Hola
Saludos, este medio es nuevo para mi, de antemano disculpas.
Lo que no entiendo es el paso donde se aplica a=1 y b=-1, como deducen que esa es la sumatoria, yo desconozco esta manera de demostrarlo, y
Pues algo así; voy a hacerlo mejor con [texx]a=-1[/texx] y [texx]b=1[/texx] (es lo mismo, pero queda ligeramente más claro).
Tienes:
[texx](a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}a^ib^{n-i}[/texx]
Si [texx]a=-1[/texx] y [texx]b=1[/texx]:
[texx](-1+1)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}(-1)^i1^{n-i}[/texx]
[texx](0)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}(-1)^i[/texx]
Recuerda que [texx](-1)^i[/texx] es [texx]-1[/texx] si [texx]i[/texx] es impar y [texx]1[/texx] si es par. Por tanto queda:
[texx]0=\left(\displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}\right)-\left(\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}\right)[/texx]
y finalmente:
[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= \displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]
o lo he intentado por inducción pero no logro llegar, por eso me gustaria comprender este método.
Si lo quieres hacer por inducción facilita el asunto probar conjuntamente la fórmula para índices pares e impares:
[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^n\displaystyle\binom{n}{i}= \displaystyle\sum_{i\,Par}^n\displaystyle\binom{n}{i}=2^{n-1}[/texx]
En el paso inductivo suponiendo que ambas formas se cumplen para el caso [texx]n[/texx] hay que ver que cumplen para el [texx]n+1[/texx].
La clave está en usar la propiedad combinatoria:
[texx]\displaystyle\binom{n+1}{k}=\displaystyle\binom{n}{k-1}+\displaystyle\binom{n}{k}[/texx] (*)
(la fórmulas es válida incluso si [texx]k=0[/texx] ó [texx]k=n+1[/texx] entendiendo que [texx]\displaystyle\binom{p}{q}[/texx] es cero si [texx]q<0[/texx] ó [texx]q>p[/texx]).
Entonces:
[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\left(\displaystyle\binom{n}{i-1}+\displaystyle\binom{n}{i}\right)[/texx]
[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n}{i-1}+\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]
Dado que si [texx]i[/texx] es impar [texx]i-1[/texx] es par y teniendo en cuenta (*) queda:
[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{j\,par}^{n}\displaystyle\binom{n}{j}+\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n}\displaystyle\binom{n}{i}[/texx]
y por hipótesis de inducción:
[texx]\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n+1}\displaystyle\binom{n+1}{i}=\displaystyle\sum_{j\,par}^{n}\displaystyle\binom{n}{j}+\displaystyle\sum_{i\,Impar}^{n}\displaystyle\binom{n}{i}=2^{n-1}+2^{n-1}=2^n[/texx]
Análogamente se prueba la fórmula para índices pares.
Saludos.
(*) La fórmula es válida incluso si [texx]k=0[/texx] ó [texx]k=n+1[/texx] entendiendo que [texx]\displaystyle\binom{p}{q}[/texx] es cero si [texx]q<0[/texx] ó [texx]q>p[/texx]).