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Autor Tema: Pruebe \(\;\nexists (A_0\in A_1\in\ldots\in A_n\in A_0),\;\; n\in \mathbb{N}\).  (Leído 1453 veces)
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« : 01/10/2018, 02:22:57 pm »


Pruebe que es imposible la existencia de un ciclo:

[texx]A_0\in A_1\in A_2\in\ldots\in A_n\in A_0[/texx]

para toda    [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx].

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« Respuesta #1 : 01/10/2018, 03:57:48 pm »

Tenemos que [texx]\in[/texx] es una relación de orden estricto al crear a los naturales desde la axiomática de conjuntos, por tanto si eso fuese cierto nos quedaría que [texx]A_0\in A_0[/texx], lo cual está prohibido en ZF.

Aunque la demostración dependerá del contexto teórico exacto en la que haya sido planteada esta pregunta, y las herramientas y teoremas disponibles.
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« Respuesta #2 : 01/10/2018, 04:04:52 pm »

Tenemos que [texx]\in[/texx] es una relación de orden estricto al crear a los naturales desde la axiomática de conjuntos, por tanto si eso fuese cierto nos quedaría la relación de orden [texx]A_0\in A_0[/texx], la cual está prohibida en ZF.

Aunque la demostración dependerá del contexto teórico exacto en la que haya sido planteada esta pregunta, y las herramientas y teoremas disponibles.

Sólo se puede usar como base para la demostración:

   - Las primitivas conjunto y pertenece.

   - Los Axiomas de/l Existencia o Conjunto Vacío, Extensionalidad o Extensión, Comprensión o Especificación o
     Separación, Par, Unión, Partes o Potencia y Fundación o Regularización, (7 en total).

   - La definición de subconjunto

Los Axiomas:

Axioma 1 (de Existencia o Conjunto Vacío).

Hay un conjunto que no tiene elementos.
[texx]\emptyset[/texx]    ó    [texx]\{\}[/texx].


Axioma 2 (de Extensión o Extensionalidad).

Si todo elemento de    [texx]X[/texx]    es un elemento de    [texx]Y[/texx],    y todo elemento de    [texx]Y[/texx]    es un elemento de    [texx]X[/texx]    entonces    [texx]X=Y[/texx].

[texx]\forall{\,X,Y}:\;\big(\forall{\,x}:(x\in{X}\leftrightarrow x\in{Y})\leftrightarrow{X=Y}\big)[/texx].


Axioma 3 (de Comprensión, Especificación o Separación).

Sea    [texx]P(x)[/texx]    una propiedad de    [texx]x[/texx].    Para cualquier conjunto    [texx]A[/texx]    hay un conjunto     [texx]B[/texx]    tal que    [texx]x\in{B}[/texx]    si y sólo si    [texx]x\in{A}[/texx]    y    [texx]P(x)[/texx].

[texx]\forall{\,A}.\;\exists{\,B}.\;\forall{\,x}:\;\big(x\in{B}\leftrightarrow x\in{A}\wedge P(x)\big)[/texx].


Axioma 4 (del Par).

Para cualesquiera    [texx]a[/texx]    y    [texx]b[/texx]    hay un conjunto    [texx]C[/texx]    tal que    [texx]x\in{C}[/texx]    si y sólo si    [texx]x=a[/texx]    o    [texx]x=b[/texx].

[texx]\forall{\,(a,b)}.\;\exists{\,C}.\;\color{red}\forall{\,x}:\;\color{black}(x\in{C}\leftrightarrow x=a\vee x=b)[/texx].


Axioma 5 (de Unión).

Para cualquier conjunto    [texx]S[/texx],    existe un conjunto    [texx]U[/texx]    tal que    [texx]x\in{U}[/texx]    si y sólo si    [texx]x\in{X}[/texx]    para algún    [texx]X\in{S}[/texx].

[texx]\forall{\,S}.\;\exists{\,U}.\;\forall{\,x}:\big(x\in{U}\leftrightarrow\exists{\,X}:( x\in{X}\wedge X\in{S})\big)[/texx].


Axioma 6 (del Conjunto Potencia o Partes).

Para cualquier conjunto    [texx]X[/texx]    existe un conjunto    [texx]S[/texx]    tal que    [texx]A\in{S}[/texx]    si y sólo si    [texx]A\subseteq{X}[/texx].

[texx]\forall{\,X}.\exists{\,S}.\forall{\,A}:(A\in{S}\leftrightarrow A\subseteq X)[/texx].


Axioma 7 (de Fundación o Regularidad).

