Hola

Sólo dos pequeños comentarios:

[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a} & \text{si}& x>1\\2^{1/x} & \text{si}& x<1\end{cases}[/texx]

Debería haber en algún lado un "igual" porque sino para [texx]x=1[/texx] la función no está definida. Por ejemplo, en la rama de arriba debería quedar [texx]\text{si}\;x\geq1[/texx].

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(4x-4)}{ax^{2}-a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x^2-1)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}1^+}{=\frac{sen(-4)(x+1)}{a(x-1)(x+1)}}}[/texx]

Como te comentó alucard está mal hecho, pero no por mucho. Otra forma sería solamente multiplicar y dividir entre [texx]4[/texx], ya que

[texx]\displaystyle\lim_{x \to1^+}\frac{\sin(4x-4)}{ax^2-a}=\lim_{x \to1^+}\frac{\sin(4(x-1))}{a(x-1)(x+1)}=\lim_{x \to1^+}\frac4{a(x+1)}\cancelto{1}{\frac{\sin(4(x-1))}{4(x-1)}}=\frac4{2a}=\frac2a,[/texx]

o bien utilizar la regla de L'Hopital:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to1^+}\frac{\sin(4x-4)}{ax^2-a}=\left\lbrace\frac00\right\rbrace=\lim_{x \to1^+}\frac{4\cos(4x-4)}{2ax}=\frac4{2a}=\frac2a.[/texx]

Saludos
Muchísimas gracias por las correcciones me quedé muy claro. Por cierto tú comentario me hizo acordar que debo buscar las asintotas :BangHead:
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« Respuesta #10 : 10/10/2018, 05:28:08 am »

Hola

Muchísimas gracias por las correcciones me quedé muy claro. Por cierto tú comentario me hizo acordar que debo buscar las asintotas :BangHead:

Habrás obtenido que [texx]a=1[/texx].

Para las asíntotas busca verticales en [texx]x=-1[/texx] que es un punto donde no está definida la función, analizando los límites:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to -1^+}{}f(x)[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to -1^-}{}f(x)[/texx]

Y busca asíntotas horizontales analizando:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{}f(x)[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{}f(x)[/texx]

Si alguno de los límites anteriores fuese infinito podrías plantearte la exitencia de asíntotas oblicuas analizando:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{}\dfrac{f(x)}{x}[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{}\dfrac{f(x)}{x}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #11 : 10/10/2018, 12:08:41 pm »

Hola

Muchísimas gracias por las correcciones me quedé muy claro. Por cierto tú comentario me hizo acordar que debo buscar las asintotas :BangHead:

Habrás obtenido que [texx]a=1[/texx].

Para las asíntotas busca verticales en [texx]x=-1[/texx] que es un punto donde no está definida la función, analizando los límites:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to -1^+}{}f(x)[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to -1^-}{}f(x)[/texx]

Y busca asíntotas horizontales analizando:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{}f(x)[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{}f(x)[/texx]

Si alguno de los límites anteriores fuese infinito podrías plantearte la exitencia de asíntotas oblicuas analizando:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{}\dfrac{f(x)}{x}[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{}\dfrac{f(x)}{x}[/texx]

Saludos.
Gracias y disculpa la demora acabo de llegar de la facultad, ya me pongo a terminar. Buen dia  Aplauso
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