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Autor Tema: Recta tangente a una circunstancia  (Leído 2815 veces)
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YeffGC
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« : 28/08/2018, 11:03:53 pm »

Sea C el círculo [texx]\{Z:|z-c|=r\}, r>0[/texx] sea [texx] a=c+ rcis \alpha[/texx] y ponemos
[texx] L_{\beta}=\{Z:Im(\displaystyle\frac{z-a}{b})=0\}[/texx] donde [texx]b=cis\beta[/texx] Hallar condición necesaria y suficiente en términos [texx]\beta[/texx]  tal que [texx]L_{\beta}[/texx] sea tangente a c en [texx]\alpha[/texx]

El problema que he tenido acá es que llegue a [texx] cis\beta=-\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha}[/texx] como respuesta pero me dice el doctor que debo llevar a un valor real o complejo podrían ayudarme otra forma de hacerlo que no sea tomando una función [texx]f(x)=\sqrt{r^2-(x-c_1)^2}+c_2[/texx]
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YeffGC
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« Respuesta #1 : 02/09/2018, 03:03:43 pm »

Aún no me sale
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martiniano
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« Respuesta #2 : 02/09/2018, 03:32:35 pm »

Hola buenas.

Yo es que no entiendo qué significa cis.

Saludos.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 02/09/2018, 03:56:16 pm »

Tienes que [texx] cis x = cos(x) + i \sen(x) [/texx]
Lo acabo de buscar:.
cis x
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hméndez
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« Respuesta #4 : 03/09/2018, 02:28:44 am »

Sea C el círculo [texx]\{Z:|z-c|=r\}, r>0[/texx] sea [texx] a=c+ rcis \alpha[/texx] y ponemos
[texx] L_{\beta}=\{Z:Im(\displaystyle\frac{z-a}{b})=0\}[/texx] donde [texx]b=cis\beta[/texx] Hallar condición necesaria y suficiente en términos [texx]\beta[/texx]  tal que [texx]L_{\beta}[/texx] sea tangente a c en [texx]\alpha[/texx]

El problema que he tenido acá es que llegue a [texx] cis\beta=-\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha}[/texx] como respuesta pero me dice el doctor que debo llevar a un valor real o complejo podrían ayudarme otra forma de hacerlo que no sea tomando una función [texx]f(x)=\sqrt{r^2-(x-c_1)^2}+c_2[/texx]

Veamos:

Trabajando con parámetros reales, podemos escribir:
[texx]Im\left(\displaystyle\frac{x+ yi-c_{1}-c_{2}i-r(\cos(\alpha)+i\;\sin(\alpha))}{\cos( \beta)+i\;sin( \beta)}\right)=0[/texx]

Que equivale a:

[texx]-x\sin(\beta)+y\cos(\beta)-r\sin(\alpha-\beta)+c_{1}\sin(\beta)-c_{2}\cos(\beta)=0[/texx] (ecuación de una recta)

De la condición de tangencia entre la recta y la circunferencia C, la distancia de esta (la recta) a el centro [texx](c_{1}, c_{2})[/texx] debe
ser igual a el radio [texx]r[/texx] de C.

Tenemos:

[texx]\displaystyle\frac{\left |{-c_{1}\sin(\beta)+c_{2}\cos(\beta)-r\sin(\alpha-\beta)+c_{1}\sin(\beta)-c_{2}\cos(\beta)}\right |}{\sqrt[ ]{\sin(\beta)^2+\cos(\beta)^2}}=r[/texx]  (fórmula de la distancia entre una recta y un punto del plano)

[texx]\left |{sin(\alpha-\beta)}\right |=1[/texx]

[texx]\alpha-\beta=\pm\pi/2[/texx]

Saludos
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martiniano
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« Respuesta #5 : 03/09/2018, 03:00:53 am »

Hola. Estoy de acuerdo con la solución que propone hméndez.

Tienes que [texx] cis x = cos(x) + i \sen(x) [/texx]

Gracias. No tenía ni idea.

El problema que he tenido acá es que llegue a [texx] cis\beta=-\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha}[/texx] como respuesta pero me dice el doctor que debo llevar a un valor real o complejo

La verdad es que no entiendo muy bien qué quieres decir con eso, ¿es que el parámetro [texx]\beta [/texx] puede tomar valores complejos?. Yo estoy de acuerdo con hméndez en que [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] deben de ser números reales. Así el punto [texx]a[/texx] representa un punto de la circunferencia y [texx]L_\beta[/texx] sería una recta que pasa por dicho punto. No creo que sirva para nada asignar valores complejos a [texx]\alpha[/texx] o a [texx]\beta[/texx], pero por si es eso lo que te piden sólo debes substituir [texx]\alpha=Re(\alpha)+i\,Im(\alpha)[/texx] y [texx]\beta=Re(\beta)+i\,Im(\beta)[/texx] y luego imponer la condición que te dice hméndez.

Saludos.
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