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Autor Tema: Problema 1 - Espacios topológicos  (Leído 462 veces)
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #20 : 20/09/2018, 04:33:07 am »

Hola

[texx]x= \displaystyle\frac{1}{2}[/texx] e [texx]y=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx] N = (1,2) y M=(1,2) , N es la familia de entornos que contienen a [texx]x[/texx] , M es la familia de entornos que contienen a [texx]y[/texx].

¿Pero por qué dices que [texx]N=(1,2)[/texx] es la familia de entorno que contiene a [texx]x=\dfrac{1}{2}[/texx]?. Si sólo es un sólo conjunto por que le llamas "familia". Por otra parte, ese es un posible abierto que contiene a [texx]\dfrac{1}{2}[/texx], pero hay otros muchos. Por ejemplo el propio conjunto [texx]\{1/2\} [/texx]es un abierto y [texx]\{1/3\}[/texx] es otro abierto; así que esos dos puntos si pueden separarse por abiertos.

Estás trabajando con esta topología:

[texx]S =\{A \subset{}\mathbb{R}:\mathbb{N} \subset{}A^c\} \cup{}\{\mathbb{R}\}[/texx]

Coloquialmente sus abiertos son: [texx]\mathbb{R}[/texx] y cualquier conjunto que NO contenga a ningun natural. Por ejemplo son abiertos:

i) [texx](1,2)[/texx]
ii) [texx][0,+\infty)-\mathbb{N}[/texx]
iii) [texx]\mathbb{I} (irracionales)[/texx]
iv) [texx](1,2)\cup (0,\dfrac{1}{2})\cap \mathbb{Q}[/texx]
v) Cualquier conjunto formado por un sólo elemento que no sea un número natural.
...

Entonces como te he dicho en cuanto a propiedades separación los puntos probelmáticos son los números naturales, porque el único abierto que los contiene es [texx]\mathbb{R}[/texx]

Hola, entonces considero los puntos [texx]x , y[/texx] tal que [texx]x \neq{} y[/texx] , el abierto [texx]\mathbb{R}[/texx]  contiene a ambos puntos, por lo que el espacio no es [texx]T_0[/texx].

No, puedes decirlo así; no basta con que digas que [texx]\mathbb{R}[/texx] es un abierto que contiene a ambos puntos; de hecho eso eso ocurre en cualquier topología: el espacio total siempre es abierto. La cuestión es si hay otros abiertos o es el único.

Tampoco puedes decir "considero los puntos [texx]x , y[/texx] tal que [texx]x \neq{} y[/texx]"... ¿qué puntos?. Vuevlo a incidir en algo típico en matemáticas: para refutar una propiedad hay que dar un ejemplo CONCRETO que muestre que falla.

Entonces sería: tomando [texx]x=1[/texx] e [texx]y=2[/texx] por ser números naturales, el único abierto que los contiene es [texx]\mathbb{R}[/texx] y por tanto el espacio no cumple ninguna de las propiedades [texx]T_0,T_1,T_2[/texx].

Saludos.
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