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Autor Tema: Función no derivable en un punto  (Leído 1274 veces)
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juansanro
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« : 07/10/2018, 05:34:41 am »

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo [texx]\gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2} [/texx][texx]\hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm}[/texx] y supongamos que existe [texx]c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm}[/texx] spara el que se cumple que [texx]\gamma(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma'(c)\neq0[/texx]. Entonces la función [texx]||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} [/texx]no es derivable en el punto [texx]c.[/texx]



He intentado utilizar que nuestro campo puede ser visto  "aproximadamente" como una recta. Por tanto, en un entorno de [texx]c[/texx] podemos escribir [texx]\gamma(x)[/texx] de la forma  [texx](\gamma_1'(c)(x-c),\gamma_2'(c)(x-c))[/texx]  entonces [texx]||\gamma(x)||=(\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c))^{1/2}|x-c|[/texx] que no es   derivable en [texx]c[/texx]

Creo que este es el camino para solucionar el problema, pero no sé cómo justificar esta idea rigurosamente.

Agradecería cualquier idea.


Gracias.
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martiniano
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« Respuesta #1 : 07/10/2018, 06:01:20 am »

Hola.

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo [texx]\gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2} [/texx][texx]\hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm}[/texx] y supongamos que existe [texx]c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm}[/texx] spara el que se cumple que [texx]\gamma(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma'(c)\neq0[/texx]. Entonces la función [texx]||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} [/texx]no es derivable en el punto [texx]c.[/texx]

No sé... No me hagas mucho caso... Pero a mí la función me parece derivable. ¿Es posible que en el enunciado pusiese [texx]\gamma'(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma(c)\neq0[/texx]?

Saludos.
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juansanro
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« Respuesta #2 : 07/10/2018, 06:08:21 am »

Hola.

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo [texx]\gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2} [/texx][texx]\hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm}[/texx] y supongamos que existe [texx]c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm}[/texx] spara el que se cumple que [texx]\gamma(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma'(c)\neq0[/texx]. Entonces la función [texx]||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} [/texx]no es derivable en el punto [texx]c.[/texx]

No sé... No me hagas mucho caso... Pero a mí la función me parece derivable. ¿Es posible que en el enunciado pusiese [texx]\gamma'(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma(c)\neq0[/texx]?

Saludos.

Hola, las hipótesis son las que escribí en mi primer mensaje. Intuitivamente lo que debe de ocurrir es que los límites laterales en c no coinciden. Es lo que ocurre por ejemplo con el campo [texx](x,0)[/texx]. No sé si me expliqué bien, pero nos preguntamos por la derivabilidad de la función módulo
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martiniano
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« Respuesta #3 : 07/10/2018, 06:33:55 am »

Hola.

Sí, disculpa, tienes razón. Me había despistado, ahora te cuento. De la definición de derivada, [texx] \left\|{\gamma(x)}\right\|[/texx] es derivable si existe el siguiente límite:

[texx]\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{ \left\|{\gamma(c+h)}\right\|- \left\|{\gamma(c)}\right\|}{h}}[/texx][texx]=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{ \left\|{\gamma(c+h)}\right\|- \left\|{\gamma(c)}\right\|}{h}}=[/texx][texx]\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}- \sqrt[ ]{\gamma_1^2(c)+\gamma_2^2(c)}}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}}{h}}[/texx]

Y aquí es donde me confundí, metí la [texx]h[/texx] del denominador dentro de la raíz y me quedé tan pancho, pero hay que diferenciar si [texx]h>0[/texx] ó [texx]h<0[/texx]:

[texx]\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}}{h}}=[/texx][texx]\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}[/texx][texx]=\sqrt[ ]{\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c)}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}}{h}}[/texx][texx]=\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{-\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}[/texx][texx]=-\sqrt[ ]{\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c)}[/texx]

Como [texx]\gamma'(c)\neq{0}[/texx], pues los límites laterales no coinciden, el límite no existe y la función de la que nos hablan no es derivable.

Saludos.
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juansanro
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« Respuesta #4 : 07/10/2018, 06:48:42 am »

Hola.

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considremos el campo [texx]\gamma=(\gamma_1,\gamma_2):\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^2} [/texx][texx]\hspace{0.1cm}C^1\hspace{0.1cm}[/texx] y supongamos que existe [texx]c\in{\mathbb{R}}\hspace{0.1cm}[/texx] spara el que se cumple que [texx]\gamma(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma'(c)\neq0[/texx]. Entonces la función [texx]||\gamma||=(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{1/2}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} [/texx]no es derivable en el punto [texx]c.[/texx]

No sé... No me hagas mucho caso... Pero a mí la función me parece derivable. ¿Es posible que en el enunciado pusiese [texx]\gamma'(c)=0\hspace{0.1cm}[/texx] y [texx]\gamma(c)\neq0[/texx]?

Saludos.

