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Autor Tema: Dudas recopiladas  (Leído 1162 veces)
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JoseCG
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« : 15/09/2018, 08:56:38 am »

Buenas, he ido recopilando una serie de dudas de cara al examen y agradecería que las pudiéiseis resolver. Aquí van:


1.- Sea [texx]f(x)= x*e^\sqrt[2]{x}[/texx]. Hallar el área comprendida entre f, los ejes coordenados y la recta x=4.


2.- Sea [texx]f(x,y)= \dfrac{x}{e^ y}[/texx]:
a) Hallar los extremos absolutos (si existen) en [texx]R^2[/texx].
b) Extremos absolutos (si existen) en [0,1]x[0,1].


3.- Dada la función [texx]f(x,y)= \dfrac{x^2}{x^2+y^2}[/texx]:
a) Dar un punto del dominio alrededor del cual f sea inversible.
b) Alrededor del punto (1, 1), ¿qué dirección tengo que tomar para descender 45 grados? (usar derivadas direccionales).
c) Hallar los puntos críticos de f.
d) Clasificar los puntos críticos hallados en el apartado anterior.

(NOTA: En el apartado 'c' me da como único punto crítico el (0,0), lo que hace que en el apartado 'd' el Hessiano en el punto me da 0, por lo que no puedo determinar la naturaleza de (0,0). Entonces a partir de ahí no sé qué hacer.)


4.- Hallar los extremos absolutos, si existen, de la función [texx]f(x,y)= (x-1)^2 + (y-1)^2[/texx] en:
a) El triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (1,4).
b) La Región de [texx]R^2[/texx] limitada por T (T incluido).
c) Todo [texx]R^2[/texx].
d) Hallas los extremos relativos de f en T.


5.- Halllar los extremos absolutos y relativos de [texx]f(x,y)= \dfrac{1}{x^2 + y^2}[/texx].

(NOTA: En este ejercicio, me sale como punto crítico el (0,0), pero como este punto no pertenece al dominio de la función, entonces la función no tiene extremos en su dominio. Solo era esa duda, confirmar que mi solución es correcta. En caso de que sea así, no hace falta que os molestéis en hacer el ejercicio.)


6. Hallar [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{+}\infty ,{+}\infty}{\dfrac{x^2}{x^2+y^2}}[/texx].


Muchísimas gracias por la ayuda y disculpad las molestias.
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« Respuesta #1 : 15/09/2018, 11:24:43 am »

Eso no son dudas, son ejercicios. Yo creo que deberías plantear cuestiones concretas dentro de cada ejercicio, decir qué has intentado o en dónde tienes dificultad.
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JoseCG
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« Respuesta #2 : 15/09/2018, 02:43:16 pm »

Toda la razón. Os diré qué he ido haciendo en cada ejercicio y qué problemas he tenido.


(Ej 4 - 7 febrero 2012)
1.
Para calcular el áerea:

[texx]A(x)= \displaystyle\int_{0}^{4}x*e^\sqrt[2 ]{x}\, dx\Rightarrow{} x*\dfrac{2}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}-\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{2}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}\,dx = \dfrac{2*x}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}-\dfrac{2}{3}*\dfrac{2}{5}*e^\sqrt[2]{x^5}[/texx] (Nota: aquí estoy haciendo la integral indefinida pero no sé como expresarlo en LaTeX).

Por tanto, el área que me pide será:
[texx]A= A(4)- A(0)=...[/texx]

El problema está en que cuando intento calcular la integral de [texx]A(x)= \displaystyle\int_{0}^{4}x*e^\sqrt[2 ]{x}\, dx[/texx] tanto en Mathematica como en Symbolab, me da error, y no entiendo qué problema hay. Por tanto mi duda es si está bien planteado el problema y bien resuelta esa integral.

_____
(Ej 7 - 7 febrero 2012; Ej 5 - 7 junio 2012)

2.
No estoy seguro de que lo haya resuelto bien, porque me da una solución rara.
a)
Para hallar los extemos absolutos:
[texx]f(x,y)=x*e^\left\{{-y}\right\}[/texx]

[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=0\Rightarrow{}e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{}no \exists{} y/ e^\left\{{-y}\right\}=0[/texx]
[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=0\Rightarrow{}-x*y*e^\left\{{-y}\right\}=0[/texx]

Por tanto, no existen extremos absolutos en [texx]\mathbb{}^2[/texx].

b)
En (0,1)x(0,1) ya hemos visto que no hay extremos ya que no hay extremos en [texx]\mathbb{^2}[/texx]. Vemos si en la frontera de la función debido a la intersección entre f y los planos [texx]x=0, x=1, y=0, y=1[/texx] que definen el recinto [0,1]x[0,1].

