15/12/2018, 01:56:17 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Homomorfismo inyectivo de anillos.  (Leído 576 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
vicentebarba
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 25


Ver Perfil
« : 08/10/2018, 05:15:53 pm »

¡Hola!

Me he quedado atascado con un ejercicio de Álgebra Conmutativa que creo que debe ser bastante fácil pero no acabo de pillarlo.

Se trata de probar que no existe ningún homomorfismo de anillos inyectivo

[texx]\displaystyle f: \cfrac{\mathbb{R}[X]}{(X^2)} \to \mathbb{R}[/texx]


De primeras se me ha ocurrido que, si es inyectivo, entonces [texx]ker f = (0)[/texx] donde con [texx]0[/texx] me refiero al elemento neutro para la suma de [texx]\cfrac{\mathbb{R}[X]}{(X^2)}[/texx].

No tengo ninguna caracterización más de la inyectividad, y, como no es un homomorfismo concreto, no sé calcular el núcleo. ¿Me podéis ayudar? Gracias y disculpas de antemano.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.243


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 08/10/2018, 05:21:03 pm »

Hola

 En el primer anillo tienes que

[texx][ x][ x]=[ x^2]=[ 0][/texx]

 Por tanto ha de cumplirse que

[texx]f([ x])f([ x])=f([ 0])=0[/texx]

¿Conclusión?.

Saludos.
En línea
vicentebarba
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 25


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 08/10/2018, 06:06:29 pm »

¿Pero puedo asegurar que la clase de [texx]X^2[/texx] es la clase del 0? Es que es algo que no me termina de quedar claro.

Entonces me parece que habría elementos no nulos que van a parar al 0 por la aplicación y es imposible que [texx]kerf = (0)[/texx] por lo que el homomorfismo de anillos [texx]f[/texx] no puede ser inyectivo.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 43.243


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 09/10/2018, 04:43:46 am »

Hola

¿Pero puedo asegurar que la clase de [texx]X^2[/texx] es la clase del 0? Es que es algo que no me termina de quedar claro.

¡Claro! ¿Cuál es la duda? Simplemente piensa en la definición de anillo cociente. Si tienes un anillo conmutativo A y un ideal I, la relación de equivalencia que nos permite definir el anillo cociente [texx]A/I[/texx] es:

[texx]x\sim y\quad \Leftrightarrow \quad x-y\in I[/texx]

En particular la clase del cero es:

[texx]x\sim 0\quad \Leftrightarrow \quad x=x-0\in I[/texx]

el propio ideal [texx]I[/texx].

En nuestro caso el ideal [texx]I [/texx]está generado por [texx]x^2[/texx] y en particular la clase de [texx]x^2[/texx] es la clase del cero.

Cita
Entonces me parece que habría elementos no nulos que van a parar al 0 por la aplicación y es imposible que [texx]kerf = (0)[/texx] por lo que el homomorfismo de anillos [texx]f[/texx] no puede ser inyectivo.

Si, en particular tendrías que [texx]f([x ])=0[/texx] y por tanto [texx]f[/texx] no es inyectiva.

Saludos.

P.D. Si quieres entender mejor el cociente [texx]\dfrac{\mathbb{R}[ X]}{(X^2)}[/texx] comprueba que las clases son de la forma [texx][a+bX][/texx] de manera que puede identificarse con [texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/texx] con la operación suma usual y la operación producto:

[texx](a,b)\cdot (a',b')=(aa',ab'+a'b)[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
En línea
vicentebarba
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 25


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 11/10/2018, 10:01:58 am »

¡Vale! Muchas gracias, la verdad es que lo he entendido muy bien. El problema es que no sabía trabajar muy bien en el anillo cociente, pero ya lo tengo bastante más claro.

¡Un saludo!
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!