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Autor Tema: Pruebe \(\;\;\;A\subseteq B\rightarrow \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\).  (Leído 124 veces)
Buscón y 1 Visitante están viendo este tema.
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« : 15/09/2018, 07:47:25 am »


Demuestre  que si     [texx]A\subseteq{B}[/texx]    entonces    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx].

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manooooh
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« Respuesta #1 : 15/09/2018, 01:39:31 pm »

Hola


Demuestre  que si     [texx]A\subseteq{B}[/texx]    entonces    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx].


De hecho al parecer se puede probar la otra implicación, convirtiéndolo en un si y sólo si.

Una idea: https://math.stackexchange.com/q/332130/525384.

Saludos
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« Respuesta #2 : 16/09/2018, 08:54:21 am »

Hola


Demuestre  que si     [texx]A\subseteq{B}[/texx]    entonces    [texx]\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx].


De hecho al parecer se puede probar la otra implicación, convirtiéndolo en un si y sólo si.

Una idea: https://math.stackexchange.com/q/332130/525384.

Saludos

Bueno. La que no escribe es la que se debe demostrar en el problema planteado aquí:

[texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Según su argumento, bajo la hipótesis    [texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx]    debe existir    [texx]\{x\}[/texx]    tal que    [texx]\{x\}\in{\mathcal{P}(A)}\wedge\{x\}\not\in{\mathcal{P}(B)}[/texx]    y deducir de ello que existe    [texx]x[/texx]    tal que    [texx]x\in{A}\wedge x\not\in{B}[/texx].

Para la deducción no hay más que aplicar el Axioma del Conjunto Potencia, parece correcta, sólo faltaría ver que

[texx]x\in{A}\wedge x\not\in{B}\Leftrightarrow{\lnot(x\not\in{A}\vee x\in{B})}\Leftrightarrow{\lnot(x\in{A}\rightarrow{x\in{B}})}\Leftrightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Estoy intentando otra manera. Saludos y muchas gracias.
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« Respuesta #3 : 16/09/2018, 01:46:06 pm »

Hola

La que no escribe es la que se debe demostrar en el problema planteado aquí:

[texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Pero esa proposición es el contra recíproco de la original, no sé qué tiene que ver con el problema si en ningún lado especifica demostrar el contra recíproco :¿eh?:. En el link está la prueba para [texx]A\subseteq B\iff\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx], que es más de lo que se pide acá.

Nota. ¿Por qué en este caso no se comienza diciendo [texx]{\color{red}\forall A\forall B}\big(A\subseteq B\ldots\big)[/texx]?

Saludos
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« Respuesta #4 : 16/09/2018, 04:06:41 pm »

Hola

La que no escribe es la que se debe demostrar en el problema planteado aquí:

[texx]\mathcal{P}(A)\not\subseteq{\mathcal{P}(B)}\rightarrow{A\not\subseteq{B}}[/texx].

Pero esa proposición es el contra recíproco de la original, no sé qué tiene que ver con el problema si en ningún lado especifica demostrar el contra recíproco :¿eh?:. En el link está la prueba para [texx]A\subseteq B\iff\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}[/texx], que es más de lo que se pide acá.

La implicación que el ejercicio pide demostrar,    [texx]A\subseteq B\Rightarrow{\mathcal{P}(A)\subseteq{\mathcal{P}(B)}}[/texx],    es equivalente a su contra recíproca    [texx]\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}\Rightarrow{A\nsubseteq B}[/texx].    Probar una es probar la otra.

Nota. ¿Por qué en este caso no se comienza diciendo [texx]{\color{red}\forall A\forall B}\big(A\subseteq B\ldots\big)[/texx]?

Si, sería más correcto, aunque se sobreentiende que es para cualesquiera dos conjuntos    [texx]A[/texx]    y    [texx]B[/texx].    ¿No? El planteamiento del ejercicio no es cosa mía, yo sólo intento resolverlo.

Saludos.
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« Respuesta #5 : Ayer a las 08:19:25 pm »

La clave está en tomar como en la respuesta #2, (copiado de la cita de la respuesta #1 puesta por manooooh),    [texx]\{x\}[/texx]    y    [texx]x[/texx],    debido a las equivalencias,

\begin{align*}
\mathcal{P}(A)\nsubseteq{\mathcal{P}(B)}&\equiv&{\forall{\,\{x\}}:\;\big(\{x\}\in{\mathcal{P}(A)}\wedge\{x\}\not\in{\mathcal{P}(B)}\big)}&\equiv{}\\\\
&\equiv&{\forall{\,\{x\}}:\;\big(\{x\}\subseteq{A}\wedge\{x\}\nsubseteq{B}\big)}&\equiv{}\\\\
&\equiv&{\forall{\,x}:\;\big(x\in{A}\wedge x\not\in{B}\big)}&\equiv{}\\\\
&\equiv&{A\nsubseteq{B}},\end{align*}

aunque igual es demasiado osado pasar de la tercera a la cuarta sin más. De la segunda a la tercera sí basta aplicar el Axioma del Conjunto Potencia a los conjuntos    [texx]A[/texx]    y    [texx]B[/texx].

:¿eh?:

¿Quizás con la indicación de que se hace la sustitución    [texx]y=\{x\}[/texx]    en la cuarta?

Los Axiomas del Conjunto Potencia que he visto son del tipo

[texx]\forall{S}.\;\exists{\,X}.\;\forall{\,A}:(A\in{X}\leftrightarrow A\subseteq{S})[/texx]

tomar    [texx]\{A\}[/texx]    en vez de    [texx]A[/texx]    facilita la demostración en este caso.

:¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Saludos.
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« Respuesta #6 : Ayer a las 08:34:24 pm »

Hola

Buscón, creo que entendí por qué primeramente hablaste del contra recíproco; el que preguntó lo había hecho así.

Yo no me refería a esa respuesta (que también es válida), sino que yo quería mostrarte la demostración directa. Si bajás con el cursor vas a ver dos respuestas más; a mí me gusta más la que no fue aceptada como mejor respuesta, la segunda. Acá podés verla.

Básicamente dice lo siguiente (si no me equivoco al traducir):

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Saludos y perdón el malentendido
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