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Autor Tema: Pruebe \(\;\;\;A\subseteq B\rightarrow \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\).  (Leído 543 veces)
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« : 15/09/2018, 07:47:25 am »


Demuestre  que si     [texx]A\subseteq{B}[/texx]    entonces    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx].

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manooooh
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« Respuesta #1 : 15/09/2018, 01:39:31 pm »

Hola


Demuestre  que si     [texx]A\subseteq{B}[/texx]    entonces    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx].


De hecho al parecer se puede probar la otra implicación, convirtiéndolo en un si y sólo si.

Una idea: https://math.stackexchange.com/q/332130/525384.

Saludos
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« Respuesta #2 : 16/09/2018, 08:54:21 am »

Hola


Demuestre  que si     [texx]A\subseteq{B}[/texx]    entonces    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx].


De hecho al parecer se puede probar la otra implicación, convirtiéndolo en un si y sólo si.

Una idea: https://math.stackexchange.com/q/332130/525384.

Saludos

Bueno. La que no escribe es la que se debe demostrar en el problema planteado aquí:

[texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Según su argumento, bajo la hipótesis    [texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx]    debe existir    [texx]\{x\}[/texx]    tal que    [texx]\{x\}\in{\mathcal{P}(A)}\wedge\{x\}\not\in{\mathcal{P}(B)}[/texx]    y deducir de ello que existe    [texx]x[/texx]    tal que    [texx]x\in{A}\wedge x\not\in{B}[/texx].

Para la deducción no hay más que aplicar el Axioma del Conjunto Potencia, parece correcta, sólo faltaría ver que

[texx]x\in{A}\wedge x\not\in{B}\Leftrightarrow{\lnot(x\not\in{A}\vee x\in{B})}\Leftrightarrow{\lnot(x\in{A}\rightarrow{x\in{B}})}\Leftrightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Estoy intentando otra manera. Saludos y muchas gracias.
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« Respuesta #3 : 16/09/2018, 01:46:06 pm »

Hola

La que no escribe es la que se debe demostrar en el problema planteado aquí:

[texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Pero esa proposición es el contra recíproco de la original, no sé qué tiene que ver con el problema si en ningún lado especifica demostrar el contra recíproco :¿eh?:. En el link está la prueba para [texx]A\subseteq B\iff\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx], que es más de lo que se pide acá.

Nota. ¿Por qué en este caso no se comienza diciendo [texx]{\color{red}\forall A\forall B}\big(A\subseteq B\ldots\big)[/texx]?

Saludos
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« Respuesta #4 : 16/09/2018, 04:06:41 pm »

Hola

La que no escribe es la que se debe demostrar en el problema planteado aquí:

[texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Pero esa proposición es el contra recíproco de la original, no sé qué tiene que ver con el problema si en ningún lado especifica demostrar el contra recíproco :¿eh?:. En el link está la prueba para [texx]A\subseteq B\iff\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx], que es más de lo que se pide acá.

La implicación que el ejercicio pide demostrar,    [texx]A\subseteq B\Rightarrow{\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}}[/texx],    es equivalente a su contra recíproca    [texx]\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}\Rightarrow{A\nsubseteq B}[/texx].    Probar una es probar la otra.

Nota. ¿Por qué en este caso no se comienza diciendo [texx]{\color{red}\forall A\forall B}\big(A\subseteq B\ldots\big)[/texx]?

Si, sería más correcto, aunque se sobreentiende que es para cualesquiera dos conjuntos    [texx]A[/texx]    y    [texx]B[/texx].    ¿No? El planteamiento del ejercicio no es cosa mía, yo sólo intento resolverlo.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 18/09/2018, 08:19:25 pm »

