Problemas de series y secuencias

[semse]

Cuales la diferencia entre  secuencias y series?  Me puede dar un ejemplo decada uno? GRACIAS

[feriva]

Cuales la diferencia entre  secuencias y series?  Me puede dar un ejemplo decada uno? GRACIAS

Hola.

Secuencia (o sucesión): 1,2,3,4,5,6...

Serie 1+2+3+4+5+6+...

Saludos.

[semse]

gracias por la respuesta pero podria elaborarla explicacion  un poco mas y con graficas |? gracias,.

[feriva]

gracias por la respuesta pero podria elaborarla explicacion  un poco mas y con graficas |? gracias,.

Una secuencia es una sucesión de términos, los que sean, no tienen por qué ser los números naturales, pueden ser cualesquiera y no tienen por qué ser todos los de un conjunto conocido ni estar en un orden especial.

Una serie es la suma de los términos de una secuencia o sucesión.

Un ejemplo de gráfica de una sucesión

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2,3,5,7,11,13,17,19,23,...

Un ejemplo de gráfica de una serie

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+i%3D1+to+n+(i%5E2)

Saludos.

[semse]

Gracias por la respuesta pero ¿Cómo yo escribiría la  serie usando la notación sigma?

[feriva]

Gracias por la respuesta pero ¿Cómo yo escribiría la  serie usando la notación sigma?

En el caso del ejemplo, así

[texx]\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}i^{2}}
 [/texx]

Donde “i” empieza valiendo 1 y llega hasta “n” cuando “n” tiende a infinito. Es la suma de los cuadrados de los números naturales.

En general, la Sigma funciona más o menos de esa forma con cualquier cosa; supón, por ejemplo, los términos que son de esta manera [texx](1+i^{3})
 [/texx], pues será

[texx]\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(1+i^{3})=(1+1^{3})+(1+2^{3})+(1+3^{3})+(1+4^{3})+...+(1+n^{3})
 [/texx]

Saludos.

[manooooh]

Hola

Además de lo dicho por mi amigo feriva (lo cual estoy de acuerdo), si quieres profundizar más puedes entrar en la página de Wikipedia: Series (mathematics).

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx]\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}i^{2}}
 [/texx]

¡Qué complicado que lo escribiste! . Se podría haber escrito como [tex]\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2[/tex] [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2[/texx]. Fijate que el superíndice y subíndice quedaban desalineados.

Saludos

[semse]

Muchas gracias a todos por toda la ayuda ,me preguntaba y si puede darme su opinion de  porque es  mejor usar http://www.wolframalpha.com para las graficas ,equaciones etc...?

[manooooh]

Hola

Muchas gracias a todos por toda la ayuda ,me preguntaba y si puede darme su opinion de  porque es  mejor usar http://www.wolframalpha.com para las graficas ,equaciones etc...?

Depende de tus necesidades; si eres estudiante de la universidad o inferior para mí es el mejor pues es gratis, adaptable a cualquier dispositivo, tiene una base de datos inmensa, utiliza gráficos, tiene su propio código (Wolfram Language), etc.

Saludos

[feriva]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx]\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}i^{2}}
 [/texx]

¡Qué complicado que lo escribiste! . Se podría haber escrito como [tex]\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2[/tex] [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2[/texx]. Fijate que el superíndice y subíndice quedaban desalineados.

Saludos

Gracias. Es que he hecho un invento con el editor, con unas cajitas que tiene arriba y abajo, una mezcla; a ver si me aprendo cómo se escriben y no se me olvida con esta cabeza

Buenas noches.

[semse]

Gracias por la respuesta pero ¿Cómo yo escribiría la  serie usando la notación sigma?

En el caso del ejemplo, así

[texx]\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}i^{2}}
 [/texx]

Donde “i” empieza valiendo 1 y llega hasta “n” cuando “n” tiende a infinito. Es la suma de los cuadrados de los números naturales.

En general, la Sigma funciona más o menos de esa forma con cualquier cosa; supón, por ejemplo, los términos que son de esta manera [texx](1+i^{3})
 [/texx], pues será

[texx]\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(1+i^{3})=(1+1^{3})+(1+2^{3})+(1+3^{3})+(1+4^{3})+...+(1+n^{3})
 [/texx]

Saludos.

\
Gracias por la ayuda ,Como entoces podria serla grafica ?

[feriva]

Gracias por la ayuda ,Como entoces podria serla grafica ?

Hola.

Tienes que tener en cuenta que una serie es una suma y, como tal, si converge, no da infinitos valores distintos; el término general puede tener distintas raíces, eso sí, como una ecuación no lineal.

Por tanto, en principio, no hay una gráfica como la de una secuencia donde se van representando todos los valores de uno en uno dando lugar a una curva o unas líneas quebradas o algo así.

