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Autor Tema: Duda con comprobación de base  (Leído 226 veces)
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« : 14/09/2018, 07:17:31 pm »

Tengo la siguiente base B de [texx]\mathbb{R^{2\color{red} \times \color{black}2}}[/texx] [texx]B=\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{Bmatrix}[/texx] , tengo quer comprobar que sea base de  [texx]\mathbb{R^{2\color{red} \times \color{black}2}}[/texx]
Primer comprobé que sea linealmente independiente y luego para ver que sea base lo igualo a un matriz genérica

[texx]
\alpha \begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
\beta \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
\gamma \begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}+
\delta  \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b\\
 c & d
\end{pmatrix}[/texx]

[texx]
 \begin{pmatrix}


\alpha & \alpha\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}
0 & \beta\\
0 & 0
\end{pmatrix},
 \begin{pmatrix}
0 & 0\\
\gamma & \gamma
\end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & \delta
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b\\
 c & d
\end{pmatrix}[/texx]

me queda un sistema de ecuaciones

[texx]\left\{\begin{matrix}
\alpha =a\\
\alpha +\beta =b\\
\gamma =c\\
\gamma +\delta =d
\end{matrix}\right.[/texx]

[texx]\beta[/texx] no tendría valor
¿significa que no es base?
¿está bien lo que hice?
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« Respuesta #1 : 14/09/2018, 11:06:20 pm »

Hola
Tengo la siguiente base B de [texx]\mathbb{R^{2x2}}[/texx] [texx]B=\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{Bmatrix}[/texx] , tengo quer comprobar que sea base de  [texx]\mathbb{R^{2x2}}[/texx]
Primer comprobé que sea linealmente independiente y luego para ver que sea base lo igualo a un matriz genérica

[texx]
\alpha \begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
\beta \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
\gamma \begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}+
\delta  \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b\\
 c & d
\end{pmatrix}[/texx]

[texx]
 \begin{pmatrix}


\alpha & \alpha\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}
0 & \beta\\
0 & 0
\end{pmatrix},
 \begin{pmatrix}
0 & 0\\
\gamma & \gamma
\end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & \delta
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b\\
 c & d
\end{pmatrix}[/texx]

me queda un sistema de ecuaciones

[texx]\left\{\begin{matrix}
\alpha =a\\
\alpha +\beta =b\\
\gamma =c\\
\gamma +\delta =d
\end{matrix}\right.[/texx]

[texx]\beta[/texx] no tendría valor
¿significa que no es base?
¿está bien lo que hice?

El procedimiento señalado en azul, es correcto. Llegas a un sistema de ecuaciones cierto :

[texx]\left\{\begin{matrix}
\alpha =a\\
\alpha +\beta =b\\
\gamma =c\\
\gamma +\delta =d
\end{matrix}\right.[/texx]

Lo que se ha de hacer en este punto es hallar los valores de las constantes [texx]\alpha, \beta ,
\gamma, \delta[/texx] en función de [texx]a,b,c,d[/texx] de tal manera que para toda matriz [texx]a,b,c,d[/texx] existen constantes  [texx]\alpha, \beta , \gamma, \delta[/texx]. Y esto efectivamente ocurre, del sistema de ecuaciones hallado se tiene :

[texx]\left\{\begin{matrix}
\alpha =a\\
\alpha +\beta =b\Rightarrow{\beta=b- \alpha=b-a}\\
\gamma =c\\
\gamma +\delta =d\Rightarrow{\delta=d- \gamma=d-c}
\end{matrix}\right.[/texx]

Por lo tanto para toda matriz [texx]a,b,c,d[/texx] se puede determinar constantes [texx]\alpha=a, \beta=b-a , \gamma=c, \delta=d-c[/texx] tal que :

[texx]
\alpha \begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
\beta \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}+
\gamma \begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}+
\delta  \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b\\
 c & d
\end{pmatrix}[/texx]


Por lo tanto B es una base de [texx]R^{2x2}[/texx]

UNA OBSERVACION

Por lo general se da por conocido que [texx]B'=\left\{{\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}},\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\right\}[/texx] es una base de [texx]\mathbb{R}^{2\times 2}[/texx], en consecuencia la dimensión de [texx]R^{2x2}[/texx] es 4.

Hay un teorema que  implica, que todo conjunto de 4 matrices linealmente independientes, que pertenecen a [texx]\mathbb{R}^{2\times 2}[/texx] es una base de [texx]\mathbb{R}^{2\times 2}[/texx]. En consecuencia es suficiente demostrar que B es linealmente independiente, para decir que es una base de [texx]\mathbb{R}^{2\times 2}[/texx].

Saludos

Nota : Si no se considera conocido que B' es una base de [texx]R^{2\times 2}[/texx], tu procedimiento es correcto.
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