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Autor Tema: Inquietudes sobre teoría de grupos  (Leído 162 veces)
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lcdeoro
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« : 13/09/2018, 01:45:08 am »

Tengo algunas dudas con repecto a las siguientes afirmaciones si son falsas o verdaderas.

1. La ecuación [texx]x^2=e[/texx] no puede tener más de dos soluciones en un grupo.  bueno yo creo que si es verdadera, donde las soluciones serían [texx]x, \ x^{-1}[/texx]

2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx]. Diriía verdadera, si aplico las leyes cancelativas en [texx]a*b=a,[/texx] llegaría a que [texx]b=e[/texx]   

3. Sí [texx]G[/texx] es un conjunto finito y * una operación en [texx]G[/texx] basta con que [texx]G[/texx] sea modulativa para concluir que [texx]G[/texx] es un grupo. Diriía que no, porque aparte deben cumplirse otras propiedades como la asociativa e invertiva. Cuál sería un contraejemplo ?

4. Todos los elementos de un grupo de 4 elementos satisfacen la ecuación [texx]x^2=e[/texx]. este casi no lo logro entender todavía. no sé si es verdadero para intentar mostrarlo o buscarle un contraejemplo.

5. Cualquier par de grupos finitos con el mismo número de elementos son isomorfos. Diría que sí, porque si tienen la misma cantidad de elementos se puede encontrar una biyección.

6. la ecuacion [texx]x^3=e[/texx], tiene una única solución en cualquiera de los grupos de 4 elementos?.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 13/09/2018, 04:32:14 am »

Te respondo al primero.

1. La ecuación [texx]x^2=e[/texx] no puede tener más de dos soluciones en un grupo.  bueno yo creo que si es verdadera, donde las soluciones serían [texx]x, \ x^{-1}[/texx]

Es falsa. Elige el grupo [texx]H=\left\{{-1,1}\right\}\subset \mathbb{R}[/texx] con el producto usual y el grupo producto [texx]G=H\times H.[/texx] Entonces,

          [texx](1,1)^2=(1,-1)^2=(-1,-1)^2=(1,1)=e.[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 13/09/2018, 06:00:23 am »

Hola

Alguna ayuda más.

Como recomendación inicial es bueno que tengas en la cabeza algunos grupos para experimentar y tener contraejemplos.

- Para grupos abelianos, basta que manejes el grupo de los enteros (con la suma) [texx]\mathbb{Z}[/texx] y los grupos de enteros módulo n [texx]\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/texx]. Y luego si quieres considerar productos de ellos, p.ej, [texx]\mathbb{Z_2}\times \mathbb{Z_4}[/texx].

- Para grupos no abelianos, el grupo simétrico (de permutaciones).

2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx]. Diriía verdadera, si aplico las leyes cancelativas en [texx]a*b=a,[/texx] llegaría a que [texx]b=e[/texx]

No se muy bien que es una estructura algebraica "modulativa".   De lo que escribes sospecho a que simplemente se refiere a una operación con elemento neutro. En ese caso (pero por favor, dime exactamente como te han definido modulativa) no es cierto. Por ejemplo en el conjunto [texx]\{1,2\}[/texx] puedes definir la operación [texx]1*1=1,\quad 1*2=2*1=2*2=2[/texx]. Entonces para [texx]a=b=2[/texx], se tiene [texx]a*b=a[/texx] pero [texx]b\neq 1.[/texx]

Cita
3. Sí [texx]G[/texx] es un conjunto finito y * una operación en [texx]G[/texx] basta con que [texx]G[/texx] sea modulativa para concluir que [texx]G[/texx] es un grupo. Diriía que no, porque aparte deben cumplirse otras propiedades como la asociativa e invertiva. Cuál sería un contraejemplo ?

Claramente no. Tienes un contraejemplo en (3).

Cita
4. Todos los elementos de un grupo de 4 elementos satisfacen la ecuación [texx]x^2=e[/texx]. este casi no lo logro entender todavía. no sé si es verdadero para intentar mostrarlo o buscarle un contraejemplo.

¿Qué pasa en [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx].?

Cita
5. Cualquier par de grupos finitos con el mismo número de elementos son isomorfos. Diría que sí, porque si tienen la misma cantidad de elementos se puede encontrar una biyección.

¿Qué pasa con  [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx] y  [texx](\mathbb{Z}_2,+)\times (\mathbb{Z}_2,+)[/texx].