La clave está en tomar como en la respuesta #2, (copiado de la cita de la respuesta #1 puesta por manooooh),    [texx]\{x\}[/texx]    y    [texx]x[/texx],    debido a las equivalencias,

\begin{align*}
\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}&\equiv&{\cancel{\forall}\color{red}\exists\color{black}{\,\{x\}}:\;\big(\{x\}\in{\mathcal{P}(A)}\wedge\{x\}\not\in{\mathcal{P}(B)}\big)}&\equiv{}\\\\
&\equiv&{\cancel{\forall}\color{red}\exists\color{black}{\,\{x\}}:\;\big(\{x\}\subseteq{A}\wedge\{x\}\nsubseteq{B}\big)}&\equiv{}\\\\
&\equiv&{\cancel{\forall}\color{red}\exists\color{black}{\,x}:\;\big(x\in{A}\wedge x\not\in{B}\big)}&\equiv{}\\\\
&\equiv&{A\nsubseteq{B}},\end{align*}

aunque igual es demasiado osado pasar de la tercera a la cuarta sin más. De la segunda a la tercera sí basta aplicar el Axioma del Conjunto Potencia a los conjuntos    [texx]A[/texx]    y    [texx]B[/texx].

:¿eh?:

¿Quizás con la indicación de que se hace la sustitución    [texx]y=\{x\}[/texx]    en la cuarta?

Los Axiomas del Conjunto Potencia que he visto son del tipo

[texx]\forall{S}.\;\exists{\,X}.\;\forall{\,A}:(A\in{X}\leftrightarrow A\subseteq{S})[/texx]

tomar    [texx]\{A\}[/texx]    en vez de    [texx]A[/texx]    facilita la demostración en este caso.

:¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Saludos.

CORREGIDO.
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« Respuesta #6 : 18/09/2018, 08:34:24 pm »

Hola

Buscón, creo que entendí por qué primeramente hablaste del contra recíproco; el que preguntó lo había hecho así.

Yo no me refería a esa respuesta (que también es válida), sino que yo quería mostrarte la demostración directa. Si bajás con el cursor vas a ver dos respuestas más; a mí me gusta más la que no fue aceptada como mejor respuesta, la segunda. Acá podés verla.

Básicamente dice lo siguiente (si no me equivoco al traducir):

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Saludos y perdón el malentendido
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« Respuesta #7 : 19/09/2018, 10:07:32 am »

Hola

Buscón, creo que entendí por qué primeramente hablaste del contra recíproco; el que preguntó lo había hecho así.

Yo no me refería a esa respuesta (que también es válida), sino que yo quería mostrarte la demostración directa. Si bajás con el cursor vas a ver dos respuestas más; a mí me gusta más la que no fue aceptada como mejor respuesta, la segunda. Acá podés verla.

Básicamente dice lo siguiente (si no me equivoco al traducir):

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Saludos y perdón el malentendido

Pongo mi traducción particular, por su puesto criticable.

Cita
Sé que estabas pidiendo una crítica de tu prueba original. Pero dado que considero que las pruebas basadas en texto (como la tuya y la otra respuesta) son más difíciles de leer que las simbólicas, permíteme responder presentando la forma en que yo escribiría una prueba para esto.

Para cualesquiera dos conjuntos A y B,

[texx]\begin{array}{llll}
&\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\\
\\
&\langle\forall V:V\in\mathcal{P}(A):V\in\mathcal{P}(B)\rangle&\equiv&\text{definición de subconjunto}\\
\\
& \langle \forall V : V\subseteq A : V \subseteq B \rangle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)&\equiv & \;\;\;\text{Axioma de los Conjuntos Potencia de } A \text{ y de }B\\
\\
& A \subseteq B&\equiv & \;\;\;\text{ver más abajo}  \\
\end{array}[/texx]

que demuestra este teorema.

El último paso de la implicación directa se prueba fácilmente:

\begin{array}{ll}
& \langle \forall V : V\subseteq A : V\subseteq B \rangle\\\\
& \;\;\;\text{tomando }V:= A\\\\
&A\subseteq A: A \subseteq B \\
\end{array}

Para la implicación inversa, asumiendo    [texx]A\subseteq B[/texx],    probamos (*) de la siguiente manera: para cada    [texx]V[/texx],

[texx]\begin{array}{l}
V \subseteq A \\\\
A\subseteq B, \text{ e } \subseteq\text{ es transitiva} \\\\
V\subseteq B \\
\end{array}[/texx]

Algunas objeciones:

En la implicación directa, la definición de    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx]    que conozco es

[texx]\forall{\,V}:\;\big(V\in{\mathcal{P}(A)}\rightarrow{V\in{\mathcal{P}(B)}}\big)[/texx]

que difiere de la expuesta en la cita

[texx]\langle\forall V:V\in\mathcal{P}(A):V\in\mathcal{P}(B)\rangle[/texx]

no se si es incorrecta o es que se usa otra notación.

