Suma de combinatorios impares

[ASamuel]

Ayuda. Necesito demostrar que

[texx]\color{red} \displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= 2^{n-1}\color{black}[/texx]

Lo he tratado por inducción pero en la parte donde [texx]n=k+1[/texx] no se como proceder. Gracias.

Es el inciso iv del problema 3 del capitulo 2 del Spivak
CORREGIDO dese la administración.

[feriva]

Ayuda, necesito demostrar que \displaystyle\sum_{i=Impar}^n{n}= 2^(n-1), lo he tratado por inducción pero en la parte donde n=k+1 no se como proceder. Gracias.
Es el inciso iv del problema 3 del capitulo 2 del Spivak

El Spivak lo tuve prestado hace mucho pero ya  no lo tengo. Al pegar la fórmula en mi editor pareciera la suma de impares, pero no creo que sea eso, porque la suma de impares da [texx]n^2[/texx].

Pon las etiquetas latex a la fórmula a ver.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de repetir la misma pregunta en distintos hilos.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Ayuda. Necesito demostrar que

[texx]\color{red} \displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= 2^{n-1}\color{black}[/texx]

 La formula usual de demostrarlo se basa en, previamente, tener demostrado la fórmula del binomio de Newton:

[texx](a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}a^ib^{n-i}[/texx]

 Después:

 1) Aplicando la fórmula para [texx]a=b=1[/texx] se deduce que [texx]\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}=2^n[/texx].
 
 2) Aplicando la fórmula para [texx]a=1[/texx] y [texx]b=-1[/texx] se deduce que  [texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= \displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]

 3) De (1) y (2) se deduce que:

 [texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= \displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}=2^{n-1}[/texx]

Saludos.

[ASamuel]

Disculpa pero como es que llegamos a esas deducciones?

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpa pero como es que llegamos a esas deducciones?

Por favor intenta detallar más tus dudas, es difícil en otro caso  ayudarte.

¿Exactamente qué paso no entiendes?¿Qué has intentado hacer para completar ese paso?.


Saludos.

[ASamuel]

Saludos, este medio es nuevo para mi, de antemano disculpas.
Lo que no entiendo es el paso donde se aplica a=1 y b=-1, como deducen que esa es la sumatoria, yo desconozco esta manera de demostrarlo, yo lo he intentado por inducción pero no logro llegar, por eso me gustaria comprender este metodo.

De antemano, gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Saludos, este medio es nuevo para mi, de antemano disculpas.
Lo que no entiendo es el paso donde se aplica a=1 y b=-1, como deducen que esa es la sumatoria, yo desconozco esta manera de demostrarlo, y

Pues algo así; voy a hacerlo mejor con [texx]a=-1[/texx] y [texx]b=1[/texx] (es lo mismo, pero queda ligeramente más claro).

Tienes:

[texx](a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}a^ib^{n-i}[/texx]

Si [texx]a=-1[/texx] y [texx]b=1[/texx]:

[texx](-1+1)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}(-1)^i1^{n-i}[/texx]

[texx](0)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}(-1)^i[/texx]

Recuerda que [texx](-1)^i[/texx] es [texx]-1[/texx] si [texx]i[/texx] es impar y [texx]1[/texx] si es par. Por tanto queda:

[texx]0=\left(\displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}\right)-\left(\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}\right)[/texx]

y finalmente:

[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= \displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]

o lo he intentado por inducción pero no logro llegar, por eso me gustaria comprender este método.

Si lo quieres hacer por inducción facilita el asunto probar conjuntamente la fórmula para índices pares e impares:

[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= \displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}=2^{n-1}[/texx]

En el paso inductivo suponiendo que ambas formas se cumplen para el caso [texx]n[/texx] hay que ver que cumplen para el [texx]n+1[/texx].

La clave está en usar la propiedad combinatoria:

[texx]\displaystyle\binom{n+1}{k}=\displaystyle\binom{n}{k-1}+\displaystyle\binom{n}{k}[/texx]  (*)

(la fórmulas es válida incluso si [texx]k=0[/texx] ó [texx]k=n+1[/texx] entendiendo que [texx]\displaystyle\binom{p}{q}[/texx] es cero si [texx]q<0[/texx] ó [texx]q>p[/texx]).

Entonces:

[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\left(\displaystyle\binom{n}{i-1}+\displaystyle\binom{n}{i}\right)[/texx]

[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n}{i-1}+\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]

Dado que si [texx]i[/texx] es impar [texx]i-1[/texx] es par y teniendo en cuenta (*) queda:

[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{j\,par}^{n}\displaystyle\binom{n}{j}+\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n}\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]

y por hipótesis de inducción:

[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{j\,par}^{n}\displaystyle\binom{n}{j}+\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n}\displaystyle\binom{n}{i}=2^{n-1}+2^{n-1}=2^n[/texx]

Análogamente se prueba la fórmula para índices pares.

Saludos.

(*) La fórmula es válida incluso si [texx]k=0[/texx] ó [texx]k=n+1[/texx] entendiendo que [texx]\displaystyle\binom{p}{q}[/texx] es cero si [texx]q<0[/texx] ó [texx]q>p[/texx]).