[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{} z=0*e^\left\{{-y}\right\}=0; z'=0=0 [/texx]   ¿?
[texx]x=0[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{}z=x*e^0=x; z'=0; 1=0\Longrightarrow{}no\exists{}x\in{}\mathbb{}/1=0 \Longrightarrow{}[/texx] NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON Y=0.
[texx]y=0[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{} z=e^\left\{{-y}\right\}; z'=-e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{}no\exists{}y\in{}\mathbb{}/-e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{} [/texx] NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON X=1.
[texx]x=1[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{}z=x*e^\left\{{-1}\right\}; z'?e^\left\{{-1}\right\}=0\Longrightarrow{}no\exists{}x\in{}\mathbb{}/e^\left\{{-1}\right\}=0\Longrightarrow{}[/texx]NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON Y=1.
[texx]y=1[/texx]

_____
(Ej 4 - 10 febrero 2011)

3.
a) Directamente no se me ocurre ninguna respuesta.
b) Tampoco sé responder.

c) Para hallar los puntos críticos:
[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=0\Rightarrow{}\dfrac{2*x*y^2}{(x^2+y^2)^2}=0; 2x*y^2=0; x=0[/texx]
[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=0\Rightarrow{} \dfrac{-x^2*2*y}{(x^2+y^2)^2}=0;-x^2*2*y=0;0*2*y=0\Rightarrow{}y=0\Longrightarrow{}[/texx]Punto crítico: (0,0)

d) Para clasificar los puntos críticos, hallo el Hessiano:
Segunda derivada de f respecto de x =[texx]\dfrac{2*y^2*(y^2-3*x^2)}{(x^2+y^2)^3}[/texx]
Segunda derivada de f respecto de y = [texx]\dfrac{-2*x^2*(x^2-3*y^2)}{(x^2+y^2)^3}[/texx]
Segunda derivada de f respecto de x, y = [texx]\dfrac{4*x*y*(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3}[/texx]

Por tanto al sustituir en las segunda derivadas por (x,y)=(0,0), el hessiano me sale:
[texx]H(0,0)=0\Longrightarrow{}[/texx] No puedo estudiar la naturaleza del punto.
Y a partir de aquí no sé si tengo que buscarme la vida para ver la naturaleza del punto o si es que me he equivocado en el cálculo. Sospecho que me haya equivocado en el cálculo porque al hacer el sistema de ecuaciones para hallar el punto crítico, me da por narices el (0,0), porque no tengo nada para despejar, y esto último es lo que me hace sospechar.

_____
(Ej 5 - 10 febrero 2011)

4.
Mi duda en este ejercicio es cómo lo debo plantear. Esto es lo que yo entiendo que me pide:

a) Hallar los extremos de la función con cada una de las restricciones de forma separada, siendo las restricciones las ecuaciones de cada una de las rectas que forman el triángulo. Así debo hallar los extremos de 3 lagrangianos distintos. Por ejemplo:

[texx]r_1\equiv{}g(x,y)=0[/texx], siendo g(x,y)=0 la ecuación de la recta.
Así el Lagrangiano asociado a la recta 1 es:
[texx]L(x,y,landa)=(x-1)^2+(y-1)^2+ landa*g(x,y)[/texx]
Y así con las 3 rectas.

b) Aquí, a los extremos que me hayan salido de los 3 Lagrangianos, les deberé añadir los extremos que me salgan de la función sin restricciones, siempre y cuando se encuentren dentro del recinto definido por el triangulo. Es decir, añado los extremos que obtenga de:
[texx]f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2[/texx] (sin restricciones), siempre y cuando los extremos que haya obtenido de esta función estén dentro del recinto.

c) Para todo[texx]\mathbb{}^2[/texx], hago lo mismo que en el apartado anterior (b), con la única diferencia de que aquí no rechazo ningún extremo resultante, me valen todos.

d) Aquí no sé a qué se refiere, porque se supone que ya he hallado los extremos relativos de f en T en apartados anteriores.

_____
(Ej 7 - 5 septiembre 2011)

5. Me pide hallar los extremos de la función en su dominio.
En este ejercicio tengo el mismo problema que en el apartado C del ejercicio 3. Esto es lo que yo he hecho:

[texx]Domf(x,y)=\mathbb{}^2 - \left\{{(0,0)}\right\}[/texx]

[texx]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=0\Rightarrow{} \dfrac{-2*x}{(x^2+y^2)^2}=0; -2*x=0; x=0[/texx]
[texx]\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=0\Rightarrow{}\dfrac{-2y}{(x^2+y^2)^2}=0; -2*y=0; y=0\Longrightarrow{}[/texx] Hay un punto crítico en (0,0).