En cada conjunto no vacío    [texx]A[/texx]    existe    [texx]u\in{A}[/texx]    tal que    [texx]u[/texx]    y    [texx]A[/texx]    no tienen elementos en común, es decir, para cualquier    [texx]x[/texx],    si    [texx]x\in{A}[/texx]    entonces    [texx]x\not\in{u}[/texx].

[texx]\forall{\,A\neq{\emptyset}}.\;\exists{\,u}:\;\big(u\in{A}\wedge\forall{\,x}:\;(x\in{A}\rightarrow x\not\in{u})[/texx].


Saludos.

CORREGIDO.
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« Respuesta #3 : 01/10/2018, 04:10:34 pm »

Para    [texx]n=0[/texx]    es trivial

Para    [texx]n=1[/texx]    sería    [texx]\lnot(A_0\in{A_1}\wedge A_1\in{A_0})[/texx]    que está probado aquí


Para    [texx]n=2[/texx]    sería    [texx]\lnot(A_0\in{A_1}\in{A_2}\in{A_0})[/texx]     :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Intentándolo. Saludos.
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« Respuesta #4 : 01/10/2018, 05:14:14 pm »

Perdón, había malinterpretado el ejercicio... creía que los [texx]A_j[/texx] representaban números naturales. Supongo que habrá que usar inducción estructural, pero no tengo mucha idea ahora mismo.
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« Respuesta #5 : 01/10/2018, 05:23:02 pm »

Es igual que el caso [texx]n=2[/texx]. Aplica el axioma de regularidad al conjunto [texx]\{A_0,\ldots, A_n\}[/texx].
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« Respuesta #6 : 01/10/2018, 09:02:23 pm »

Es igual que el caso [texx]n=2[/texx]. Aplica el axioma de regularidad al conjunto [texx]\{A_0,\ldots, A_n\}[/texx].

Falta probarlo antes para    [texx]n=2[/texx].    Se me ocurre lo siguiente:

[texx]\left.\begin{array}{lll}
\left.\begin{array}{lll}
A_0\in{A_1}&\rightarrow&{\{A_0\}\subseteq{A_1}}\\
A_1\in{A_2}&\rightarrow&{\{A_1\}\subseteq{A_2}}\\
\end{array}\right\}&\rightarrow&{\{A_0\}\subseteq{A_2}}\\
A_2\in{A_0}&\rightarrow&{\{A_2\}\subseteq{A_0}}
\end{array}\right\}\rightarrow{A_0\in{A_2}\wedge A_2\in{A_0}}[/texx]

que contradice el Axioma de Fundación o Regularidad.

No se si es correcto. Saludos y gracias anticipadas.
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« Respuesta #7 : 02/10/2018, 05:10:26 am »

No entiendo lo que haces.

Yo me refería al caso de dos conjuntos, que en realidad es [texx]n=1[/texx] porque empiezas a contar en cero. Es el caso ya resuelto en

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=106145.0

Lo que te decía es que sale con el mismo argumento empleado en ese hilo. Y no es necesario probarlo primero para [texx]n=1[/texx] o [texx]n=2[/texx]. El mismo argumento empleado en el caso [texx]n=1[/texx] se puede aplicar directamente al caso general.
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« Respuesta #8 : 03/10/2018, 06:24:37 pm »

Es igual que el caso [texx]n=2[/texx]. Aplica el axioma de regularidad al conjunto [texx]\{A_0,\ldots, A_n\}[/texx].

¿Que axioma usar para crear el conjunto    [texx]\{A_0,\ldots,A_n\}[/texx]?

Saludos.
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« Respuesta #9 : 03/10/2018, 06:50:44 pm »

¿Que axioma usar para crear el conjunto    [texx]\{A_0,\ldots,A_n\}[/texx]?

El del par y el de la unión varias veces.
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« Respuesta #10 : 07/10/2018, 06:08:06 pm »

No entiendo lo que haces.

Inventando un axioma:

[texx]A_0\in{A_1}\rightarrow{\{A_0\}\subseteq{A_1}}[/texx],

:triste:


Saludos.
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« Respuesta #11 : 10/10/2018, 08:53:31 am »

Es igual que el caso [texx]n=2[/texx]. Aplica el axioma de regularidad al conjunto [texx]\{A_0,\ldots, A_n\}[/texx].

Esta probado aquí


que el conjunto    [texx]\{A_0,A_1,A_2,\ldots,A_n\}[/texx],    existe. Sea    [texx]A[/texx]    dicho conjunto.

