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Autor Tema: Esfera con dos agujeros homotópicamente equivalente a otra esfera  (Leído 1476 veces)
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lindtaylor
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« : 30 Agosto, 2018, 11:57 »

Sean p y q dos puntos distintos de [texx]S^n.[/texx] ¿Cómo se puede probar que [texx]S^n\setminus\left\{p,q\right\}[/texx] tiene el mismo tipo de homotopía con [texx]S^{n-1}?[/texx]

Me interesa ver el caso con n=2 para después intentar generalizar. No logro encontrar un par de funciones. Solo quiero alguna idea no la resolución del ejercicio.
Saludos
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borjag
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« Respuesta #1 : 30 Agosto, 2018, 15:38 »

Algo importante en estos casos es, ¿qué resultados puedes usar?. Usando teoría sobre retractos  se simplificaría MUCHO.

Solamente con la definición, y con n=2, lo que voy a hacer ya no es tan fácil de escribir explícitamente. Por pasos:


Usa un homeomorfismo para llevar la esfera menos dos puntos en la esfera menos dos puntos en la esfera menos el polo norte y el sur. Sería un rollazo desarrolarlo, la idea es usar los dos arcos que une los dos puntos que quitas y cada arco "paralelo", llevándolos a los arcos adecuados en la esfera sin el polo norte y el sur.

Después, si llamamos N al polo norte y S al sur, usarías las funciones [texx] f:\mathbb{S}^2 \setminus \{N,S\} \longrightarrow \mathbb{S}^1[/texx]    y   [texx] 
 g: \mathbb{S}^1 \longrightarrow \mathbb{S}^2 \setminus \{N,S\} [/texx] donde:

[texx]f [/texx]resulta de "proyectar" un punto de la esfera sobre el ecuador. Si quieres, en [texx]R^3[/texx] le quitas la tercera componente, y después divides por su norma.
[texx]g[/texx] sería añadir una componente nula: a un par [texx](x,y)[/texx] lo llevas en [texx] (x,y,0)[/texx]

Una de las composiciones es la identidad, y la otra no es difícil ver que es homótopa a la identidad.

El caso general, sin usar funciones, usaría que [texx]\mathbb{S}^n \setminus \{ p,q\}[/texx] es homeomorfo a [texx]\mathbb{R}^n \setminus \{0\}[/texx], (rollazo escribirlo, mira a ver si encuentras algo ya hecho) y tienes un retracto al dividir por la norma.


Edito: Creo que lo hice demasiado difícil. Quizás más sencillo es no pasar por [texx]\mathbb{R}^n[/texx] y generalizar el primer proceso que di. Toma un eje por los dos puntos que quitas y generaliza la "proyección" sobre un hiperplano ortogonal (esto no sé si es fácil o no de escribir).
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 30 Agosto, 2018, 17:40 »

No es tan difícil escribir explícitamente una homotopía que, a cada punto de una esfera distinto del polo norte o del polo sur, lo lleve hasta el ecuador de forma continua a través de su meridiano.
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lindtaylor
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« Respuesta #3 : 31 Agosto, 2018, 02:15 »

si, eso mismo me aconsejaron.

La idea como dices es: [texx]S^n\setminus{p,q}[/texx] "se parece " a [texx]\mathbb{R}^2\setminus\left\{(0,0)\right\}[/texx]  y ésta última "se parece " a  [texx] S^{n-1}[/texx] Por transitividad, [texx] S^n\setminus{p,q}[/texx] "se parece" a [texx] S^{n-1}[/texx]
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lindtaylor
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« Respuesta #4 : 31 Agosto, 2018, 20:51 »

Una consulta.

Me gustaría trabajar en vez de p y q con N y S el polo norte y sur de la esfera.
¿Cómo puedo definir un homeomorfismo entre S^n sin p,q con S^n sin N,S?
Pensé que f(p)=N y f(q)=S y f(x)=x para todo x distinto de p y q pero no sé si esta función es un homeomorfismo...
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #5 : 01 Septiembre, 2018, 06:03 »

Me gustaría trabajar en vez de p y q con N y S el polo norte y sur de la esfera.
¿Cómo puedo definir un homeomorfismo entre S^n sin p,q con S^n sin N,S?
Pensé que f(p)=N y f(q)=S y f(x)=x para todo x distinto de p y q pero no sé si esta función es un homeomorfismo...

Esa función ni siquiera es biyectiva.

Un giro elegido adecuadamente es un homeomorfismo que transforma el punto [texx]p[/texx] en [texx]N[/texx], y el punto [texx]q[/texx] en otro punto [texx]q'\neq N[/texx]. Sólo falta probar que existe otro homeomorfismo que deja fijo a [texx]N[/texx] y que transforma [texx]q'[/texx] en [texx]S[/texx]. Al componer los dos, tienes el homeomorfismo que buscas.

Para probar su existencia, considera la proyección estereográfica, que determina un homeomorfismo entre la esfera y la compactificación de [texx]\mathbb R^2[/texx] con un punto infinito, de modo que [texx]N[/texx] y [texx]S[/texx] se corresponden con [texx]\infty[/texx] y [texx]0[/texx], respectivamente. Todo se reduce a probar que existe un homeomorfismo de la compactificación en sí misma que fija a [texx]\infty[/texx] y transforma un punto [texx]q'\in \mathbb R^2[/texx] prefijado en [texx]0[/texx]. Basta considerar [texx]x\mapsto x-q'[/texx], que es un homeomorfismo de [texx]\mathbb R^2[/texx] en sí mismo y se extiende a un homeomorfismo en la compactificación que fija a [texx]\infty[/texx].
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