Por tanto, no hay extremos absolutos ni relativos de f(x,y) en su dominio.

_____
(Ej 4 - 5 septiembre 2011)

6. Ya he resuelto mi duda en este ejercicio. No obstante, os planteo este otro que no consigo resolver:
"Estudiar la convergencia de las series [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{n^2-1}}[/texx] y [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{n+3}{n^2+1}}[/texx]"

He sacado que la primera serie es convergente y la segunda serie es divergente (en eso no tengo problema).
Lo que no se me ocurre cómo hacer es la suma de la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{n^2-1}}[/texx], por lo que os agradecería que me ayudáseis.




Siento haber hecho una explicación de mis dudas tan larga y pesada, pero espero que me podaís ayudar.

Muchísimas gracias por la paciencia.
Un saludo.



PD: Debido a que no sé cómo formar un sistema de ecuaciones en LaTeX, en los ejercicios 2a, 2b, 3c, 5 he tratado de expresar dichos sistemas entre las ecuaciones que se encuentran más juntas. Si no he sabido explicarme, trataré de hacerlo mejor siempre y cuando me lo hagáis saber.
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« Respuesta #3 : 15/09/2018, 03:16:23 pm »

Al menos en el 1er ejercicio

Cita
1.
Para calcular el áerea:

[texx]A(x)= \displaystyle\int_{0}^{4}x*e^\sqrt[2 ]{x}\, dx\Rightarrow{} x*\dfrac{2}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}-\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{2}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}\,dx = \dfrac{2*x}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}-\dfrac{2}{3}*\dfrac{2}{5}*e^\sqrt[2]{x^5}[/texx] (Nota: aquí estoy haciendo la integral indefinida pero no sé como expresarlo en LaTeX).

Por tanto, el área que me pide será:
[texx]A= A(4)- A(0)=...[/texx]

el problema es que estás haciendo mal la integración por partes (integraste solo el exponente )

El camino es hacer la sustitución [texx]x=u^2[/texx]  y después integrar por partes varias veces.


Cita
El problema está en que cuando intento calcular la integral de [texx]A(x)= \displaystyle\int_{0}^{4}x*e^\sqrt[2 ]{x}\, dx[/texx] tanto en Mathematica como en Symbolab, me da error, y no entiendo qué problema hay. Por tanto mi duda es si está bien planteado el problema y bien resuelta esa integral.

Es extraño porque no se trata de una integral "difícil"  ,  WolframAlpha no tiene problemas:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+x+e%5E%28sqrt%28x%29%29+from+0+to+4
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« Respuesta #4 : 15/09/2018, 03:59:08 pm »

Toda la razón. Os diré qué he ido haciendo en cada ejercicio y qué problemas he tenido.

1.
Para calcular el áerea:

[texx]A(x)= \displaystyle\int_{0}^{4}x*e^\sqrt[2 ]{x}\, dx\Rightarrow{} x*\dfrac{2}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}-\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{2}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}\,dx = \dfrac{2*x}{3}*e^\sqrt[2]{x^3}-\dfrac{2}{3}*\dfrac{2}{5}*e^\sqrt[2]{x^5}[/texx] (Nota: aquí estoy haciendo la integral indefinida pero no sé como expresarlo en LaTeX).

Por tanto, el área que me pide será:
[texx]A= A(4)- A(0)=...[/texx]

El problema está en que cuando intento calcular la integral de [texx]A(x)= \displaystyle\int_{0}^{4}x*e^\sqrt[2 ]{x}\, dx[/texx] tanto en Mathematica como en Symbolab, me da error, y no entiendo qué problema hay. Por tanto mi duda es si está bien planteado el problema y bien resuelta esa integral.