Como por hipótesis    [texx]A_n\in{A_0}[/texx],    entonces    [texx]A_n\in{A}\wedge{A_n\in{A_0}}[/texx],    formalmente:


\begin{array}{lll}
01\quad A_0\in{A_1}\in{\ldots}\in{A_n}\in{A_0}&\textrm{Hipótesis}\\
02\quad \exists{\,\big(A\equiv{}\{A_0,A_1,\ldots,A_n\}\big)}&\textrm{Axs. Par y Unión}\\
03\quad A_n\in{A}\wedge{A_n\in{A_0}}&\textrm{Deducción de 1,2}\\
04\quad \lnot(A_n\not\in{A}\vee A_n\not\in{A_0})&\textrm{Ley de Morgan en 3}\\
05\quad \lnot(A_n\in{A}\rightarrow{A_n\not\in{A_0}})&\textrm{Condicional-disyunción en 4}\\
06\quad \lnot\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{A_0}})&\textrm{Intrtoducción generalizador en 5}\\
07\quad \exists{\,u}:\big(\lnot\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})\big)&\textrm{Introducción particularizador en 6}\\
08\quad \lnot\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})&\textrm{Eliminación particularizador en 7}\\
09\quad \forall{\,A}.\;\exists{\,u}:\big(u\in{A}\wedge\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})\big)&\textrm{Ax. de Fundación}\\
10\quad \exists{\,u}:\big(u\in{A}\wedge\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})\big)&\textrm{Eliminación generalizador en 9}\\
11\quad u\in{A}\wedge\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})&\textrm{Eliminación particularizador en 10}\\
12\quad u\in{A}&\textrm{Eliminación conjunción en 11}\\
13\quad \forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})&\textrm{Eliminación conjunción en 11}\\
14\quad \lnot\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})\wedge\forall{\,x}:(x\in{A}\rightarrow{x\not\in{u}})&\textrm{Introducción conjunción 8,13}\\
\hline
C:\quad \lnot(A_0\in{A_1}\in{\ldots}\in{A_n}\in{A_0})&\textrm{Reducción al absurdo 1-14}\\
\end{array}

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« Respuesta #12 : 10/10/2018, 05:45:58 pm »


Como por hipótesis    [texx]A_n\in{A_0}[/texx],    entonces    [texx]A_n\in{A}\wedge{A_n\in{A_0}}[/texx],   

¿Y de ahí qué deduces? Eso no es nada contradictorio.

De lo que pones luego, en 6) no puedes meter un generalizador detrás de un negador. No es lo mismo [texx]\forall \lnot[/texx] que [texx]\lnot\forall[/texx].

5) dice que [texx]A_n\in A\cap A_0[/texx], mientras que 6) dice que [texx]A\cap A_0\neq \emptyset[/texx], lo cual es realmente consecuencia de 5), pero no así.

En 7) has perdido toda información relevante, pues sólo dice que A no es disjunto de algún conjunto, lo cual es trivial (por ejemplo, no es disjunto de sí mismo). No puedes deducir nada con sustancia de algo trivial.

8) dice lo mismo que 7), o sea, nada prometedor.

En 11) es donde está la trampa gorda, porque no puedes quitar el particularizador y dejar una variable [texx]u[/texx] que ya estabas usando antes para otra cosa. Ese paso está mal sin remedio, es decir, no es de los que se pueden justificar de otro modo. Y a partir de ahí ya nada es aceptable.

A simple vista, la prueba no podía estar bien, porque no usas toda la hipótesis, sino únicamente que [texx]A_n\in A[/texx] y [texx]A\in A_0[/texx], y esto sólo no tiene nada de contradictorio. La contradicción está en la cadena de pertenencias que no usas para nada.

El argumento es que, por el axioma de regularidad, uno de los elementos de [texx]A[/texx] tiene que ser disjunto de [texx]A[/texx], es decir, algún [texx]A_i[/texx] tiene que ser disjunto de [texx]A[/texx], pero ninguno lo es, ya que [texx]A_0\in A\cap A_1[/texx], [texx]A_1\in A\cap A_2[/texx], etc.

Por cierto, no es una demostración que puedas hacer formalmente en 14 líneas, ni en 20, ni en 1000. El número de líneas de una demostración de este resultado es función del [texx]n[/texx] de partida. Cuando mayor sea [texx]n[/texx], más líneas hacen falta.
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« Respuesta #13 : 10/10/2018, 07:12:37 pm »


Como por hipótesis    [texx]A_n\in{A_0}[/texx],    entonces    [texx]A_n\in{A}\wedge{A_n\in{A_0}}[/texx],   

¿Y de ahí qué deduces? Eso no es nada contradictorio.

