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Autor Tema: Error en la ecuación.  (Leído 156 veces)
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moliere
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« : 11/09/2018, 04:25:53 pm »

Hallar el error en la siguiente  "solución" y después halla la solución  correcta.
[texx]\displaystyle\frac{4}{x^2 -4x+3}=\displaystyle\frac{3}{x^2 -3x+2}[/texx]

[texx]4x^2 -12x+8=3x^2 -12x+9[/texx]

[texx]x^2=1[/texx]

[texx]x=\pm{1}[/texx]
Traté de resolverlo con el m.c.m. y la respuesta me da [texx]x=-1[/texx],  sí me da, pero no sé dónde está el error
 
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« Respuesta #1 : 11/09/2018, 04:49:31 pm »

Hallar el error en la siguiente  "solución" y después halla la solución  correcta.
[texx]\displaystyle\frac{4}{x^2 -4x+3}=\displaystyle\frac{3}{x^2 -3x+2}[/texx]

[texx]4x^2 -12x+8=3x^2 -12x+9[/texx]

[texx]x^2=1[/texx]

[texx]x=\pm{1}[/texx]
Traté de resolverlo con el m.c.m. y la respuesta me da [texx]x=-1[/texx],  sí me da, pero no sé dónde está el error
 

Si multiplicas en cruz verás que está bien el primer paso, la igualdad es cierta. Si operas quitando cosas también. Lo que no es cierto es el doble signo; si hallas la raíz a los dos lados te queda [texx]\sqrt{1}=+1[/texx].

Saludos.
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mathtruco
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« Respuesta #2 : 11/09/2018, 05:00:27 pm »

Qué bonita pregunta (lo robaré para cuando deba explicar un tema así)  :malvado:

Todos los pasos son correctos, excepto que originalmente las operaciones deben estar definidas, lo que en este caso significa que no puede dividirse por cero, así que

    [texx]x^2-4x+3\neq 0[/texx]    y    [texx]x^2-3x+2\neq 0[/texx]

por lo que en particular [texx]x\notin\{1,2,3\}[/texx], por lo que el problema tiene sólo una solución: [texx]x=-1[/texx].

P.D.
Cita
Si multiplicas en cruz verás que está bien el primer paso, la igualdad es cierta. Si operas quitando cosas también. Lo que no es cierto es el doble signo; si hallas la raíz a los dos lados te queda [texx]\sqrt{1}=+1[/texx].

Ojo que lo que está haciendo es

    [texx]x^2=a\Leftrightarrow x=\pm\color{red}\sqrt{a}[/texx]   (cuando [texx]a>0[/texx], claro)

lo cual es siempre cierto (es directo de la definición de valor absoluto), así que ahí no hay error.

P.D.2 En rojo puse un error mío  :rodando_los_ojos:
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feriva
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« Respuesta #3 : 11/09/2018, 05:59:00 pm »



Ojo que lo que está haciendo es

    [texx]x^2=a\Leftrightarrow x=\pm a[/texx]   (cuando [texx]a>0[/texx], claro)


Ah, así ya es otra cosa.

(Ya veo que la cuestión estaba en que se anulaba el denominador, se me ha escapado).

Saludos.
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moliere
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« Respuesta #4 : 12/09/2018, 12:22:09 am »

No he entendido. Pensaba que sólo estaba haciendo uso de la propiedad de la raíz cuadrada (lo del doble signo). Sé que el denominador no puede ser igual cero y por eso se descarta [texx]+1[/texx],  pero en las operaciones no sé dónde está el error.
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« Respuesta #5 : 12/09/2018, 12:57:26 am »

Hola

No he entendido. Pensaba que sólo estaba haciendo uso de la propiedad de la raíz cuadrada (lo del doble signo). Sé que el denominador no puede ser igual cero y por eso se descarta [texx]+1[/texx],  pero en las operaciones no sé dónde está el error.

Como comentó mathtruco, todo está bien salvo la última línea que no está "en contexto", porque originalmente las ecuaciones estaban en un denominador. Si quitás la primera línea de tu pregunta no hay ninguna restricción para la [texx]x[/texx]; puede valer cualquier cosa.

Es como hallar el conjunto solución de

[texx]\displaystyle\frac1{x^2}=\frac1x[/texx].

Haciendo producto cruz tenemos [texx]x^2=x\iff x^2-x=0\iff x(x-1)=0\iff x=0\vee x=1[/texx]. ¿Razonable, no? Pues no, porque [texx]\frac1{x^2}=\frac1x[/texx] vale solamente cuando [texx]x\not\in\{0\}[/texx], por tanto [texx]x=0[/texx] NO es solución, pero todas las operaciones que hicimos son perfectamente válidas. Nota: también podríamos haber impuesto desde antes que si [texx]x\neq0[/texx] entonces [texx]\frac1x=1\iff x=1[/texx].

Saludos

EDIT: mathtruco (y eventualmente moliere), quizás les interese este video (en inglés): https://www.youtube.com/watch?v=fV6Wfo7MwkA. Son cosas que generalmente no saltan a la vista de primera, y está genial para hacer entender a la gente la importancia de chequear todo :risa: :risa:.
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moliere
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« Respuesta #6 : 12/09/2018, 03:33:49 pm »

Gracias a todos por sus respuestas.
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mathtruco
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« Respuesta #7 : 13/09/2018, 12:03:00 pm »

EDIT: mathtruco (y eventualmente moliere), quizás les interese este video (en inglés): https://www.youtube.com/watch?v=fV6Wfo7MwkA. Son cosas que generalmente no saltan a la vista de primera, y está genial para hacer entender a la gente la importancia de chequear todo :risa: :risa:.

Buen video. Aunque yo prefiero explicar estos detalles con ejemplos más cortos, me parecen más claros y conviencentes.
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