Ni idea sobre symbolab pero en mathematica no debería haber problema. Un apunte, antes de resolver: fíjate que el área no es función de [texx]x[/texx]. Para resolver la integral como ya han dicho basta con sustituir [texx]x=u^2[/texx], quedando

[texx]\displaystyle A=\int_0^4 xe^{\sqrt x}dx=\int_0^2 2u^3 e^u du=2[e^u u^3-e^u3u^2+e^u6u-6e^u]_{u=0}^{u=2}[/texx]


Cita
2. No estoy seguro de que lo haya resuelto bien, porque me da una solución rara.
a)
Para hallar los extemos absolutos:
[texx]f(x,y)=x*e^\left\{{-y}\right\}[/texx]

[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=0\Rightarrow{}e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{}no \exists{} y/ e^\left\{{-y}\right\}=0[/texx]
[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=0\Rightarrow{}-x*y*e^\left\{{-y}\right\}=0[/texx]

Por tanto, no existen extremos absolutos en [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Parece correcto. Fíjate que es más fácil ver que la función es arbitrariamente grande cuando [texx](x,y)\to (\infty,0)[/texx], y arbitrariamente grande en los negativos cuando [texx](x,y)\to (-\infty,0)[/texx], por tanto no puede tener extremos absolutos.

Cita
b)
En (0,1)x(0,1) ya hemos visto que no hay extremos ya que no hay extremos en [texx]\mathbb{R^2}[/texx]. Vemos si en la frontera de la función debido a la intersección entre f y los planos [texx]x=0, x=1, y=0, y=1[/texx] que definen el recinto [0,1]x[0,1].

[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{} z=0*e^\left\{{-y}\right\}=0; z'=0=0 [/texx]   ¿?
[texx]x=0[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{}z=x*e^0=x; z'=0; 1=0\Longrightarrow{}no\exists{}x\in{}\mathbb{}/1=0 \Longrightarrow{}[/texx] NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON Y=0.
[texx]y=0[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{} z=e^\left\{{-y}\right\}; z'=-e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{}no\exists{}y\in{}\mathbb{}/-e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{} [/texx] NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON X=1.
[texx]x=1[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{}z=x*e^\left\{{-1}\right\}; z'?e^\left\{{-1}\right\}=0\Longrightarrow{}no\exists{}x\in{}\mathbb{}/e^\left\{{-1}\right\}=0\Longrightarrow{}[/texx]NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON Y=1.
[texx]y=1[/texx]

No sigo muy bien lo que haces ahí, te digo lo que yo haría: buscar los extremos de las funciones [texx]h(x):=x[/texx] en [texx][0,1][/texx] y de la función [texx]g(x):=e^{-x}[/texx] en [texx][0,1][/texx], y ver si entonces es fácil deducir los extremos de [texx]f[/texx] de ahí, en este caso sí ya que es la multiplicación de las dos funciones.

El mínimo absoluto es cero ya que es una función no-negativa en el dominio dado y el cero se alcanza cuando [texx]x=0[/texx]. El máximo se alcanza en el producto de los máximos que multiplican, es decir en [texx](x,y)=(1,0)[/texx].

Cita
3.
a) Directamente no se me ocurre ninguna respuesta.


Debes buscar un punto donde la derivada de la función es biyectiva. En este caso tal punto no existe ya que el codominio tiene dimensión menor al dominio.

Cita
b) Tampoco sé responder.

Calculas el gradiente (supongo que existe) en el punto dado, es decir [texx]\nabla f(1,1)[/texx], y luego buscas una dirección unitaria [texx]v[/texx] tal que [texx]D_v f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot v=-1[/texx], ya que [texx]-1[/texx] es la pendiente correspondiente a descender en 45º.

Cita
c) Para hallar los puntos críticos:
[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=0\Rightarrow{}\dfrac{2*x*y^2}{(x^2+y^2)^2}=0; 2x*y^2=0; x=0[/texx]
[texx]\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=0\Rightarrow{} \dfrac{-x^2*2*y}{(x^2+y^2)^2}=0;-x^2*2*y=0;0*2*y=0\Rightarrow{}y=0\Longrightarrow{}[/texx]Punto crítico: (0,0)

El gradiente viene dado por [texx]\nabla f(x,y)=(2xy^2(x^2+y^2)^{-2},-2x^2y(x^2+y^2)^{-2})[/texx], por tanto no tiene puntos críticos ya que el [texx](0,0)[/texx] no es un punto del dominio de la función.

Luego sigo.
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« Respuesta #5 : 15/09/2018, 04:08:47 pm »

Hola a todos

Luego sigo.

Ayudando a Masacroso en la tarea:

6. Hallar [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{+}\infty ,{+}\infty}{\dfrac{x^2}{x^2+y^2}}[/texx].

mirá acá: https://math.stackexchange.com/q/334143/525384. (Un pequeño error visual: el límite debería tender a [texx](x,y)\to\mathopen{\bf{\color{red}(}}+\infty,+\infty\mathclose{\bf{\color{red})}}[/texx]).

Si tenés alguna consulta no dudes en preguntar.

