03 Abril, 2020, 07:53 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Órbitas en ecuación diferencial no lineal  (Leído 791 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
alexis-gauss
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 12


Ver Perfil
« : 12 Septiembre, 2018, 05:30 »

El problema consiste en probar que el siguiente sistema no tiene órbitas periódicas:
[texx]\begin{cases}
x'=&2x-x^5-xy^4 \\
y'=&y-y^3-x^2y
\end{cases}[/texx]

Lo primero que hice fue calcular las singularidades, ie los puntos en los cuales el campo se anula, de los cuales obtuve los pares reales [texx](0,0); (0,1);(0, -1);(\sqrt[4]{2},0);(\sqrt[4]{2},0)[/texx]. Luego, los clasifiqué si son atractores, silla,.. usando la matriz Jacobiana asociada al campo de vectores e hice un diagrama de fase, pero no logro avanzar más.
Cómo puedo probar ahora que el sistema no tiene órbitas periódicas?
Gracias de antemano, saludos.
En línea
Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.594


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #1 : 12 Septiembre, 2018, 07:23 »

El problema consiste en probar que el siguiente sistema no tiene orbitas periodicas:
[texx]\left\{\begin{matrix}
x'=&2x-x^5-xy^4 \\
y'=&y-y^3-x^2y
\end{matrix}\right.[/texx]
Lo primero que hice fue calcular las singularidades, ie los puntos en los cuáles el campo se anula,de los cuales obtuve los pares reales [texx](0,0); (0,1);(0, -1);(\sqrt[4]{2},0);(\sqrt[4]{2},0)[/texx]. Luego, los claisifique si son atractores, silla,.. usando la matriz Jacobiana asociada al campo de vectores e hice un diagrama de fase, pero no logro avanzar mas. Como puedo probar ahora que el sistema no tiene orbitas periódicas? Gracias de antemano, saludos.

Creo que es buen camino el elegido. El sistema no es gradiente (en cuyo caso no tendría órbitas cerradas), el teorema de Bendixon no da información y el de Poincare-Bendixon es un suplicio aplicarlo en nuestro caso. La clasificación de los puntos de equilibrio junto con el estudio de la dirección del vector campo [texx]v(x,y)=\left(x\left(2-x^4-y^4\right), y\left(1-x^2-y^2\right)\right)[/texx] (mira la curvas anexas) determina  el correspondiente plano de fases.
En línea

Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!