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Autor Tema: ¿Cuántas pelotas caben en un automóvil mini cooper 5 puertas?  (Leído 7039 veces)
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« : 02/10/2018, 10:20:50 pm »

¿Cuántas pelotas de 8 cms de diámetro caben en el interior de un automóvil mini cooper 5 puertas??
parte delantera :
ancho 1.17m
alto 0.95m
profundidad 1.12m
parte trasera:
ancho 1.13m
alto 0.85m
profundidad 0.97m
 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 03/10/2018, 06:49:59 am »

Hola

  Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

¿Cuántas pelotas de 8 cms de diámetro caben en el interior de un automóvil mini cooper 5 puertas??
parte delantera :
ancho 1.17m
alto 0.95m
profundidad 1.12m
parte trasera:
ancho 1.13m
alto 0.85m
profundidad 0.97m

 Sería bueno saber el contexto del problema. No se cuan realista se espera que sea la respuesta.

 El volumen disponible (en [texx]cm^3[/texx]) que tenemos es:

- En la parte delantera:

[texx]V_1=117\cdot 95\cdot 112=1244880cm^3[/texx]

- En la trasera:

[texx]V_2=113\cdot 85\cdot 97=931685cm^3[/texx]

En total:

[texx]V_t=V_1+V_2=1244880cm^3+931685cm^3=2176565cm^3[/texx]

Por otra parte las pelotas son de radio [texx]4cm[/texx]. El volumen de cada pelota es:

[texx]P=\dfrac{4\pi 4^3}{3}=268.083cm^3[/texx]

Una forma bruta de responder a la pregunta de cuantas bolas caben sería dividir el volumen total por el volumen de cada pelota:

[texx]\dfrac{2176565}{268.083}\approx 8119[/texx]

Pero es una respuesta totalemten irreal; por que las bolas necesariamente dejan huecos entre ellas; es imposible que aprovechen todo el espacio.

Si queremos dar un enfoque mínimamente realista tenemos que pensar en el problema de "empaquetamiento de esferas".

Se puede demostrar que en el caso más óptimo, la proporción de volumen aprovechado es de:

[texx]\dfrac{\pi}{\sqrt{18}}\approx 0.74048[/texx]

Así que una cota superior de las pelotas que podrían caber es:

[texx]\dfrac{2176565}{268.083}\cdot \dfrac{\pi}{\sqrt{18}}\approx 6011[/texx]

Si uno investiga un poco más sobre el asunto, se puede ver que difícilmente se alcanza en la realidad esta cota máxima y desde el punto de vista empírico  los apilamientos aleatorios de esferas iguales en el mejor de los casos aprovechan un 64% del volumen.

En ese caso una estimación (y todavía optimista, pero más realista) de las pelotas que pueden caber sería:

[texx]\dfrac{2176565}{268.083}\cdot 0.64\approx 5196[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 03/10/2018, 03:45:10 pm »

Hola

  Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

¿Cuántas pelotas de 8 cms de diámetro caben en el interior de un automóvil mini cooper 5 puertas??
parte delantera :
ancho 1.17m
alto 0.95m
profundidad 1.12m
parte trasera:
ancho 1.13m
alto 0.85m
profundidad 0.97m

 Sería bueno saber el contexto del problema. No se cuan realista se espera que sea la respuesta.

 El volumen disponible (en [texx]cm^3[/texx]) que tenemos es:

- En la parte delantera:

[texx]V_1=117\cdot 95\cdot 112=1244880cm^3[/texx]

- En la trasera:

[texx]V_2=113\cdot 85\cdot 97=931685cm^3[/texx]

En total:

[texx]V_t=V_1+V_2=1244880cm^3+931685cm^3=2176565cm^3[/texx]

Por otra parte las pelotas son de radio [texx]4cm[/texx]. El volumen de cada pelota es:

[texx]P=\dfrac{4\pi 4^3}{3}=268.083cm^3[/texx]

Una forma bruta de responder a la pregunta de cuantas bolas caben sería dividir el volumen total por el volumen de cada pelota:

[texx]\dfrac{2176565}{268.083}\approx 8119[/texx]

Pero es una respuesta totalemten irreal; por que las bolas necesariamente dejan huecos entre ellas; es imposible que aprovechen todo el espacio.

Si queremos dar un enfoque mínimamente realista tenemos que pensar en el problema de "empaquetamiento de esferas".

Se puede demostrar que en el caso más óptimo, la proporción de volumen aprovechado es de:

[texx]\dfrac{\pi}{\sqrt{18}}\approx 0.74048[/texx]

Así que una cota superior de las pelotas que podrían caber es:

[texx]\dfrac{2176565}{268.083}\cdot \dfrac{\pi}{\sqrt{18}}\approx 6011[/texx]

Si uno investiga un poco más sobre el asunto, se puede ver que difícilmente se alcanza en la realidad esta cota máxima y desde el punto de vista empírico  los apilamientos aleatorios de esferas iguales en el mejor de los casos aprovechan un 64% del volumen.

En ese caso una estimación (y todavía optimista, pero más realista) de las pelotas que pueden caber sería:

[texx]\dfrac{2176565}{268.083}\cdot 0.64\approx 5196[/texx]

Saludos.
Luis, muchas gracias por tu respuesta.
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