Saludos
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« Respuesta #6 : 15/09/2018, 05:19:14 pm »

Hola, buenas noches.

Antes de nada quisiera comentar que, en mi opinión, hubiese sido mucho más fácil seguir la conversación si cada duda se hubiese publicado en un hilo diferente...

Bueno, ahí voy con mi granito de arena:

En el 5) diría que no está muy bien expresado eso de que "Hay un punto crítico en el (0,0)", ya que como bien dices después, éste no pertenece al dominio. En lo demás concuerdo contigo, JoseCG.

4.- Hallar los extremos absolutos, si existen, de la función [texx]f(x,y)= (x-1)^2 + (y-1)^2[/texx] en:
a) El triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (1,4).
b) La Región de [texx]R^2[/texx] limitada por T (T incluido).
c) Todo [texx]R^2[/texx].
d) Hallas los extremos relativos de f en T.

En este quizás te ayude el hecho de que la función es el cuadrado de la distancia de un punto del plano al punto (1,1), por lo que será máxima cuando la distancia sea máxima, y mínima cuando la distancia sea mínima...

Lo que no se me ocurre cómo hacer es la suma de la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{n^2-1}}[/texx]

Revisa el enunciado, encaja mejor que te pregunten que estudies la convergencia y calcules la suma de: [texx]\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{\dfrac{1}{n^2-1}}[/texx]

Si fuese así, para hallar la suma, descompón la función como suma de funciones racionales simples y verás que la serie es telescópica:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.   :guiño:
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« Respuesta #7 : 15/09/2018, 05:36:31 pm »

4. Mi duda en este ejercicio es cómo lo debo plantear. Esto es lo que yo entiendo que me pide:

a) Hallar los extremos de la función con cada una de las restricciones de forma separada, siendo las restricciones las ecuaciones de cada una de las rectas que forman el triángulo. Así debo hallar los extremos de 3 lagrangianos distintos. Por ejemplo:

[texx]r_1\equiv{}g(x,y)=0[/texx], siendo g(x,y)=0 la ecuación de la recta.
Así el Lagrangiano asociado a la recta 1 es:
[texx]L(x,y,landa)=(x-1)^2+(y-1)^2+ landa*g(x,y)[/texx]
Y así con las 3 rectas.

No sé si lo de los lagrangianos está bien o no, esa parte de la teoría la tengo algo olvidada pero suponiendo que lo esté otra forma de hallar los extremos absolutos es parametrizar T por una función inyectiva [texx]g:[0,1]\to T[/texx], entonces te queda una función de una variable [texx]f\circ g[/texx].

Cita
d) Aquí no sé a qué se refiere, porque se supone que ya he hallado los extremos relativos de f en T en apartados anteriores.

Te piden los extremos relativos, antes te pedían los absolutos. Supongo que se refiere a los extremos relativos del interior del triángulo.

Eso lo resuelves buscando los puntos críticos en el interior de T y haciendo los hessianos correspondientes para ver que realmente sean extremos relativos y no puntos de silla. Si ya los has calculado en los apartados anteriores pues mejor.

Cita
5. Me pide hallar los extremos de la función en su dominio.
En este ejercicio tengo el mismo problema que en el apartado C del ejercicio 3. Esto es lo que yo he hecho:

[texx]Domf(x,y)=\mathbb{}^2 - \left\{{(0,0)}\right\}[/texx]

[texx]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=0\Rightarrow{} \dfrac{-2*x}{(x^2+y^2)^2}=0; -2*x=0; x=0[/texx]
[texx]\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=0\Rightarrow{}\dfrac{-2y}{(x^2+y^2)^2}=0; -2*y=0; y=0\Longrightarrow{}[/texx] Hay un punto crítico en (0,0).

Por tanto, no hay extremos absolutos ni relativos de f(x,y) en su dominio.

Correcto, como en la función del ejercicio 3.

Cita
6. Ya he resuelto mi duda en este ejercicio. No obstante, os planteo este otro que no consigo resolver:
"Estudiar la convergencia de las series [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{n^2-1}}[/texx] y [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{n+3}{n^2+1}}[/texx]"

He sacado que la primera serie es convergente y la segunda serie es divergente (en eso no tengo problema).
Lo que no se me ocurre cómo hacer es la suma de la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{n^2-1}}[/texx], por lo que os agradecería que me ayudáseis.

Supongo que te refieres a esta suma: [texx]\sum_{k=2}^n\frac1{k^2-1}[/texx], la que tú has puesto no sería más que [texx]\sum_{i=1}^n\frac1{n^2-1}=\frac{n}{n^2-1}[/texx].