Cita
6. la ecuacion [texx]x^3=e[/texx], tiene una única solución en cualquiera de los grupos de 4 elementos?.

Si; el como razonarlo depende un poco de los resultados previos que puedas usar. Por ejemplo si [texx]x^3=e[/texx] el orden de [texx]x[/texx] es divisor de [texx]3[/texx]; pero el orden de un elemento también divide al orden del grupo, es decir, a [texx]4[/texx]. Por tanto como [texx]3[/texx] y [texx]4[/texx] son coprimos el orden de [texx]x[/texx] es [texx]1[/texx] y así [texx]x^1=e[/texx]: necesariamente [texx]x[/texx] es el neutro.

Saludos.
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lcdeoro
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« Respuesta #3 : 13/09/2018, 04:56:49 pm »


2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx]. Diriía verdadera, si aplico las leyes cancelativas en [texx]a*b=a,[/texx] llegaría a que [texx]b=e[/texx]

No se muy bien que es una estructura algebraica "modulativa".   De lo que escribes sospecho a que simplemente se refiere a una operación con elemento neutro. En ese caso (pero por favor, dime exactamente como te han definido modulativa) no es cierto. Por ejemplo en el conjunto [texx]\{1,2\}[/texx] puedes definir la operación [texx]1*1=1,\quad 1*2=2*1=2*2=2[/texx]. Entonces para [texx]a=b=2[/texx], se tiene [texx]a*b=a[/texx] pero [texx]b\neq 1.[/texx]

Exactamente a esa, una opración con elemento neutro.


Cita
3. Sí [texx]G[/texx] es un conjunto finito y * una operación en [texx]G[/texx] basta con que [texx]G[/texx] sea modulativa para concluir que [texx]G[/texx] es un grupo. Diriía que no, porque aparte deben cumplirse otras propiedades como la asociativa e invertiva. Cuál sería un contraejemplo ?

Claramente no. Tienes un contraejemplo en (2).

Cita
4. Todos los elementos de un grupo de 4 elementos satisfacen la ecuación [texx]x^2=e[/texx]. este casi no lo logro entender todavía. no sé si es verdadero para intentar mostrarlo o buscarle un contraejemplo.

¿Qué pasa en [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx].?

[texx]\mathbb{Z}_4,=\left\{{0,1,2,3}\right\}[/texx] entonces [texx]1^2=1+1=2[/texx] no satiface la ecuación.

Cita
5. Cualquier par de grupos finitos con el mismo número de elementos son isomorfos. Diría que sí, porque si tienen la misma cantidad de elementos se puede encontrar una biyección.

¿Qué pasa con  [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx] y  [texx](\mathbb{Z}_2,+)\times (\mathbb{Z}_2,+)[/texx].

Tengo entendido que [texx]H=(\mathbb{Z}_2,+)\times (\mathbb{Z}_2,+)[/texx] es abeliano pero no cíclico, porque el producto de cada elemento por si mismo es el neutro, entonces no hay un generador [texx]H[/texx] por lo tanto no es isomorfo a [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx] de donde este último su generador es el elemento [texx]1[/texx]. No sé si este sea un buen argumento o le falta.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 13/09/2018, 06:06:34 pm »

Hola

[texx]\mathbb{Z}_4,=\left\{{0,1,2,3}\right\}[/texx] entonces [texx]1^2=1+1=2[/texx] no satiface la ecuación.

Bien.

Cita
Tengo entendido que [texx]H=(\mathbb{Z}_2,+)\times (\mathbb{Z}_2,+)[/texx] es abeliano pero no cíclico, porque el producto de cada elemento por si mismo es el neutro, entonces no hay un generador [texx]H[/texx] por lo tanto no es isomorfo a [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx] de donde este último su generador es el elemento [texx]1[/texx]. No sé si este sea un buen argumento o le falta.

Está bien; o dicho de otra manera en [texx]H=(\mathbb{Z}_2,+)\times (\mathbb{Z}_2,+)[/texx] todo elemento cumple [texx]x^2=e[/texx] pero en  [texx](\mathbb{Z}_4,+)[/texx] no.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 13/09/2018, 06:39:18 pm »

Hola.


