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Autor Tema: Duda con ejercicio resuelto de continuidad  (Leído 3489 veces)
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mgb
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« : 09/10/2018, 11:11:40 pm »

Buenas noches, hice este ejercicio de limites ¿Podrían decirme si es correcto?. Muchísimas gracias.
Estudiar las discontinuidades de la función
[texx]f(x)=\begin{cases} \frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{}1\end{cases}[/texx]
Si tiene discontinuidad evitable redefinirla para que sea continua en ese punto.

Evaluo [texx]f(-1)=\displaystyle\lim_{x \to{}-1}{}[/texx] Por izquierda y derecha

[texx]f(-1)=(x^\frac{2}{x+3})=0.707[/texx] Este resultado me parecio raro pero continue.

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[]{x^2+3}-2}}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[]{x^2+3}-2}}.\frac{\sqrt[]{x^2+3}+2}{\sqrt[]{x^2+3}+2}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1).(\sqrt[]{x^2+3}+2)}{x^2+3-4}}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1).(\sqrt[]{x^2+3}+2)}{(x^2-1)}}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{{(\sqrt[]{x^2+3}+2)}}=4[/texx]

Continuo con [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}1^-}{2^\frac{x}{x+3}}=0.707[/texx]

Por lo que tengo entendido esto seria una funcion esencial de salto finito de  [texx]4-0.707=3.29[/texx] unidades. ¿Es correcto?
Ademas creo que deberia estudiar la funcion para [texx]x=1[/texx]
Gracias

Arregle los errores que me marcaron, disculpen. Prestare mucha mas atención.
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« Respuesta #1 : 10/10/2018, 12:12:37 am »

Está correcto, tienes alguna que otra errata en la presentación pero está bien. Fíjate que [texx]f(-1)=2^{-\frac12}=\frac1{\sqrt 2}[/texx], es otra forma de expresarlo.
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delmar
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« Respuesta #2 : 10/10/2018, 12:14:39 am »

Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
[/texx]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en [texx]x=-1[/texx], obviamente por no estar definida en [texx]x=1[/texx] es discontinua también en [texx]x=1[/texx] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

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« Respuesta #3 : 10/10/2018, 12:38:40 am »

Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
[/texx]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en [texx]x=-1[/texx], obviamente por no estar definida en [texx]x=1[/texx] es discontinua también en [texx]x=1[/texx] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

Se adelanto Masacroso; pero este aporte complementa

Yo diría que más que complementar es la respuesta adecuada. No había mirado qué pasaba en otros puntos de la función, hay que investigar también en [texx]x=1[/texx] que es una raíz del denominador de la primera rama.
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manooooh
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« Respuesta #4 : 10/10/2018, 12:46:52 am »

Hola a todos

A mí me hace ruido el enunciado, al decir "en ese punto" sin especificar ninguno en particular.

¿Será que hay que redefinirla, si presenta discontinuidad, en [texx]x=1[/texx]? ¿En [texx]x=-1[/texx]? ¿En todas las discontinuidades evitables?

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #5 : 10/10/2018, 04:49:38 am »

Hola

A mí me hace ruido el enunciado, al decir "en ese punto" sin especificar ninguno en particular.

Es que no creo que el enunciado esté tan siquiera bien copiado. La frase:

Cita
Estudiar discontinuidad si es evitable redefinirla para que sea continua en ese punto.

está mal redactada.

Cita
¿Será que hay que redefinirla, si presenta discontinuidad, en [texx]x=1[/texx]? ¿En [texx]x=-1[/texx]? ¿En todas las discontinuidades evitables?

Se supone que hay que redefinirla en los puntos donde presente discontinuidades evitables.

A ese respecto hay una vieja discrepancia en la definición de continuidad; desde mi punto de vista (la definición de continuidad/discontinuidad que manejo) esta función no está definida en [texx]x=1[/texx]. Eso no quiere decir que sea ni continua ni discontinua en ese punto; simplemente que el punto [texx]x=1[/texx] no está en el dominio. Uno se puede plantear si se puede extender con continuidad a [texx]x=1[/texx] y la respuesta es afirmativa.

Otros autores si llaman discontinuidad a un punto de la frontera del dominio donde no está definida la función.

Algo de esto se discutió por aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?;topic=100693.0

Saludos.
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mgb
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« Respuesta #6 : 10/10/2018, 10:15:13 am »

Buen día gracias por las repuestas. No conteste por qué lo resolví un poco tarde y me fui a dormir y hoy me levanté directo a la facultad. Revisaré todo apenas llegué. Disculpen si cometí errores y no cumplí con las normas.
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mgb
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« Respuesta #7 : 10/10/2018, 10:55:30 am »

Hola a todos

A mí me hace ruido el enunciado, al decir "en ese punto" sin especificar ninguno en particular.

¿Será que hay que redefinirla, si presenta discontinuidad, en [texx]x=1[/texx]? ¿En [texx]x=-1[/texx]? ¿En todas las discontinuidades evitables?

Saludos
Esta es el enunciado tal cual esta en la fotocopia.
Estudiar las discontinuidades de la función [texx]f(x)[/texx]
Si tiene discontinuidad evitable redefinirla para que sea continua en ese punto.
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« Respuesta #8 : 10/10/2018, 10:56:39 am »

Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
[/texx]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en [texx]x=-1[/texx], obviamente por no estar definida en [texx]x=1[/texx] es discontinua también en [texx]x=1[/texx] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

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Gracias, arregle lo que estaba mal.
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« Respuesta #9 : 10/10/2018, 10:58:05 am »

Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
[/texx]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en [texx]x=-1[/texx], obviamente por no estar definida en [texx]x=1[/texx] es discontinua también en [texx]x=1[/texx] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

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Yo diría que más que complementar es la respuesta adecuada. No había mirado qué pasaba en otros puntos de la función, hay que investigar también en [texx]x=1[/texx] que es una raíz del denominador de la primera rama.
Si tienes completa razon, solo que comparti en el punto [texx]x=-1[/texx] por que era el que me presentaba dificultad. Gracias.
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