Asumiendo que te referías a la primera: tiene pinta de ser una suma telescópica, observa que [texx]k^2-1=(k+1)(k-1)[/texx], entonces haciendo descomposición en fracciones simples nos queda:

[texx]\displaystyle \sum_{k=2}^n\frac1{k^2-1}=\frac12\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}-\frac1{k+1}\right)=\frac34-\frac{2n+1}{2n(n+1)}[/texx]

suponiendo [texx]n\ge 3[/texx].
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« Respuesta #8 : 16/09/2018, 09:11:44 am »



Cita
b)
En (0,1)x(0,1) ya hemos visto que no hay extremos ya que no hay extremos en [texx]\mathbb{R^2}[/texx]. Vemos si en la frontera de la función debido a la intersección entre f y los planos [texx]x=0, x=1, y=0, y=1[/texx] que definen el recinto [0,1]x[0,1].

[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{} z=0*e^\left\{{-y}\right\}=0; z'=0=0 [/texx]   ¿?
[texx]x=0[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{}z=x*e^0=x; z'=0; 1=0\Longrightarrow{}no\exists{}x\in{}\mathbb{}/1=0 \Longrightarrow{}[/texx] NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON Y=0.
[texx]y=0[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{} z=e^\left\{{-y}\right\}; z'=-e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{}no\exists{}y\in{}\mathbb{}/-e^\left\{{-y}\right\}=0\Longrightarrow{} [/texx] NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON X=1.
[texx]x=1[/texx]


[texx]z=x*e^\left\{{-y}\right\}\Rightarrow{}z=x*e^\left\{{-1}\right\}; z'?e^\left\{{-1}\right\}=0\Longrightarrow{}no\exists{}x\in{}\mathbb{}/e^\left\{{-1}\right\}=0\Longrightarrow{}[/texx]NO HAY EXTREMOS EN LA INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON Y=1.
[texx]y=1[/texx]

No sigo muy bien lo que haces ahí, te digo lo que yo haría: buscar los extremos de las funciones [texx]h(x):=x[/texx] en [texx][0,1][/texx] y de la función [texx]g(x):=e^{-x}[/texx] en [texx][0,1][/texx], y ver si entonces es fácil deducir los extremos de [texx]f[/texx] de ahí, en este caso sí ya que es la multiplicación de las dos funciones.

El mínimo absoluto es cero ya que es una función no-negativa en el dominio dado y el cero se alcanza cuando [texx]x=0[/texx]. El máximo se alcanza en el producto de los máximos que multiplican, es decir en [texx](x,y)=(1,0)[/texx].


De acuerdo, entiendo lo que dices. Esto supongo que se puede hacer siempre y cuando haya dos funciones h(x), g(y) que vayan sumadas, multiplicadas, etc. Pero en el caso de que h(x) y g(y) no se pudiesen separar tan facilmente, ¿cómo se podría resolver ese tipo de ejercicios?

De todas formas, adjunto un ejercicio que encontré en internet en el que se explica con mayor claridad lo que hice. Si consideráis que es una forma correcta de hacerlo, mejor para mí ya que estoy acostumbrado a hacerlo de esa forma. No obstante, si opináis lo contrario hacedmelo saber.

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« Respuesta #9 : 16/09/2018, 09:56:11 am »

De acuerdo, entiendo lo que dices. Esto supongo que se puede hacer siempre y cuando haya dos funciones h(x), g(y) que vayan sumadas, multiplicadas, etc. Pero en el caso de que h(x) y g(y) no se pudiesen separar tan facilmente, ¿cómo se podría resolver ese tipo de ejercicios?

Supongamos que la región es compacta y conexa y la función es continua y diferenciable, entonces bastaría con buscar los extremos relativos en el interior de la región y luego los extremos relativos en el contorno de la región, usando alguna parametrización.

Para regiones más complicadas no sabría decirte un método general, también depende de la regularidad de la función dada.

Cita
De todas formas, adjunto un ejercicio que encontré en internet en el que se explica con mayor claridad lo que hice. Si consideráis que es una forma correcta de hacerlo, mejor para mí ya que estoy acostumbrado a hacerlo de esa forma. No obstante, si opináis lo contrario hacedmelo saber.


Utiliza el método que te sea más sencillo de aplicar. El método mostrado es básicamente el mismo que te he descrito arriba, solo que no ha necesitado parametrizar el contorno ya que en este caso era bastante sencillo (básicamente 3 segmentos).
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« Respuesta #10 : 16/09/2018, 01:56:09 pm »

Debes buscar un punto donde la derivada de la función es biyectiva. En este caso tal punto no existe ya que el codominio tiene dimensión menor al dominio.