En la implicación inversa se usa la premisa    [texx]V\subseteq{A}[/texx]    que no tiene por que ser cierta, es decir,     [texx]A\subseteq{B}\nrightarrow\big(\forall{\,V}:(V\subseteq{A})\big) [/texx].    Expresado de otra manera:


"En un bicondicional no se pueden usar las hipótesis ni las deducciones de la implicación directa para probar la implicación inversa y viceversa".


Espero me corrija alguien si me equivoco.

Pongo a continuación al estilo Carlos Ivorra la deducción que creo se quiere exponer:

1.- Para la implicación directa,    [texx]\big(\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\subseteq{B}}\big)[/texx]: 

\begin{array}{lll}
P_1:&\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}&\textrm{Hipótesis}\\
\qquad P_2:&\forall{\,V}:\big(V\in{\mathcal{P}(A)\rightarrow{V\in{\mathcal{P}(B)}}}\big)&\textrm{Definición de: }"\mathcal{P}(A)\textrm{ subconjunto de }\mathcal{P}(B)"\\
\qquad P_3:&A\in{\mathcal{P}(A)\rightarrow{A\in{\mathcal{P}(B)}}}&\textrm{Eliminación generalizador }P_2\\
\qquad P_4:&A\in{\mathcal{P}(A)}&\textrm{Ax. Conjuntos Potencia de }A\\
\qquad P_5:&A\in{\mathcal{P}(B)}&\textrm{Modus ponens }P_3,P_4\\
\qquad P_6:&\forall{\,V}:\;\big(V\in{\mathcal{P}(B)}\leftrightarrow V\subseteq{B}\big)&\textrm{Ax. Conjunto Potencia de }B\\
\qquad P_7:&A\in{\mathcal{P}(B)}\leftrightarrow A\subseteq{B}&\textrm{Eliminación generalizador }P_6\\
\hline
\qquad C:&A\subseteq{B}&\textrm{Modus ponens }P_5,P_7\\
\end{array}

    Lo anterior prueba también que    [texx]A\nsubseteq{B}\rightarrow{\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}}[/texx].
 
Falta la implicación inversa que es la que pide el ejercicio de este hilo:   [texx]A\subseteq{B}\rightarrow{\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}}[/texx].    Lo estoy intentando sin éxito con un método distinto al de probar la contra recíproca,    [texx]\big(\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\nsubseteq{B}}\big)[/texx],    que también se expone en otra respuesta de la misma cita puesta por manooooh y que parece correcta.

Un intento con la contra recíproca de la implicación inversa como creo lo haría Carlos Ivorra aproximadamente, (espero me disculpe la osadía y por supuesto los errores):

2.- Para la implicación inversa    [texx]\big(A\subseteq{B}\rightarrow{\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}}\big)[/texx],    utilizando como hipótesis el antecedente
    [texx]\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx]    de su contra recíproca,    [texx]\big(\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\nsubseteq{B}}\big)[/texx]:
 
\begin{array}{lll}
P_1:&\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}&\textrm{Hipótesis}\\
\qquad P_2:&\exists{\,\{x\}}:\big(\{x\}\in{\mathcal{P}(A)}\wedge\{x\}\not\in{\mathcal{P}(B)}\big)&\textrm{Definición de: }"\mathcal{P}(A)\textrm{ no es subconjunto de: }\mathcal{P}(B)"\\
\qquad P_3:&\{x_0\}\in{\mathcal{P}(A)}\wedge\{x_0\}\not\in{\mathcal{P}(B)}&\textrm{Eliminación del particularizador }P_2\\
\qquad P_4:&\{x_0\}\in{\mathcal{P}(A)}\leftrightarrow \{x_0\}\subseteq{A}&\textrm{Ax. Conjunto Potencia de }A\\
\qquad P_5:&\{x_0\}\not\in{\mathcal{P}(B)}\leftrightarrow \{x_0\}\nsubseteq{B}&\textrm{Ax. Conjunto Potencia de }B\\
\qquad P_6:&\{x_0\}\subseteq{A}\wedge\{x_0\}\nsubseteq{B}&\textrm{Sust. en  }P_3\textrm{ por sus equivalencias en }P_4,P_5\\
\qquad P_7:&x_0\in{A}\wedge x_0\not\in{B}&\textrm{Definición de subconjunto y relación de pertenencia }\\
\qquad P_8:&\exists{\,x}:\;(x\in{A}\wedge x\not\in{B})&\textrm{Particularización de }P_7\\
\hline
\qquad C:&A\nsubseteq{B}&\textrm{Definición de: }"A\textrm{ no es subconjunto de }B"\textrm{ en }P_8\\
\end{array}