Eso es lo que se deduce de la hipótesis 1 y de la existencia del conjunto    [texx]A[/texx]    en virtud de los Axiomas del Par y de Unión en 2. En ningún momento se menciona que sea contradictorio. 

De lo que pones luego, en 6) no puedes meter un generalizador detrás de un negador. No es lo mismo [texx]\forall \lnot[/texx] que [texx]\lnot\forall[/texx].

El paso de 5 a 6 es:

Si    [texx]\lnot P(a)[/texx]    entonces    [texx]\lnot\forall{\,x}:\;P(x)[/texx].

¿No es correcto?   

Saludos y gracias.
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« Respuesta #14 : 10/10/2018, 07:24:37 pm »

Eso es lo que se deduce de la hipótesis 1 y de la existencia del conjunto    [texx]A[/texx]    en virtud de los Axiomas del Par y de Unión en 2. En ningún momento se menciona que sea contradictorio. 

Pero como luego dices "formalmente", parece que lo que había antes era una demostración entendible, y lo que sigue era la encriptación de la demostración, lo mismo pero dicho para que nadie lo entienda. Pero no, lo que parecía una demostración entendible no concluye nada.

El paso de 5 a 6 es:

Si    [texx]\lnot P(a)[/texx]    entonces    [texx]\lnot\forall{\,x}:\;P(x)[/texx].

¿No es correcto?   

Lo es porque [texx]\lnot\forall{\,x}:\;P(x)[/texx] es lo mismo que [texx]\exists x\lnot P(x)[/texx], y lo que estás aplicando realmente no es la introducción del generalizador, sino la introducción del particularizador. La diferencia es importante, porque en una demostración nunca hay restricciones a la hora de introducir particularizadores, mientras que no se pueden introducir generalizadores respecto de variables que están libres en las hipótesis.
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« Respuesta #15 : 11/10/2018, 05:14:52 am »

En 11) es donde está la trampa gorda, porque no puedes quitar el particularizador y dejar una variable [texx]u[/texx] que ya estabas usando antes para otra cosa. Ese paso está mal sin remedio, es decir, no es de los que se pueden justificar de otro modo. Y a partir de ahí ya nada es aceptable.

Si. Vaya fallo!  :enojado:

Otro intento.

\begin{array}{lll}
01\quad \forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\;\big(\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_{k-1}\in{A_k})\wedge A_n\in{A_0}\big)&\textrm{Hipótesis}\\
02\quad \forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\;\big(\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_{k-1}\in{A_k})\big)&\textrm{Eliminación de la conjunción en 1}\\
03\quad \forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\;(A_n\in{A_0})&\textrm{Eliminación de la conjunción en 1}\\
04\quad \forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\big(\exists{\,A^n\equiv{\{A_0,A_1,\ldots,A_n\}}}\big)&\textrm{Axs. del Par y de Unión}\\
05\quad \forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\;\big(\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_k\in{A^n})\big)&\textrm{Def. del conjunto }A^n\\
06\quad \forall{\,A^n}.\;\exists{\,(0\leq{u}\leq{n})}:\;\big(A_u\in{A^n}\wedge\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_k\in{A^n}\rightarrow{A_k\not\in{A_u}})\big)&\textrm{Ax. de Fundación para }A^n\\
07\quad \exists{\,(0\leq{u}\leq{n})}:\;\big(A_u\in{A^n}\wedge\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_k\in{A^n}\rightarrow{A_k\not\in{A_u}})\big)&\textrm{Eliminación generalizador en 6}\\
08\quad A_u\in{A^n}\wedge\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_k\in{A^n}\rightarrow{A_k\not\in{A_u}})&\textrm{Eliminación particularizador en 7}\\
09\quad A_u\in{A^n}&\textrm{Eliminación conjunción en 8}\\
10\quad \forall{\,(0<k<n)}:\;(A_k\in{A^n}\rightarrow{A_k\not\in{A_u}})&\textrm{Eliminación conjunción en 8}\\
11\quad \forall{\,(0<k<n)}:\;(A_k\not\in{A_u})&\textrm{Modus ponens 5,10}\\
12\quad A_{u-1}\not\in{A_u}&\textrm{Eliminación generalizador en 11}\\
13\quad \forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\;\big(\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_{k-1}\in{A_k})\big)\wedge A_{u-1}\not\in{A_u}&\textrm{Introducción conjunción 2,12}\\
\hline
C:\quad \lnot\Big(\forall{\,(n\in{\mathbb{N}})}:\;\big(\forall{\,(0<k<n)}:\;(A_{k-1}\in{A_k})\wedge A_n\in{A_0}\big)\Big)&\textrm{Reducción al absurdo 1-13}\\
\end{array}

Saludos.
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« Respuesta #16 : 11/10/2018, 06:01:52 am »

Lo que has escrito no tiene pies ni cabeza. Algunas incoherencias:

1) No tiene sentido que digas que, para todo [texx]n[/texx], se cumple [texx]A_n\in A_0[/texx]. Eso supone que tienes muchos [texx]A_n[/texx] distintos y que todos están en [texx]A_0[/texx], lo cual no tiene nada que ver con el planteamiento del problema.

