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Autor Tema: Hallar el área de la porción de un círculo circunscrito a un cuadrado  (Leído 2845 veces)
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manooooh
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« : 08/10/2018, 10:15:41 pm »

Hola!

Encontrar el área en rojo, si las medidas están en centímetros:




Uno se tiraría a la pileta intentando restar el área de cada figura, pero [texx]\pi\cdot1^2-(\sqrt\pi)^2=0[/texx], y eso sabemos que es imposible :risa:.

Se trata de uno de los famosos planteamientos matemáticos de hace siglos atrás: Constructible Geometry: Easy as Squaring the Circle; Squaring the Circle - Numberphile.

Entiendo que es imposible hacerlo con regla y compás, pero ¿existe algún método analítico-matemático?

A mi no se me ocurre nada. ¿Tiene solución?

Gracias!
Saludos

* AreaPorcionCirculo.jpg (90.47 KB - descargado 139 veces.)
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delmar
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« Respuesta #1 : 09/10/2018, 01:00:48 am »

Hola manooooh

El centro del círculo es el centro del cuadrado, utilizar geometría análitica origen de coordenadas el centro de ambas figuras, hallar los puntos de intersección entre la circunferencia y el cuadrado lineal hacer integraciones.


Saludos
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manooooh
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« Respuesta #2 : 09/10/2018, 02:45:24 am »

Hola

El centro del círculo es el centro del cuadrado, utilizar geometría análitica origen de coordenadas el centro de ambas figuras, hallar los puntos de intersección entre la circunferencia y el cuadrado lineal hacer integraciones.

Gracias por la sugerencia. No sé cómo encontrar los puntos de corte ya que no conozco una ecuación de un cuadrado, sino los segmentos :¿eh?:.

Por ejemplo, los extremos del cuadrado son (tomando como sistema de referencia al origen como el centro de ambas figuras) [texx]P_1=(-\frac{\sqrt\pi}2,-\frac{\sqrt\pi}2)[/texx], [texx]P_2=(-\frac{\sqrt\pi}2,\frac{\sqrt\pi}2)[/texx], [texx]P_3=(\frac{\sqrt\pi}2,-\frac{\sqrt\pi}2)[/texx] y [texx]P_4=(\frac{\sqrt\pi}2,\frac{\sqrt\pi}2)[/texx].

De todos modos, olvidé comentar que se debería poder llegar a la respuesta sin utilizar integrales, sino fórmulas de áreas conocidas y lo básico de geometría analítica.

Gracias y saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 09/10/2018, 05:41:50 am »

Hola

 Observa el dibujo.



 El área de cada zona amarilla es el área del sector circular menos el área del triángulo [texx]ACD[/texx].

 El área del sector circular es [texx]\alpha r^2[/texx].

 [texx]\alpha=arccos(a/r)[/texx]
 
 El área del triángulo [texx]ACD [/texx]es: [texx]ab[/texx] y [texx]b=\sqrt{r^2-a^2}[/texx].

 Con todo esto puedes terminar...

Saludos.

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sugata
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« Respuesta #4 : 09/10/2018, 07:35:03 am »

Hola

 Observa el dibujo.



 El área de cada zona amarilla es el área del sector circular menos el área del triángulo [texx]ACD[/texx].

 El área del sector circular es [texx]\alpha r^2[/texx].

 [texx]\alpha=arccos(a/r)[/texx]
 
 El área del triángulo [texx]ACD [/texx]es: [texx]ab[/texx] y [texx]b=\sqrt{r^2-a^2}[/texx].

 Con todo esto puedes terminar...

Saludos.

Sabía que el resultado iba por ahí, pero me faltaban algunos conocimientos.
(area del sector circular.)
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manooooh
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« Respuesta #5 : 09/10/2018, 01:23:34 pm »

Hola

El área del triángulo [texx]ACD [/texx]es: [texx]ab[/texx] y [texx]b=\sqrt{r^2-a^2}[/texx].

¿No debería ser que el área del triángulo es [texx]\frac{\text{altura}\cdot\text{base}}2[/texx]?

En este caso,

[texx]\text{altura}=\sqrt\pi/2,\quad\text{base}=\color{red}2b\color{black}=2\sqrt{r^2-a^2},[/texx]

así que el área del triángulo es

[texx]\dfrac{\sqrt\pi/2\cdot2\sqrt{r^2-a^2}}2=\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{r^2-a^2}}2.[/texx]

Por lo tanto

[texx]\text{Área }{\bf\color{yellow}\text{amarilla}}=\color{black}4\left(\alpha r^2-\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{r^2-a^2}}2\right)=4\left(\arccos{\left(\dfrac{\sqrt\pi/2}1\right)}\cdot1^2-\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{1-(\sqrt\pi/2)^2}}2\right)=\boxed{4\left(\arccos{(\sqrt\pi/2)}-\dfrac12\sqrt{(1-\pi/4)\pi}\right)\approx\color{magenta}0.2844\ldots}.[/texx]

¿Bien?

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 09/10/2018, 02:21:19 pm »

Hola

El área del triángulo [texx]ACD [/texx]es: [texx]ab[/texx] y [texx]b=\sqrt{r^2-a^2}[/texx].

¿No debería ser que el área del triángulo es [texx]\frac{\text{altura}\cdot\text{base}}2[/texx]?

Si; la base es [texx]2b[/texx] la altura es [texx]a[/texx] y por tanto el área es [texx]\dfrac{a\cdot (2b)}{2}=ab[/texx].

Saludos.
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