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Autor Tema: Ejercicio sobre métricas y entornos  (Leído 565 veces)
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lcdeoro
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« : 14/09/2018, 01:11:24 am »

Sea [texx](X,d)[/texx] un espacio métrico. Pruebese que si [texx]x\in{X}[/texx], entonces [texx]\beta_x=\left\{{B(x,\displaystyle\frac{1}{n}}):n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos de [texx]x[/texx] para la topología inducida por la métrica.

prueba.
1. Es claro que si [texx]x\in{X}[/texx] entonces existe [texx] n \in{\mathbb{N}}[/texx]  tal que [texx]B(x,\displaystyle\frac{1}{n})\subseteq{X}[/texx]

2. ahora, exiten [texx]n_1,n_2,n_3 \in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]n_1\leq{}n_2\leq{}n_3[/texx] entonces [texx]B(x, \displaystyle\frac{1}{n_3})\subseteq{}B(x, \displaystyle\frac{1}{n_2})\subseteq{}B(x,\displaystyle\frac{1}{n_1})\Longrightarrow{} B(x, \displaystyle\frac{1}{n_3})\subseteq{}B(x, \displaystyle\frac{1}{n_2})\cap{}B(x,\displaystyle\frac{1}{n_1})[/texx]

Asesorarme que tal la hice.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 14/09/2018, 02:09:33 am »

Sea [texx](X,d)[/texx] un espacio métrico. Pruebese que si [texx]x\in{X}[/texx], entonces [texx]\beta_x=\left\{{B(x,\displaystyle\frac{1}{n}}):n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos de [texx]x[/texx] para la topología inducida por la métrica.
prueba.
1. Es claro que si [texx]x\in{X}[/texx] entonces existe [texx] n \in{\mathbb{N}}[/texx]  tal que [texx]B(x,\displaystyle\frac{1}{n})\subseteq{X}[/texx]
2. ahora, exiten [texx]n_1,n_2,n_3 \in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]n_1\leq{}n_2\leq{}n_3[/texx] entonces [texx]B(x, \displaystyle\frac{1}{n_3})\subseteq{}B(x, \displaystyle\frac{1}{n_2})\subseteq{}B(x,\displaystyle\frac{1}{n_1})\Longrightarrow{} B(x, \displaystyle\frac{1}{n_3})\subseteq{}B(x, \displaystyle\frac{1}{n_2})\cap{}B(x,\displaystyle\frac{1}{n_1})[/texx]

No sé que lio has armado. Es así de simple: si [texx]G[/texx] es abierto que contiene a [texx]x[/texx] entonces existe una bola [texx]B(x,\epsilon)\subset G[/texx]. Ahora elige un natural [texx]n[/texx] tal que [texx]1/n < \epsilon[/texx] con lo cual, [texx]B(x,1/n)\subset B(x,\epsilon)\subset G[/texx].
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« Respuesta #2 : 14/09/2018, 08:54:41 am »


No sé que lio has armado. Es así de simple: si [texx]G[/texx] es abierto que contiene a [texx]x[/texx] entonces existe una bola [texx]B(x,\epsilon)\subset G[/texx]. Ahora elige un natural [texx]n[/texx] tal que [texx]1/n < \epsilon[/texx] con lo cual, [texx]B(x,1/n)\subset B(x,\epsilon)\subset G[/texx].

Elegirlo de qué manera? porque tenemos que siempre va a existir un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] lo suficientemente grande para decir que [texx]1/n < \epsilon[/texx] y entonces sería inmediato el ejercicio.
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« Respuesta #3 : 14/09/2018, 09:48:25 am »

Un apunte: el ejercicio no está bien formulado, por ejemplo si [texx]X=\{0,1\}[/texx] con la métrica euclídea, entonces las bolas abiertas [texx]\Bbb B(0,1/n)[/texx], para algún [texx]n\in\Bbb N_{\ge 1}[/texx], no son entornos del cero (ya que no son subconjuntos de [texx]X[/texx]).

