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Autor Tema: Demostrar que una serie es absolutamente convergente  (Leído 732 veces)
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Juan Sánchez
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« : 01/10/2018, 11:43:37 am »

Sea [texx]X_n[/texx] una sucesión absolutamente convergente, cómo puedo demostrar que [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}[/texx], [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{X_n^2}[/texx].

Para la primera serie, he visto que [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{X_n}}}[/texx] por lo que el denominador tiene a infinito y por lo tanto la serie converge. Esta bien?

Cómo demuestro si la segunda serie es absolutamente convergente?
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« Respuesta #1 : 01/10/2018, 12:41:45 pm »

Sea [texx]X_n[/texx] una sucesión absolutamente convergente, cómo puedo demostrar que [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}[/texx], [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{X_n^2}[/texx].

Para la primera serie, he visto que [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{X_n}}}[/texx] por lo que el denominador tiene a infinito y por lo tanto la serie converge. Esta bien?

Cómo demuestro si la segunda serie es absolutamente convergente?

¿Está bien copiado el enunciado? ¿La sucesión [texx]X_n[/texx] es absolutamente convergente, o es la serie de término general [texx]X_n[/texx]?  Si es esto último, que el denominador de la primera serie tienda a infinito no garantiza que sea convergente.

Para la primera se puede proceder así: Como [texx]X_n[/texx] tiende a 0 entonces, para n "suficientemente grande" [texx]|1+X_n|>\frac{1}{2}[/texx] y en consecuencia [texx]\displaystyle\frac{|X_n|}{|1+X_n|}<2|X_n|[/texx]... Te dejo los detalles.

Para la otra, para n "suficientemente grande" [texx]|X_n|<1[/texx] y entonces [texx]|X_n^2|<|X_n|[/texx].... Te dejo los detalles.
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Juan Sánchez
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« Respuesta #2 : 01/10/2018, 01:25:04 pm »

Si perdona, acabo de darme cuenta que no entiendo qué diferencia hay entre que la sucesión [texx]X_n[/texx] sea absolutamente convergente, o lo sea serie de término general [texx]X_n[/texx]. En todo caso,  el enunciado correcto es:

Sea [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty X_n[/texx] absolutamente convergente, cómo puedo demostrar que [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}[/texx], [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{X_n^2}[/texx] también lo son?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 01/10/2018, 04:43:22 pm »

Si perdona, acabo de darme cuenta que no entiendo qué diferencia hay entre que la sucesión [texx]X_n[/texx] sea absolutamente convergente, o lo sea serie de término general [texx]X_n[/texx].

Que la sucesión [texx]X_n[/texx] sea absolutamente convergente significa que [texx]\left |{X_n}\right |[/texx] es convergente. Que la serie [texx]\sum_{n=1}^{\infty}X_n[/texx] sea absolutamente convergente significa que la serie [texx]\sum_{n=1}^{\infty}\left |{X_n}\right |[/texx] es convergente, es decir que la sucesión [texx]S_n=\sum_{k=1}^n \left |{X_k}\right |[/texx] de sus sumas parciales es convergente.
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