De acuerdo. Entonces teniendo eso en cuenta, ¿ninguna función de varias variables es inversible en un punto ya que el codominio va a tener dimensión menor que el dominio? ¿Sólo son inversibles las funciones de una variable?
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« Respuesta #11 : 16/09/2018, 02:20:06 pm »

Debes buscar un punto donde la derivada de la función es biyectiva. En este caso tal punto no existe ya que el codominio tiene dimensión menor al dominio.

De acuerdo. Entonces teniendo eso en cuenta, ¿ninguna función de varias variables es inversible en un punto ya que el codominio va a tener dimensión menor que el dominio? ¿Sólo son inversibles las funciones de una variable?

Depende del dominio de la función, que puede definir una subvariedad de la misma dimensión del codominio. Es ese caso la función puede ser invertible. Pero en este caso el dominio es de dimensión mayor.

Por ejemplo: la función [texx]f:\mathrm{S^1}\to (-\pi,\pi],\, (x,y)\mapsto \operatorname{atan2}(y,x)[/texx] es continua, con [texx]\mathrm{S^1}:=\{(x,y)\in\Bbb R^2: \sqrt{x^2+y^2}=1\}[/texx] es el círculo de radio uno centrado en el cero del plano, y [texx]\operatorname{atan2}[/texx] es la función siquiente:

https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2

la cual es continua en todos los puntos excepto en el punto [texx](-1,0)[/texx], y también biyectiva, en el dominio [texx]\mathrm{S^1}[/texx], y por tanto invertible.

AÑADO: no estoy seguro de mi respuesta a la invertibilidad local de la función del ejercicio. Lo cierto es que el teorema de la función inversa sólo nos asegura que bajo determinadas condiciones una función es invertible localmente. Quizá la función dada sea invertible localmente.

Olvida la respuesta que te había dado, creo que es errónea.
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« Respuesta #12 : 16/09/2018, 02:31:39 pm »

Hola.

Sólo añadir que sí que hay funciones biyectivas cuyo dominio es de mayor dimensión que su imagen. Sólo que éstas no son continuas.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 16/09/2018, 02:37:22 pm »

Hola.

Sólo añadir que sí que hay funciones biyectivas cuyo dominio es de mayor dimensión que su imagen. Sólo que éstas no son continuas.

Saludos.

Sí, totalmente cierto, qué tonto soy. Teóricamente existen biyecciones entre [texx]\Bbb R^n[/texx] y [texx]\Bbb R[/texx] ya que tienen la misma cardinalidad.
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« Respuesta #14 : 16/09/2018, 02:45:15 pm »

Hola

Les comparto mi solución para el 3. a) (los otros ítems no tienen nada que ver con éste):

3.- Dada la función [texx]f(x,y)= \dfrac{x^2}{x^2+y^2}[/texx]:
a) Dar un punto del dominio alrededor del cual f sea inversible.

La función, de tener inversa local o global, debería ser biyectiva en uno o varios puntos de su dominio natural, pero como [texx]f(x,y)=f(-x,-y)[/texx] (no es inyectiva) luego no es biyectiva, por tanto no podemos calcular su inversa local ni globalmente.

¿Podría ser otra justificación? :¿eh?:

Quizás sirva pensar en otro caso más "simple": [texx]g(x,y)=x+y[/texx], claramente es biyectiva y sí se puede hayar una inversa, aunque a mí no me enseñaron calcular inversas de campos :cara_de_queso:.

Saludos y perdón mi intromisión, me pareció interesante este tema de inversas de funciones de varias variables
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« Respuesta #15 : 16/09/2018, 03:05:02 pm »

Una demostración de que la función [texx]f:\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to\Bbb R,\,(x,y)\mapsto\frac{x^2}{x^2+y^2}[/texx] no es localmente invertible en ningún punto sería verificar que todo punto pertenece a una curva de nivel, y por tanto en todo entorno de cualquier punto siempre hay puntos del mismo valor.

Eso se verificaría viendo que, para un [texx](x_0,y_0)[/texx] cualquiera entonces la solución a la ecuación [texx]f(x,y)=f(x_0,y_0)[/texx] describe una función contínua, para lo cual se necesitaría el teorema de la función implícita.

