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Autor Tema: Demostrar que π(x0,X) es trivial.  (Leído 970 veces)
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« : 28 Septiembre, 2018, 01:53 »

Demostrar que el complemento de un conjunto finito de puntos en [texx]\mathbb{R}^{n}[/texx] es simplemente conexo para [texx]n \geq 3[/texx].

Mi idea es la siguiente:

Llamo [texx]A = \{  x_{j} \}_{0 \leq j \leq n} [/texx]

Sea [texx]\gamma : I \rightarrow \mathbb{R}^{n} - A[/texx]

Dado que la cantidad de puntos es finita, el conjunto [texx]A[/texx] esta acotado y existe algún [texx]r > 0[/texx] tal que [texx]B(x_{0},r) [/texx] tal que [texx]A \subset B(x_{0},r)[/texx].

Sean [texx] y_{j} [/texx] la proyección de [texx]x_{j}[/texx] en [texx]S= S(x_{0},r)[/texx] para [texx]1 \leq j \leq n[/texx].

Llamo a la unión de los conjuntos [texx]\displaystyle C = \bigcup_{j=1}^{n} \overline{x_{j} y_{j}}[/texx]

Mi idea es generar una homotopia entre  [texx]\gamma[/texx] y la proyección de [texx]\gamma[/texx] en [texx]S[/texx], para luego realizar una homotopia lineal entre ambas.

El problema es que no tiene porqué estar despejado el camino, así que mi idea es primero deformar un poquito [texx]\gamma[/texx] para lograrlo, y esto lo logro deformando a [texx]\gamma[/texx] para que se intersecte con [texx]C[/texx].

Si la curva tuviese derivada acotada, ya se que va a entrar finitas veces en el conjunto del cual la quiero excluir.

Pero como esto no es así, he de ser más delicado.

El loop [texx]\gamma[/texx], atraviesa a lo sumo una cantidad numerable de veces a [texx]C[/texx], sin puntos de acumulación. Más aun, son puntos aislados. También se puede dar la posibilidad de que se mantenga en [texx]C[/texx] durante un intervalo cerrado entero (ya que [texx]C[/texx] es cerrado, su preimagen ha de ser cerrada).

Mi idea es indexar a los puntos en los que la curva atraviesa a [texx]C[/texx], o en los que entra (y sale) de [texx]C[/texx]. Creo que por los naturales no puede ser, porqué podrían haber dos puntos de acumulación. Pero ha de haber algún ordinal numerable para el que se de.

Por ende, llamo [texx]D[/texx] al conjunto de [texx]t \in [0,1][/texx] tales que [texx]\gamma(t) \in C[/texx] y para ningún [texx]\varepsilon >0[/texx] se cumple que [texx] \gamma( B(t, \varepsilon) )  \subset C[/texx], que es una buena caracterización de la frontera de [texx]\gamma \cap C[/texx].

Ahora la idea se pone fea de escribir muy formal, pero tratando por separado los puntos aislados y los intervalos cerrados contenidos, la idea es hallar un entorno de estos (disjunto del resto de [texx]C[/texx]) en el cual deformar la curva para que no corte al resto de [texx]C[/texx]. Como el subconjunto del rayo de [texx]C[/texx] que corta nuestra curva, al resto de [texx]C[/texx] tiene distancia positiva (los rayos sólo se cortan en el cero, y hay un entorno del cero en el cual la curva no esta porqué no toca al centro [texx]x_{0}[/texx]), se que deformando esta recta dentro de un entorno de tal radio, esta deja de cortarse con [texx]C[/texx].

Una vez hecho esto, hago lo que tenia planeado y proyecto la recta [texx]\gamma'[/texx] sobre [texx]S[/texx], y luego la deformo mediante [texx]H(s,t) = \gamma' (s) (1-t) + p \gamma' (s) t[/texx].
Como la esfera tiene grupo fundamental nulo, hay una homotopia de [texx] p \gamma y' (s)[/texx] a un punto.


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« Respuesta #1 : 28 Septiembre, 2018, 02:07 »

Ahora que mande este mensaje. Se que el ejercicio estaba en la parte de teorema de Van Kampen, pero no se me había ocurrido como particionar el dominio sacandole puntos.

Veamos si esto funciona:

Quiero fabricar [texx]X_{k}[/texx] tales que [texx]\bigcup_{k=1}^{n} X_{k} = \mathbb{R}^{d} -A[/texx], con [texx]X_{i}[/texx] simplemente conexo para todo [texx]1 \leq i \leq n[/texx] y [texx]X_{i} \cap X_{j}[/texx] es simplemente conexo para todo [texx]1 \leq i,j \leq n[/texx].