Lo que sí es cierto es que [texx]\Bbb B(0,1/n)\cap X[/texx] es un entorno del cero, eso sí. Lo correcto sería decir que [texx]\beta_x:=\left\{\Bbb B(x,1/n)\cap X:n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos para un [texx]x\in X[/texx].
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« Respuesta #4 : 14/09/2018, 10:11:24 am »

Hola

Un apunte: el ejercicio no está bien formulado, por ejemplo si [texx]X=\{0,1\}[/texx] con la métrica euclídea, entonces las bolas abiertas [texx]\Bbb B(0,1/n)[/texx], para algún [texx]n\in\Bbb N_{\ge 1}[/texx], no son entornos del cero (ya que no son subconjuntos de [texx]X[/texx]).

Lo que sí es cierto es que [texx]\Bbb B(0,1/n)\cap X[/texx] es un entorno del cero, eso sí. Lo correcto sería decir que [texx]\beta_x:=\left\{\Bbb B(x,1/n)\cap X:n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos para un [texx]x\in X[/texx].

Pero si está bien formulado:

Sea [texx](X,d)[/texx] un espacio métrico. Pruebese que si [texx]x\in{X}[/texx], entonces [texx]\beta_x=\left\{{B(x,\displaystyle\frac{1}{n}}):n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos de [texx]x[/texx] para la topología inducida por la métrica.

El ejercicio parte un espacio métrico [texx](X,d)[/texx]; digamos que no existe nada fuera de [texx]X[/texx]. Por definición las bolas de ese espacio están formadas por elementos de [texx]X[/texx].

Si [texx]X=\{0,1\}[/texx] y [texx]d(x,y)=|x-y|[/texx] entonces en ese espacio métrico [texx]B(0,1/2)=\{0\}
[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 14/09/2018, 10:14:33 am »

Hola

Un apunte: el ejercicio no está bien formulado, por ejemplo si [texx]X=\{0,1\}[/texx] con la métrica euclídea, entonces las bolas abiertas [texx]\Bbb B(0,1/n)[/texx], para algún [texx]n\in\Bbb N_{\ge 1}[/texx], no son entornos del cero (ya que no son subconjuntos de [texx]X[/texx]).

Lo que sí es cierto es que [texx]\Bbb B(0,1/n)\cap X[/texx] es un entorno del cero, eso sí. Lo correcto sería decir que [texx]\beta_x:=\left\{\Bbb B(x,1/n)\cap X:n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos para un [texx]x\in X[/texx].

Pero si está bien formulado:

Sea [texx](X,d)[/texx] un espacio métrico. Pruebese que si [texx]x\in{X}[/texx], entonces [texx]\beta_x=\left\{{B(x,\displaystyle\frac{1}{n}}):n\in{\mathbb{N}}\right\}[/texx] es una base de entornos de [texx]x[/texx] para la topología inducida por la métrica.

El ejercicio parte un espacio métrico [texx](X,d)[/texx]; digamos que no existe nada fuera de [texx]X[/texx]. Por definición las bolas de ese espacio están formadas por elementos de [texx]X[/texx].

Si [texx]X=\{0,1\}[/texx] y [texx]d(x,y)=|x-y|[/texx] entonces en ese espacio métrico [texx]B(0,1/2)=\{0\}
[/texx]

Saludos.

Toda la razón, no sé por qué he imaginado otra cosa. El ejercicio está perfectamente formulado.

EDICIÓN: bueno, sí que lo sé, al pensar en una bola he imaginado una bola "llena" en un espacio tipo [texx]\Bbb R^n[/texx].
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« Respuesta #6 : 14/09/2018, 02:43:02 pm »

Elegirlo de qué manera?

