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Autor Tema: Conjunto de Medida Cero  (Leído 182 veces)
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« : 14/09/2018, 05:14:17 pm »

Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:
CORREGIDO
Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos [texx]\left\{{n_k}\right\}[/texx]. Sea [texx]E[/texx] el conjunto de los [texx]x\in (-\pi,\pi)[/texx] tales que [texx]\left\{{\sen(n_k x)}\right\}[/texx] converge.
Demuestre que [texx]m(E)=0[/texx]
 :BangHead: :BangHead: :BangHead:

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« Respuesta #1 : 14/09/2018, 06:07:13 pm »

Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:

Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos [texx][texx]\left\{{n_k}\right\}[/texx][/texx]. Sea [texx]E[/texx] el conjunto de los [texx]x\in (-\pi,\pi)[/texx] tales que [texx]\left\{{sen(n_k x)}\right\}[/texx] converge.

 :BangHead: :BangHead: :BangHead:

Cualquier orientación será bien recibida.

¿Cuál es la pregunta del ejercicio?
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« Respuesta #2 : 15/09/2018, 12:15:06 am »

Cierto. Lo olvidé.  :BangHead:

La cuestión es: Demuestre que [texx]m(E)=0[/texx]
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« Respuesta #3 : 15/09/2018, 05:54:08 am »

Supongo que la sucesión [texx]\{n_k\}[/texx] es siempre la misma (sea la que sea).

En ese caso creo que hay que mostrar que [texx]E[/texx] es contable. Si no me equivoco si la sucesión de senos converge entonces los [texx]x\in E[/texx] son de la forma [texx]q\pi[/texx], donde los valores de [texx]q[/texx] son racionales y dependen de la sucesión [texx]n_k[/texx].

Creo que por ahí deben ir los tiros, habría que probar a ver si es así o no.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #4 : 15/09/2018, 07:27:12 am »

Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos [texx]\left\{{n_k}\right\}[/texx]. Sea [texx]E[/texx] el conjunto de los [texx]x\in (-\pi,\pi)[/texx] tales que [texx]\left\{{\sen(n_k x)}\right\}[/texx] converge.

Mira en Solutions Manual to Walter Rudin's Principles of Mathematical Analysis (capítulo 11, ejercicio 11.16).
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« Respuesta #5 : 15/09/2018, 01:18:48 pm »

Ya revisé. Iré copiando por acá los detalles para verificar.
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« Respuesta #6 : 15/09/2018, 02:05:54 pm »

Sea [texx]A\subset E[/texx], por el Lema de Riemman-Lebesgue se tienen los siguientes resultados:

[texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{sen(n_kx)dx}}=0[/texx],

[texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{cos(2n_kx)dx}}=0[/texx]

De este último resultado, se obtiene que:

[texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{2\displaystyle\int_A{(sen(n_kx))^2dx}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{(1-cos(2n_kx))dx}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{1dx}}-\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{{\displaystyle\int_A{cos(2n_kx)dx}}}=m(A)-0=m(A)[/texx].


Definamos

[texx]f(x)=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{sen(n_kx)},\, x\in E[/texx]

Sabemos que [texx]|sen(n_kx)|\leq 1[/texx] para cada [texx]x\in E[/texx], usando el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue,


[texx]\displaystyle\int_E{f(x)dx}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_E sen(n_kx)dx}[/texx]. De dónde se justifica la integración término a término siguiente y usando el hecho que [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{2\displaystyle\int_A{(sen(n_kx))^2dx}}=m(A)[/texx]. :

[texx]\displaystyle\int_A{(f^2(x)-\frac{1}{2})dx}=\displaystyle\int_A{(f^2(x))dx}-\displaystyle\int_A{(\frac{1}{2})dx}=\frac{m(A)}{2}-\frac{m(A)}{2}=0[/texx]


Usando el siguiente resultado: Si [texx]\displaystyle\int_A f d\mu=0 [/texx] para cada subconjunto [texx]A[/texx] del conjunto medible [texx]E[/texx] se tiene que [texx]f(x)=0[/texx] casi en todas partes en [texx]E[/texx], de donde se tiene que:

[texx]f^2(x)-\frac{1}{2}=0[/texx] casi en todas partes en [texx]E[/texx], esto es [texx]f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx] casi en todas partes en [texx]E[/texx].






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« Respuesta #7 : 15/09/2018, 03:21:17 pm »

Ahora, pregunto, si considero [texx]A[/texx] el subconjunto de [texx]E[/texx] tal que [texx]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx], ¿por qué puedo asegurar que [texx]\displaystyle\int_Af(x)dx=0[/texx]?
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« Respuesta #8 : Ayer a las 04:07:45 am »

Ahora, pregunto, si considero [texx]A[/texx] el subconjunto de [texx]E[/texx] tal que [texx]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx], ¿por qué puedo asegurar que [texx]\displaystyle\int_Af(x)dx=0[/texx]?

¿Cuál es valor de la integral de la función nula sobre cualquier conjunto medible?
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« Respuesta #9 : Ayer a las 11:41:45 pm »

Pero tengo que [texx]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx] casi en todas partes sobre [texx]E[/texx], no he conseguido que sea la función nula aún.
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« Respuesta #10 : Hoy a las 02:47:52 am »

Pero tengo que [texx]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx] casi en todas partes sobre [texx]E[/texx], no he conseguido que sea la función nula aún.

Tu función no es la [texx]f[/texx] del resultado teórico, sino [texx]f^2(x)-\displaystyle\frac{1}{2}.[/texx]
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