Sí que se puede hacer algo parecido tomando sumas parciales, tomando hasta ciertos valores de “n”; por ejemplo, para múltiplos de 10 (n=10,n=20,n=30...); se pueden ir representando los resultados como puntos en una gráfica.

Si te quedas con la idea más básica, tomando por caso los naturales, pues es esto 1+2+3+...+n; una suma la cual va a depender de lo que consideremos que podemos hacer, de las definiciones que usemos.

Porque ésa es otra, la solución más intuitiva es que esta suma 1+2+3..., sin acabar nunca, diverge, tiende a infinito y no existe un valor concreto. Sin embargo, el infinito da mucho juego y entendiendo de distintas maneras la suma podemos hacer que converja a un límite.

Puedes empezar por mirar esta serie:

[texx]S = 1-1+1-1+1-1+1...[/texx]

Como no acaba, no converge a un sólo valor, puede ser cero, puede ser 1... intermitentemente.

Pero no deja de ser correcto algebraicamente escribir esto:

[texx]1-S=1-S[/texx]

[texx]1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1...)[/texx]

Es lo mismo, ¿de acuerdo?

Ahora, si quitamos el paréntesis (teniendo en cuenta que el signo menos de fuera cambia los signos de dentro) tenemos

[texx]1-S=1-1+1-1+1-1+1-1...[/texx]

o sea

[texx]1-S=S[/texx]

y despejando

[texx]1=S+S[/texx]; [texx]1=2S[/texx]; [texx]S=1/2[/texx] converge a ½.

¿Cuál es la representación de la serie?

Depende de qué entendamos. Si entendemos lo primero, podemos representar los puntos, con 1 y 0, y hacer una gráfica tan larga como queramos, si lo entendemos de esta última manera, sólo tenemos un valor límite.

También, del mismo modo, entendiendo las cosas de otra manera, se pude hacer que la suma de los naturales 1+2+3+4...+n converja a   [texx]-\dfrac{1}{12} [/texx].

Por tanto, no se puede dar una respuesta cerrada a lo que preguntas, la gráfica dependerá de cosas.

Saludos.

[nia]

Las series son sucesiones corrientes y molientes, y como a tales se les aplican las mismas representaciones y definiciones para obtener límites o convergencias.

Otro asunto es que las series se obtengan de otras sucesiones por algún procedimiento determinado, sumando la previa en este caso, pero aunque la mona se vista de seda... sucesión se queda.

Dada una sucesión es inmediato dar la serie que genera, sumando, y es fácil dada la serie obtener la sucesión de la que proviene, por resta. Y además, para aclarar mas las cosas, cualquier sucesión puede considerarse una serie, proveniente de las restas de sus términos consecutivos, el mismo procedimiento siempre.

Si se me ocurre trastocar el orden o agrupar términos, o cualquier otro cambalache, las sucesiones/series cambian, no son las mismas, y hay que proceder, para detectar las implicaciones, consultando las definiciones comunes básicas.

Lo que Feriva viene a demostrar es que las expresiones infinitas, las de los tres puntos al final, las intuitivas de como se comportan las sumas en el límite, no sirven pa ná.

Añadido un día después:

Notas

Opino que la mejor representación de una sucesión, válido para series, es dar la cota que alcanza cada término, como en cualquier función, pero indicando distinto el incremento, de cada término al siguiente, lo que indicaría la sucesión que la origina, de considerarla como serie.

Rizando el rizo, con teclas de ir adelante o atrás, podría ir visualizando la evolución de las sucesiones/series, asombrándome en muchos casos de compartir ancestros (primitivas en las primas integrales).

Las representaciones gráficas son esenciales, pero aplicadas a datos finitos y concretos, donde son válidas las analogías, las reglas de cálculo elementales.

Todas las sucesiones son representables, y las operaciones para obtener nuevas, de una forma u otra, porque tienen que estar bien definidas (hasta sus límites por amorfos que sean, con limitada notación).

Otra cuestión ajena, de la que se habla mucho, es del cálculo de límites, que para empezar todas las sucesiones tienen (razonables o nó), que como cálculo, para empezar, es como la regla del nueve, el bit de paridad, o si es par o impar en otros ámbitos, pero que no sustituye a la sucesión a todos los efectos (aunque lo parezca por la notación con los tres puntitos, el 666 del diablo).

A este fenómeno se le llama "límite indeterminado", cuando tengo que volver a calcular y no me es suficiente saber el límite o "paridad" de los componentes para obtener el valor, una perversión del lenguaje por la vagancia de volver a la lección primera. Así como par/par no se si es par o impar, dos sucesiones con límites decentes o no, al operarlas, pueden dar límite decente o no, y viceversa.