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Autor Tema: Problema de álgebra matricial extraño  (Leído 96 veces)
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Tholmor
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« : 13/09/2018, 06:13:53 pm »

Buenos días, hoy en el parcial de algebra matricial apareció este ejercicio y no entiendo si el problema está bien planteado y mucho menos como resolverlo, si alguien me puede explicar como funciona el producto (si es que está bien planteado) lo agradecería mucho. Aquí el ejercicio:

Sean A y B matrices cuadradas de tamaño n (es decir, nxn) invertibles. Pruebe que el sistema de ecuaciones matriciales
\begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{A}&{:}&{B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= I_{2\times 2}}\end{array}
\begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{2A}&{:}&{-B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= 2I_{2\times 2}}\end{array}

donde X e Y son matrices (incógnitas) tiene única solución. Calcule la solución.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 14/09/2018, 01:56:21 am »

Sean A y B matrices cuadradas de tamaño n (es decir, nxn) invertibles. Pruebe que el sistema de ecuaciones matriciales [texx]\begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{A}&{:}&{B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= I_{2\times 2}}\end{array}[/texx] [texx]\begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{2A}&{:}&{-B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= 2I_{2\times 2}}\end{array}[/texx] donde X e Y son matrices (incógnitas) tiene única solución. Calcule la solución.

Tal como está planteado, necesariamente [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] han de ser matrices cuadradas de orden dos, y usando la multiplicación por cajas queda el sistema [texx]\begin{cases} AX+BY=I\\2AX-BY=2I.\end{cases}[/texx] Sumando ambas eccuaciones obtenemos [texx]AX=I[/texx] con lo cual, [texx]X=A^{-1}.[/texx] Usa ahora (por ejemplo) la primera ecuación para hallar [texx]Y[/texx].
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Tholmor
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« Respuesta #2 : 14/09/2018, 11:53:03 pm »

Gracias! Eso era lo que yo suponía, pero es que en clase se usa ":" para notar una matriz A aumentada por una matriz B. Sin embargo, esa si es la forma correcta de ver el ejercicio, muchas gracias.
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