Tenemos [texx]1/n <\epsilon\Leftrightarrow{n>1/\epsilon}[/texx]. Basta pues elegir [texx]n=\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1[/texx].

porque tenemos que siempre va a existir un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] lo suficientemente grande para decir que [texx]1/n < \epsilon[/texx] y entonces sería inmediato el ejercicio.

"Resolución sencilla o inmediata" no implica "resolución incorrecta".  :sonrisa:

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« Respuesta #7 : 15/09/2018, 11:48:04 am »

En conclusión se podría plantear la demostración de la siguiente manera:

Sea [texx]G[/texx] un abierto tal que [texx]x\in{G}[/texx] entonces existe [texx]\epsilon>0[/texx] tal que [texx]B(x,\epsilon)\subset{G}[/texx]

Ahora, si elegimos un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]\displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon[/texx].

Entonces, [texx]\displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon\Longleftrightarrow{}n>\displaystyle\frac{1}{\epsilon}[/texx], si tomamos [texx]n=\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1[/texx]. Claramente se verifica que [texx]n=\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1>\epsilon\Longrightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1}<\epsilon[/texx]

por lo cual tendremos que [texx]B(x,\displaystyle\frac{1}{n})\subset{}B(x,\epsilon)\subset{G}.[/texx]

En conclusión, [texx]\beta_x[/texx] es una base de entornos de [texx]x[/texx] 

Qué tal?
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« Respuesta #8 : 16/09/2018, 01:32:41 am »

Sé que es un ejercicio aparte pero solo quiero que me digan si estoy en lo correcto en afirmar lo siguiente:

sean [texx]a,b,c,d\in{\mathbb{R}}. \ A_1=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2}: a<x}}\right\}[/texx]    [texx]A_2=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2}: x<b}}\right\}[/texx]

[texx]A_3=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2}: c<y}}\right\}[/texx]      [texx]A_4=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2}: y<d}}\right\}[/texx]

[texx]A_5=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2}: a<x<b \ \wedge \ c<y<d}}\right\}[/texx]

Entonces tenemos que [texx]A_1\cap{A_2}\cap{A_3}\cap{A_4}=A_5[/texx]
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« Respuesta #9 : 17/09/2018, 05:08:50 am »

Hola

En conclusión se podría plantear la demostración de la siguiente manera:

Sea [texx]G[/texx] un abierto tal que [texx]x\in{G}[/texx] entonces existe [texx]\epsilon>0[/texx] tal que [texx]B(x,\epsilon)\subset{G}[/texx]

Ahora, si elegimos un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]\displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon[/texx].

Entonces, [texx]\displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon\Longleftrightarrow{}n>\displaystyle\frac{1}{\epsilon}[/texx], si tomamos [texx]n=\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1[/texx]. Claramente se verifica que [texx]n=\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1>\epsilon\Longrightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\lfloor 1/\epsilon\rfloor+1}<\epsilon[/texx]

por lo cual tendremos que [texx]B(x,\displaystyle\frac{1}{n})\subset{}B(x,\epsilon)\subset{G}.[/texx]

En conclusión, [texx]\beta_x[/texx] es una base de entornos de [texx]x[/texx] 

Sólo un matiz (menor, quizá una manía mía).

En realidad la parte en rojo podrías eliminarla; es decir basta indicar que tomando un [texx]n[/texx] verficando [texx]\dfrac{1}{n}<\epsilon[/texx] el argumento funciona. El justificar más o menos la existencia ese [texx]n[/texx] es subjetivo; según el estado de conocimientos que quieran evaluarte se puede dar por obvio o exigir que lo argumentes en detalle. A la hora de detallarlo puedes:

1- Dar un valor concreto de n, que es lo que haces después.
2- Justificar su existencia por ejemplo por la propiedad arquimediana de los reales.

Tu escoges el camino (1) pero no me gusta como lo redactas. No queda claro que simplemente especificas un argumento que ya has dado. Deberías de decir algo así como "si queremos concretar la elección de [texx]n[/texx] podemos tomar".

Saludos.
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