2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx]. Diriía verdadera, si aplico las leyes cancelativas en [texx]a*b=a,[/texx] llegaría a que [texx]b=e[/texx]

No se muy bien que es una estructura algebraica "modulativa".   De lo que escribes sospecho a que simplemente se refiere a una operación con elemento neutro. En ese caso (pero por favor, dime exactamente como te han definido modulativa) no es cierto. Por ejemplo en el conjunto [texx]\{1,2\}[/texx] puedes definir la operación [texx]1*1=1,\quad 1*2=2*1=2*2=2[/texx]. Entonces para [texx]a=b=2[/texx], se tiene [texx]a*b=a[/texx] pero [texx]b\neq 1.[/texx]

Exactamente a esa, una opración con elemento neutro.

Si nos dijeran que [texx]G[/texx] es un grupo, tambien sería falsa?   

Una pregunta aparte, los grupos son las estructuras algébricas más abundantes?
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lcdeoro
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« Respuesta #6 : 13/09/2018, 07:25:34 pm »

4. Los elementos de un grupo de 3 elementos satisfacen la ecuación [texx]x^2=e[/texx].

Modificando un poco la redacción del ejercicio 4, (lo que esta en rojo) Sería falso también?  Porque creo que este sería un contraejemplo.

[texx]\mathbb{Z}_3,=\left\{{0,1,2,}\right\}[/texx] entonces [texx]1^2=1+1=2[/texx] no satiface la ecuación.

Aunque como se modificó la parte que decía todos los elementos por los elementos, entonces no sé si sea igual al anterior, esa sería mi duda.
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« Respuesta #7 : 13/09/2018, 08:39:23 pm »

Hola!

Una pregunta aparte, ¿los grupos son las estructuras algébricas algebraicas más abundantes?

No entiendo muy bien tu pregunta. ¿A qué te referís con "abundantes"? ¿Las que usamos más / Las que tienen un infinito más grande de uso? ¿Las que aparecen más en la naturaleza? ¿Las que aparecen más en el mundo matemático?

Yo no soy experto pero si te referís a la primera, no creo. Podrías preguntarte por cuál de las estructuras algebraicas que más se conocen son las que más utilizamos. En ese caso, por ejemplo un álgebra de Boole se utiliza muchísimo para armar circuitos lógicos, que sirven para prender una lamparita, para controlar robots, están en la composición de ordenadores, televisores, etc., además de otros usos.

Sin embargo es muy interesante lo que creo que preguntás. Podés visitar esta pregunta o leer el paper "FORMACIÓN DE LA NOCIÓN ABSTRACTA DE ESTRUCTURA ALGEBRAICA" (no lo leí, son 319 páginas pero suena muy prometedor por el abstract que tiene).

Por otra parte, por ejemplo los grupos son una parte "más grande" de otra estructura algebraica: los semigrupos. Es claro que estos últimos tienen más presencia porque, además de que todo grupo es semigrupo, hay casos especiales donde solamente estructuras son semigrupos y no grupos; por tanto hay más semigrupos que grupos. Análogamente con otras estructuras.

También se utiliza mucho el álgebra de Lie.

Saludos
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« Respuesta #8 : 14/09/2018, 04:39:36 am »

Hola


2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx]. Diriía verdadera, si aplico las leyes cancelativas en [texx]a*b=a,[/texx] llegaría a que [texx]b=e[/texx]

No se muy bien que es una estructura algebraica "modulativa".   De lo que escribes sospecho a que simplemente se refiere a una operación con elemento neutro. En ese caso (pero por favor, dime exactamente como te han definido modulativa) no es cierto. Por ejemplo en el conjunto [texx]\{1,2\}[/texx] puedes definir la operación [texx]1*1=1,\quad 1*2=2*1=2*2=2[/texx]. Entonces para [texx]a=b=2[/texx], se tiene [texx]a*b=a[/texx] pero [texx]b\neq 1.[/texx]

Exactamente a esa, una opración con elemento neutro.

Si nos dijeran que [texx]G[/texx] es un grupo, tambien sería falsa?   

En ese caso sería cierta; dado que en un grupo todo elemento tiene inverso, y se cumple la propiedad asociativa:

[texx]a*b=a\quad \Rightarrow{}\quad a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*a\quad \Rightarrow{}\quad (a^{-1}*a)*b=e
\quad \Rightarrow{}\quad e*b=e\quad \Rightarrow{}\quad b=e[/texx]

Cita
Una pregunta aparte, los grupos son las estructuras algébricas más abundantes?

Como dice manooooh tienes que precisar que sentido quieres darle a la pregunta; frívolamente te diría que los grupos aparecen "mucho"  en matemáticas; de manera explícita o implícita, casi te diría que continuamente...