Hola, las hipótesis son las que escribí en mi primer mensaje. Intuitivamente lo que debe de ocurrir es que los límites laterales en c no coinciden. Es lo que ocurre por ejemplo con el campo [texx](x,0)[/texx]. No sé si me expliqué bien, pero nos preguntamos por la derivabilidad de la función módulo

Hola, gracias por tu respuesta. Sin embargo, hay un paso que no termina de convencerme: se trata del paso en el que el límite pasa dentro de la raiz.

Un saludo.
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« Respuesta #5 : 07/10/2018, 07:54:17 am »

Hola.

No estoy seguro pero creo que te refieres al último paso de todos, cuando el límite queda en función de las derivadas de las componentes de [texx] \gamma[/texx]. Si es así, ¿qué es lo que no te gusta exactamente?

Saludos.
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« Respuesta #6 : 07/10/2018, 08:03:40 am »

Hola, concretamente me refiero a este paso. No me tengo muy claro que pueda pasar el límite dentro de la raíz
[/tex][texx]\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}[/texx][texx]=\sqrt[ ]{\gamma_1'^2(c)+\gamma_2'^2(c)}[/texx]




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« Respuesta #7 : 07/10/2018, 08:15:35 am »

Ya, pero ¿por qué?
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« Respuesta #8 : 07/10/2018, 08:23:59 am »

Ya, pero ¿por qué?


¿Cómo sabes que eso es cierto?
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« Respuesta #9 : 07/10/2018, 09:01:46 am »

Pues diría que por las propiedades aritméticas de los límites, ¿no?

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #10 : 07/10/2018, 09:14:56 am »

Hola

Ya, pero ¿por qué?


¿Cómo sabes que eso es cierto?

Usa:

1) que si [texx]f(x[/texx]) es continua, [texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f\left(\displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)\right)[/texx]
2) la definición de derivada.
3) el límite de la suma es la suma de los límites.

Entonces por (1):

[texx]\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}=
\sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}[/texx]

Por (3):

[texx]\sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)}{h^2}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}[/texx]

Por (1)

[texx]\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h)}{h}\right)^2}=\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)-\gamma_1(c)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h))-\gamma_2(c)}{h}\right)^2}[/texx]

Y finalmente aplica la definición de derivada.

Saludos.

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« Respuesta #11 : 07/10/2018, 05:18:58 pm »

Hola

Ya, pero ¿por qué?


¿Cómo sabes que eso es cierto?

Usa:

1) que si [texx]f(x[/texx]) es continua, [texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f\left(\displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)\right)[/texx]
2) la definición de derivada.
3) el límite de la suma es la suma de los límites.

Entonces por (1):

[texx]\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}=
\sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)+\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}}[/texx]

Por (3):

[texx]\sqrt[ ]{\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1^2(c+h)}{h^2}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2^2(c+h)}{h^2}}[/texx]

Por (1)

[texx]\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h)}{h}\right)^2}=\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\displaystyle\frac{\gamma_1(c+h)-\gamma_1(c)}{h}\right)^2+\left(\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{\gamma_2(c+h))-\gamma_2(c)}{h}\right)^2}[/texx]

Y finalmente aplica la definición de derivada.

Saludos.



Hola, ¿sabes de alguna prueba para 1)? Por ejemplo, en el caso de que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=\infty[/texx] creo que esa igualdad no tiene sentido.

Seguramente esto me ocurra porque haya algo que no llego a entender completamente, te agradecería si me pudieras ayudar

Un saludo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #12 : 08/10/2018, 05:09:32 am »

Hola

Hola, ¿sabes de alguna prueba para 1)? Por ejemplo, en el caso de que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=\infty[/texx] creo que esa igualdad no tiene sentido.

¡Claro! No escribí las condiciones en detalle. Se sobreentiende que para que funcione tiene que existir el límite [texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}[/texx]; igualmente para la posterior identificación del límite como derivada, tiene que existir la derivada.

La prueba la hacemos en un momento.

Sean [texx]f:U\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/texx], [texx]g:V\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/texx], con [texx]U,V[/texx] abiertos y tales que [texx]Im(g)\subset U[/texx].

Sea [texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=b\subset U[/texx]. Entonces si [texx]f(x) [/texx]es continua en [texx]b[/texx] se tiene que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f(b)[/texx]


Prueba:

Sea [texx]\epsilon>0[/texx] por definición de continuidad existe un [texx]\delta>0[/texx] tal que:

[texx]|y-b|<\delta,\quad y\in U\quad \Rightarrow{}\quad |f(y)-f(b)|<\epsilon[/texx]

Ahora como  [texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=b\subset U[/texx], existe un [texx]\delta'[/texx] tal que:

[texx]0<|x-a|<\delta'\quad \Rightarrow{}\quad |g(x)-b|<\delta[/texx]

Combinando ambas cosas, dado [texx]\epsilon>0[/texx] existe un [texx]\delta'>0[/texx] tal que:

[texx]0<|x-a|<\delta'\quad \Rightarrow{}\quad |g(x)-b|<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |f(g(x))-f(b)|<\epsilon[/texx]

 y por tanto:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}f(g(x))=f(b)[/texx]

Saludos.
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