Por otra parte, estás cuantificando sobre subíndices, lo cual presupone que tienes definidos los números naturales y que en realidad consideras a [texx]A[/texx] como una función definida sobre el conjunto [texx]\{0,\ldots, n\}[/texx].

Es algo que me sorprende, porque en un ejercicio similar escribí [texx]A\cap x[/texx] y me dijiste que no podías usar la intersección, porque todavía no la tenías definida. Y, en efecto, evitas en todo momento escribir intersecciones al precio de volver críptico lo que sería mucho más natural escrito con intersecciones. ¿Sucede entonces que no puedes usar intersecciones, porque no las tienes definidas, pero sí que puedes usar números naturales, y funciones definidas sobre los números naturales?

3) Es absurdo, igual que 1)

4) No es consecuencia de los axiomas del par y de la unión, pues para entenderlo en el sentido en que lo usas, hay que entender que ya tienes una función [texx]A[/texx] definida sobre el conjunto [texx]\{0,\ldots, n\}[/texx], y entonces tu [texx]A^n[/texx] sería la imagen de dicha función, que en realidad se obtendría por especificación a partir de la función [texx]A[/texx].

6) No es el axioma de fundación, sino un teorema que se prueba usando propiedades de las funciones, algo que va mucho más allá de aplicar un axioma. Varias veces has insistido en que tienes que demostrarlo sin usar nada que vaya más allá de los axiomas. Si es así, esto dista mucho de lo que pretendes.

En particular, es absurdo que lo enuncies esquivando el concepto de intersección cuando estás colando de contrabando muchos conceptos mucho más sofisticados que la intersección (como la ordenación de los números naturales, que usas cada vez que escribes [texx]<[/texx], lo cual supone teoremas de inducción y recursión, etc.)

11) Modus ponens significa que en una línea tienes [texx]\alpha\rightarrow \beta[/texx], en otra [texx]\alpha[/texx] y concluyes [texx]\beta[/texx]. Todo lo que no sea eso NO es modus ponens. Ni la línea 5 ni la 10 responden a este esquema.

12) Ahí usas muchas propiedades tácitamente, como que [texx]u-1<u[/texx], así que llamar a eso "eliminación del generalizador" es un engaño. Si coges una demostración sofisticada y pones sólo unos pocos pasos dándoles nombres de reglas sencillas cuando en realidad cada paso se deduce de mil cosas que no dices, lo que escribes no tiene valor lógico alguno. No es una demostración formal ni por asomo.

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« Respuesta #17 : 11/10/2018, 06:37:08 pm »

Lo que has escrito no tiene pies ni cabeza. Algunas incoherencias:

Pues menos formalismos entonces:

El conjunto     [texx]A^n\equiv{\{A_0,A_1,\ldots,A_n\}}[/texx]    existe, basta aplicar los Axiomas del Par y de Unión igual que aquí


Al aplicar el Axioma de Fundación al conjunto    [texx]A^n[/texx],

\begin{array}{ll}
01\quad\exists{\,u}:\;\big(u\in{A^n}\wedge\forall{\,x}:\;(x\in{A^n\rightarrow{x\not\in{u}}})\big)&\textrm{Ax. de Fundación para }A^n\\
02\quad\exists{\,u}:\;\big(u\in{A^n}\wedge\forall{\,x}:\;(x\not\in{A^n\vee x\not\in{u}})\big)&\textrm{Condicional-disyunción en 1}\\
03\quad \exists{\,u}:\;\big(u\in{A^n}\wedge\forall{\,x}:\;\lnot(x\in{A^n\wedge x\in{u}})\big)&\textrm{Ley de Morgan en 3}\\
\end{array}

esto es, debe existir un conjunto en    [texx]A^n[/texx]   que no tenga elementos comunes con     [texx]A^n[/texx].

Como bajo la hipótesis del enunciado todo conjunto de    [texx]A^n[/texx]    tiene un elemento en común con    [texx]A^n[/texx]    se puede deducir que tal cadena no puede existir.

Saludos y thank you very much.

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