4. Los elementos de un grupo de 3 elementos satisfacen la ecuación [texx]x^2=e[/texx].

Modificando un poco la redacción del ejercicio 4, (lo que esta en rojo) Sería falso también?  Porque creo que este sería un contraejemplo.

[texx]\mathbb{Z}_3,=\left\{{0,1,2,}\right\}[/texx] entonces [texx]1^2=1+1=2[/texx] no satiface la ecuación.

Aunque como se modificó la parte que decía todos los elementos por los elementos, entonces no sé si sea igual al anterior, esa sería mi duda.

Es lo mismo decir "todos los elementos" que "los elementos"; sería distinto decir "algunos" elementos. Y si, sería efectivamente falso.

De hecho se puede ver que:

- Dado cualquier [texx]n>2[/texx] siempre existe un grupo finito de orden [texx]n[/texx] donde NO todos los elementos cumplen [texx]x^2=e[/texx] (basta tomar el grupo cíclico del orden correspondiente). Es decir la afirmación seguiría siendo falsa si cambias orden [texx]4[/texx] por cualquier orden [texx]n>2[/texx].

- Un grupo finito en el que todo elemento cumplen [texx]x^2=e[/texx] necesariamente es abeliano y es isomorfo a [texx]k[/texx] productos del grupo [texx]Z_2[/texx], de forma que el grupo tiene [texx]2^k[/texx] elementos.

- Dicho de otra manera en un grupo de orden [texx]n[/texx] que NO sea potencia de dos siempre existe algún elemento que NO cumple [texx]x^2=e[/texx].

- Si [texx]n[/texx] es potencia de dos, entonces existen grupos de orden [texx]n[/texx] en el que todo elemento cumple [texx]x^2=e[/texx] y también grupos del mismo orden donde no se cumple esa propiedad.

Saludos.
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lcdeoro
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« Respuesta #9 : 14/09/2018, 08:49:49 am »

Una inquietud sobre este ejercicio para ver si logro comprenderlo un poco más.

2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx].

Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa a la derecha, invertiva a la izquierda, asociativa, entonces [texx](G, *)[/texx] es un grupo.

Sería falso, porque si definimos la operación * como: [texx]a*b=a[/texx], mi duda esta en verificar que este sería un contrajemplo al enunciado anterior, entonces realicé losiguiente:

[texx]a*b=a\quad \Rightarrow{}\quad a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*a\quad \Rightarrow{}\quad (a^{-1}*a)*b=e
\quad \Rightarrow{}\quad e*b=e\quad \Rightarrow{}\quad e=e[/texx] suponiendo que [texx]b\neq{e}[/texx]

Entonces, tendríamos dos elementos neutros porque si [texx]a*b=a[/texx] entonces [texx]b[/texx] actuaría como un neutro a la derecha, pero dijimos que [texx]b\neq{e}[/texx].

otra duda que pasa por la cabeza es si pueden existir más de un neutro a la derecha en un grupo.


 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #10 : 14/09/2018, 10:08:02 am »

Hola

Una inquietud sobre este ejercicio para ver si logro comprenderlo un poco más.

2. Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa, con modulo [texx]e[/texx] y [texx]a,b\in{G}[/texx] tales que [texx]a*b=a,[/texx] entonces [texx]b=e[/texx].

Sí [texx](G, *)[/texx] es una estructura algebraica modulativa a la derecha, invertiva a la izquierda, asociativa, entonces [texx](G, *)[/texx] es un grupo.

Sería falso, porque si definimos la operación * como: [texx]a*b=a[/texx], mi duda esta en verificar que este sería un contrajemplo al enunciado anterior, entonces realicé losiguiente:

[texx]a*b=a\quad \Rightarrow{}\quad a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*a\quad \Rightarrow{}\quad (a^{-1}*a)*b=e
\quad \Rightarrow{}\quad e*b=e\quad \Rightarrow{}\quad e=e[/texx] suponiendo que [texx]b\neq{e}[/texx]

Entonces, tendríamos dos elementos neutros porque si [texx]a*b=a[/texx] entonces [texx]b[/texx] actuaría como un neutro a la derecha, pero dijimos que [texx]b\neq{e}[/texx].

Está bien.

Cita
otra duda que pasa por la cabeza es si pueden existir más de un neutro a la derecha en un grupo.

No; de hecho precisamente está bien el ejemplo anterior porque el neutro en un grupo es único. Recuerda que en un grupo los neutros son a derecha e izquierda; si hubiese dos:

[texx]e=ee'=e'[/texx]


serían el mismo.

Saludos.
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