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Autor Tema: Ejercicio de definición Dominio y Recorrido de una función  (Leído 624 veces)
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Jonan
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« : 01/10/2018, 03:22:27 pm »

Hola a tod@s,

Estaba tratando de mejorar mi forma de expresarme en terminos matemáticos y para ello andaba realizando el siguiente ejercicio:

[texx]\color{red}\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-3},& x\ge 3&\textsf{ parte A}\\-x+3,&x<3&\textsf{ parte B}\end{cases}\color{black}[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ambas son 2 partes de la misma función (pero no he sido capaz de unificarlas con LaTEX).¿Alguien podría decirme si mis definiciones de Dominio y Recorrido estan bien planteadas?

Sobre la parte A defino que:

[texx]Dom(f)=\{ x\in R/x-3\geq 3\}=[3,+\infty )
[/texx]

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=y^{2}+3
[/texx] ,osea Recorrido de (y)=R (todos los números reales)

Y en el caso de la B:

[texx]Dom(f)=\{ x\in R/-x+3= R\}
[/texx][texx]\longrightarrow{}[/texx] Dom(f)=R (todos los números reales)

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=3-y
[/texx] ,osea Recorrido de (y)=R (todos los números reales)


Un saludo

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« Respuesta #1 : 01/10/2018, 03:47:48 pm »

Seguramente querrías escribir esto

[texx]\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-3},& x\ge 3\\-x+3,&x<3\end{cases}[/texx]

Tienes un tutorial de [texx]\LaTeX[/texx] aquí. Por otro lado el recorrido de la "parte a)" (la primera rama de la función) no es correcto ya que al ser una función se debe tomar sólo una de las raíces, no ambas, y se entiende por convención que la función raíz cuadrada da valores no negativos.

El dominio de la "parte b)" (la segunda rama de la función) no es correcto ya que se define esa rama para los valores menores a 3 expresamente, no para todo [texx]\Bbb R[/texx]. Y el recorrido de esta segunda rama también está mal ya que el dominio está mal.

El dominio de la función será la "suma" de los dominios de cada rama, y el recorrido la "suma" de los recorridos de las ramas.
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Jonan
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« Respuesta #2 : 02/10/2018, 03:41:26 pm »

Si,justo eso quería escribir,gracias!

Entonces, el recorrido de A sería:

[texx]Dom(f)=\{ x\in R/x\geq 3\}=[3,+\infty )
[/texx]

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=y^{2}+3
[/texx] ,osea Recorrido de (y)=[texx][0,+\infty)[/texx]

Y en el caso de la B:

[texx]Dom(f)=\{ x\in R/x<3\}
[/texx][texx]\longrightarrow{}[/texx] Dom(f)=[texx](-\infty,3)[/texx]

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=3-y
[/texx] ,osea Recorrido de (y)=[texx](-\infty,0)[/texx]

Y las uniones serían:

Dom(f)=[texx] (-\infty,3)\cup{}[3,+\infty )[/texx]

Rec(y)=[texx][-\infty,0)\cup{}[0,+\infty)[/texx]

O vamos,eso entiendo.

¿Podrías recomendarme algún enlace que explique  esto de forma clara? es que mis apuntes no se si no se entenderlos o que se quedan breves.

Gracias una vez mas!
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« Respuesta #3 : 02/10/2018, 04:45:41 pm »

Si,justo eso quería escribir,gracias!

Entonces, el recorrido de A sería:

[texx]Dom(f)=\{ x\in R/x\geq 3\}=[3,+\infty )
[/texx]

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=y^{2}+3
[/texx] ,osea Recorrido de (y)=[texx][0,+\infty)[/texx]

Y en el caso de la B:

[texx]Dom(f)=\{ x\in R/x<3\}
[/texx][texx]\longrightarrow{}[/texx] Dom(f)=[texx](-\infty,3)[/texx]

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=3-y
[/texx] ,osea Recorrido de (y)=[texx](-\infty,0)[/texx]

Y las uniones serían:

Dom(f)=[texx] (-\infty,3)\cup{}[3,+\infty )[/texx]

Rec(y)=[texx][-\infty,0)\cup{}[0,+\infty)[/texx]

O vamos,eso entiendo.

Exacto, así es. La forma de expresarlo dependerá de lo que te hayan enseñado.

Cita
¿Podrías recomendarme algún enlace que explique esto de forma clara? es que mis apuntes no se si no se entenderlos o que se quedan breves.

Gracias una vez mas!

Lamentablemente no sabría decirte. La manera de enseñar matemáticas a nivel de escuela secundaria dista bastante del nivel universitario. Prueba buscando en google según sea lo que quieras aprender, por ejemplo al buscar por "dominio y recorrido de una función" he encontrado esto:

https://www.vadenumeros.es/primero/dominio-y-recorrido-de-funciones.htm

También puedes probar con la academia Khan:

https://es.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions

El último enlace es un curso elemental sobre funciones, con vídeos y ejercicios, y en uno de los capítulos se expone lo que es el dominio y el recorrido (también llamado rango o imagen) de una función.
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« Respuesta #4 : 02/10/2018, 06:10:42 pm »

Hola

Rec(y)=[texx]\color{red}\boldsymbol[\color{black}-\infty,0)\cup{}\cdots[/texx]

Ojo que por más que nos acerquemos al infinito nunca vamos a alcanzarlo :guiño:. Debería ser [texx]\color{red}\boldsymbol(\color{black}-\infty,0)\cup{}\cdots[/texx].

Recorrido de (y)[texx]\longrightarrow{}[/texx][texx]x=3-y
[/texx] ,osea o sea Recorrido de (y)=[texx](-\infty,0)[/texx]

Entendiendo "recorrido" como "imagen" observá que como el dominio es [texx](-\infty,3)[/texx] los límites de [texx]y[/texx] serán: para [texx]x=-\infty[/texx] entonces [texx]-\infty=3-y\implies y=+\infty[/texx]; y para [texx]x=3[/texx] luego [texx]3=3-y\implies y=0[/texx].

O sea que el recorrido de la segunda rama es

[texx]\operatorname{Rec}(f_B)=(0,+\infty)[/texx], puesto que como es una función lineal no tiene "problemas".

Por lo tanto el recorrido total de [texx]f[/texx] será

[texx]\operatorname{Rec}(f)=\operatorname{Rec}(f_A)\cup\operatorname{Rec}(f_B)=[0,+\infty)\cup(0,+\infty)=[0,+\infty).[/texx]


Saludos

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