    Lo anterior prueba también que    [texx]A\subseteq{B}\rightarrow{\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}}[/texx]

Saludos y  muchas gracias a los que participan.
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« Respuesta #8 : 22/09/2018, 04:17:01 pm »

Es mucho más sencillo. Si quieres probar que [texx]\mathcal PA\subset \mathcal PB[/texx], lo primero que uno piensa es en tomar un [texx]x\in \mathcal PA[/texx] y demostrar que [texx]x\in \mathcal PB[/texx]. Y, en efecto, si [texx]x\in \mathcal PA[/texx], entonces [texx]x\subset A[/texx], y como [texx]A\subset B[/texx], resulta que [texx]x\subset B[/texx], luego [texx]x\in \mathcal PB[/texx], y ya está.
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« Respuesta #9 : 30/09/2018, 09:04:41 am »

Es mucho más sencillo. Si quieres probar que [texx]\mathcal PA\subset \mathcal PB[/texx], lo primero que uno piensa es en tomar un [texx]x\in \mathcal PA[/texx] y demostrar que [texx]x\in \mathcal PB[/texx]. Y, en efecto, si [texx]x\in \mathcal PA[/texx], entonces [texx]x\subset A[/texx], y como [texx]A\subset B[/texx], resulta que [texx]x\subset B[/texx], luego [texx]x\in \mathcal PB[/texx], y ya está.

Gracias, formalizado sería algo así:

\begin{array}{lll}
01\quad x\in{\mathcal{P}(A)}&\textrm{Hipótesis}\\
02\quad x\in{\mathcal{P}(A)}\rightarrow{x\subseteq{A}}&\textrm{Ax. Conjunto Potencia de }A\\
03\quad x\subseteq{A}&\textrm{Modus ponens 1,2}\\
04\quad|\quad A\subseteq{B} &\textrm{Hipótesis}\\
05\quad|\quad x\subseteq{A}\wedge A\subseteq{B}&\textrm{Introducción conjunción 3,4}\\
06\quad|\quad x\subseteq{B}&\textrm{Transitividad inclusión}\\
07\quad|\quad x\subseteq{B}\rightarrow x\in{\mathcal{P}(B)}&\textrm{Ax. Conjunto Potencia de }B\\
08\quad|\quad x\in{\mathcal{P}(B)} &\textrm{Modus ponens 6,7}\\
09\quad A\subseteq{B}\rightarrow{x\in{\mathcal{P}(B)}}&\textrm{Deducción 4-8}\\
10\quad x\in{\mathcal{P}(A)}\rightarrow{\big(A\subseteq{B}\rightarrow{x\in{\mathcal{P}(B)}}\big)}&\textrm{Deducción 1-9}\\
11\quad A\subseteq{B}\rightarrow{\big(x\in{\mathcal{P}(A)}\rightarrow x\in{\mathcal{P}(B)}\big)}&\textrm{Ley de permutación}\\
\hline
C:\quad A\subseteq{B}\rightarrow{\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}}&\textrm{Def. subconjunto }\mathcal{P}(A)\textrm{ en 11}\\
\end{array}

Saludos.
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« Respuesta #10 : 30/09/2018, 03:57:22 pm »

¿Y en vez de empezar por enmedio para luego darle la vuelta, por qué no empiezas por el principio?


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« Respuesta #11 : 30/09/2018, 04:05:03 pm »

Sé que no debería comentar estas cosas, pero son muy originales los nombres de las imágenes, Carlos :risa:.

Saludos
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« Respuesta #12 : 30/09/2018, 05:51:29 pm »

Sé que no debería comentar estas cosas, pero son muy originales los nombres de las imágenes, Carlos :risa:.

Descriptivos, diría yo.
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