Dicho de modo más sencillo: el corte de la función [texx]f[/texx] con todo plano a cualquier altura [texx]c[/texx] define curvas continuas, puntos aislados o conjuntos vacíos (cuando no hay intersección).
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« Respuesta #16 : 16/09/2018, 03:40:33 pm »

Hola

Una demostración de que la función [texx]f:\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to\Bbb R,\,(x,y)\mapsto\frac{x^2}{x^2+y^2}[/texx] no es localmente invertible en ningún punto sería verificar que todo punto pertenece a una curva de nivel, y por tanto en todo entorno de cualquier punto siempre hay puntos del mismo valor.

Eso se verificaría viendo que, para un [texx](x_0,y_0)[/texx] cualquiera entonces la solución a la ecuación [texx]f(x,y)=f(x_0,y_0)[/texx] describe una función contínua, para lo cual se necesitaría el teorema de la función implícita.

Dicho de modo más sencillo: el corte de la función [texx]f[/texx] con todo plano a cualquier altura [texx]c[/texx] define curvas continuas, puntos aislados o conjuntos vacíos (cuando no hay intersección).

Felicidades Masacroso, acabo de consultar con un profesor y me dijo que tu solución es la correcta Aplauso Aplauso. Una prueba:


La mía no lo es pues si bien está bien para justificar que no tiene inversa global, no sirve localmente ya que [texx](-x_0,-y_0)[/texx] está "muy lejos" de [texx](x_0,y_0)[/texx]. Excelente idea :sonrisa:.

Saludos

* PruebaCurvasCorrecta.jpg (14.11 KB - descargado 137 veces.)
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« Respuesta #17 : 16/09/2018, 06:09:04 pm »

¡Vaya! Muchísimas gracias por toda la ayuda con mis dudas. Soy nuevo en el foro y la verdad es que en otros foros de los que vengo a menudo no llegan a nivel de universidad, lo cual es una pena. La única duda que me queda pendiente por resolver es la de los extremos en el recinto con forma de triángulo (ejercicio 4), pero de todas formas esta semana iré a tutoría con el profesor de la asignatura a ver si hay suerte. Aún así, si os apetece dar alguna idea más, estupendo. Mil gracias de nuevo por la ayuda y la paciencia prestada. Estaré por aquí a menudo  :guiño: .


PD:
Quizás sirva pensar en otro caso más "simple": [texx]g(x,y)=x+y[/texx], claramente es biyectiva y sí se puede hayar una inversa, aunque a mí no me enseñaron calcular inversas de campos :cara_de_queso:.
Es la primera vez que me encuentro con un ejercicio de este tipo. Me quedé a cuadros cuando lo vi. :¿eh?: :BangHead:
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« Respuesta #18 : 17/09/2018, 01:56:42 am »

Hola

El ejercicio 4. a) no está claro pues no sabemos si hay que estudiar extremos en la frontera o en el interior + frontera del triángulo. ¿Es el enunciado original? Si es así, supondré que será la frontera, o sea hay que parametrizar tres segmentos, con tres funciones. Espero hacerlo luego.

Saludos
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« Respuesta #19 : 17/09/2018, 05:01:13 am »

Hola.

Quizás sirva pensar en otro caso más "simple": [texx]g(x,y)=x+y[/texx], claramente es biyectiva y sí se puede hayar una inversa, aunque a mí no me enseñaron calcular inversas de campos :cara_de_queso:.

No sé si me habré perdido algo, pero si defines [texx]g:\mathbb{R\times{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] [texx]g(x,y)=x+y[/texx] ésta no es inyectiva, luego tampoco biyectiva. Basta darse cuenta de que, por ejemplo, [texx]g(0,1)=g(1,0)=1[/texx]

En cuanto a:

4.- Hallar los extremos absolutos, si existen, de la función [texx]f(x,y)= (x-1)^2 + (y-1)^2[/texx] en:
a) El triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (1,4).
b) La Región de [texx]R^2[/texx] limitada por T (T incluido).
c) Todo [texx]R^2[/texx].
d) Hallas los extremos relativos de f en T.

Yo creo que ayuda el hecho de que [texx]f(x,y)[/texx] es el cuadrado de la distancia de un punto del plano al punto [texx](1,1)[/texx]. Si queremos hayar los extremos relativos de [texx]f[/texx] sobre [texx]T[/texx], que para mí son tres segmentos, pues teniendo en cuenta lo anterior, que el triángulo es acutángulo y que [texx](1,1)[/texx] es interior al triángulo, los máximos relativos estarán en los tres vértices del triángulo, y los mínimos relativos en los pies de las perpendiculares a cada lado por el punto [texx](1,1)[/texx]. Después de tener los extremos relativos, evaluándolos en la función, se hallan los extremos absolutos.

Saludos.
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