Por inducción sobre [texx]n[/texx].

Esta claro que con un punto [texx]\mathbb{R}^{d} - \{ x_{0} \}[/texx] es simplemente conexo, basta con emplear la proyección de [texx]\gamma[/texx] sobre una esfera de centro [texx]x_{0}[/texx], y como toda esfera de dimensión [texx]n \geq 2[/texx] es contractible, puedo contraer a mi curva.

Ahora, tenemos que [texx]\mathbb{R}^{n} - A[/texx] homeomorfo moviendo los puntos. Entonces podemos asumir, sin perdida de generalidad, que hay un punto [texx]x_{n}[/texx] el cual esta a una distancia positiva de la capsula convexa que envuelve a los puntos restantes.

Tomamos un hiperplano [texx]P[/texx] que este a una distancia positiva [texx]\varepsilon[/texx] tanto de [texx]x_{n}[/texx] como de la capsula convexa de los otros puntos. Entonces los semiespacios abiertos determinados por el hiperplano paralelo a [texx]P[/texx], que contienen a [texx]P[/texx] y cuyo hiperplano de frontera esta a distancia [texx]\frac{\varepsilon}{3}[/texx] de [texx]P[/texx], contienen uno a [texx]X_{n}[/texx] y el otro al resto de los puntos de [texx]A[/texx].

Por ende, son simplemente conexos por hipotesis inductiva. Más aun, su intersección es homeomorfa al conjunto [texx] \{  x \in \mathbb{R}^{n} / 0 < x_{1} <1 \} [/texx] (basta con tomar una transformación rígida y una homotecia). Este conjunto es convexo por ser intersección de convexos, y por ende es simplemente conexo. Por lo tanto se dan las hipótesis del teorema de Van Kampen (abierto e intersecciones simplemente conexas) y completamos el ejercicio aplicándolo, ya que el producto libre de los dos grupos fundamentales es trivial por serlo así ambos.

Editado: Corregí el error de dimensión que me señalo Carlos Ivorra.
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« Respuesta #2 : 28 Septiembre, 2018, 05:22 »

Esta claro que con un punto [texx]\mathbb{R}^{n} - \{ x_{0} \}[/texx] es simplemente conexo, basta con emplear la proyección de [texx]\gamma[/texx] sobre una esfera de centro [texx]x_{0}[/texx], y como toda esfera de dimensión [texx]n \geq 3[/texx] es contractible, puedo contraer a mi curva.

Necesitas considerar esferas de dimensión [texx]n-1\geq 2[/texx], y las esferas no son contractibles, pero son simplemente conexas, y eso te vale. Por lo demás, tu argumento está bien.

Ahora, tenemos que [texx]\mathbb{R}^{n} - A[/texx] homeomorfo moviendo los puntos. Entonces podemos asumir, sin perdida de generalidad, que hay un punto [texx]x_{n}[/texx] el cual esta a una distancia positiva de la capsula convexa que envuelve a los puntos restantes.

Un poco más sencillo: si tomas dos de los puntos eliminados, deben diferir en una coordenada, pongamos que es la primera. Entonces toma el menor valor [texx]c[/texx] de la primera coordenada de los puntos eliminados y considera semiespacios abiertos de la forma [texx]x_1< c+2\epsilon[/texx] y [texx]x_1> c+\epsilon[/texx] con [texx]\epsilon[/texx] suficientemente pequeño como para que en la intersección no haya ningún punto eliminado. La intersección es homotópica a un hiperplano, que a su vez es homeomorfo a [texx]\mathbb R^{n-1}[/texx].
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« Respuesta #3 : 28 Septiembre, 2018, 09:20 »

En cuanto a lo de la esfera, me confundo la dimensión intrínseca de la esfera con la dimensión del espacio vectorial en el cual me la imagino inmersa. Gracias por la corrección.


En cuanto a lo otro.

Claro. Lo primero que pensé es que podía tener [texx]k^{d}[/texx] (donde [texx]d[/texx] es la dimensión de nuestro espacio) puntos en un cuadriculado uniforme, entonces no iba a tener tal hiperplano que me deje un punto afuera.
Pero no necesito que sea exactamente uno, con partir el conjunto de puntos a la mitad ya tendré dos conjuntos mas pequeños en los cuales aplicar la hipótesis inductiva.

Oh, algo de lo que me di cuenta es que accidentalmente use [texx]n[/texx] tanto para la cantidad de puntos que para la dimensión.

¡Gracias!
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