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Autor Tema: Derivada fraccional (video)  (Leído 1966 veces)
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manooooh
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« : 28/08/2018, 09:27:00 pm »

Más claro echale agua... Video en inglés donde se explica qué es la derivada fraccionada, cómo se deduce y a lo último un ejemplo: hallar la derivada media de [texx]x[/texx]. Muy interesante, no sabía que las matemáticas tenían un costado particionado, el llamado cálculo fraccional.

Saludos :sonrisa:
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« Respuesta #1 : 29/08/2018, 04:17:46 am »

Sí, muy interesante. Esa rama del cálculo se llama cálculo fraccional:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Hay muchos tipos de derivadas e integrales fraccionales, y cada cierto tiempo se inventa alguna nueva. Es un tema sumamente interesante donde la función gamma suele tener un papel central.

Sin embargo ninguna de estas cosas suele tener sentido geométrico.
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feriva
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« Respuesta #2 : 29/08/2018, 07:07:17 am »


Saludos :sonrisa:

¿Eso es una alusión? :cara_de_queso:

Pues no tenía ni idea, nunca había pensado en un concepto como el de “derivada semisucesiva”, por ejemplo (átame esa mosca por el rabo).
Sí que me dio por pensar (y puse algunos hilos en el foro) sobre las medias veces, tres cuartos de veces... fracciones de veces en general, lo cual lleva a una noción antiintuitiva  del concepto “vez” en algunos casos. Y, pensando en eso, traté de inventar algo para dar sentido “visual” a cosas como [texx] a^{\frac{1}{2}}[/texx].

Porque si esto [texx]a^{n} [/texx] es “a” multiplicado un número entero de veces, esto otro [texx] a^{\frac{1}{2}}[/texx] será “a” multiplicado media vez, y a ver quién es el guapo que visualiza qué es multiplicar “media vez” un número.

Dado que el conjunto de los naturales se distingue principalmente porque todos sus números consecutivos están a una distancia constante, que es 1, se puede tomar un conjunto cuyos números estén a una distancia constante de una fracción, de un ½ por ejemplo, lo cual no sería más que esto:

[texx]\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{2},\dfrac{3}{2}...\dfrac{n}{2} [/texx]

El problema es que, al intentar trabajar con “medio naturales”, el elemento neutro del producto tendrá que ser un medio, tal que [texx]\dfrac{1}{2}\cdot k=k[/texx]. Y no aparece ninguna idea nueva; es como cambiar de unidad en física, si tomamos centímetros respecto de metros, lo que hacemos es trabajar con esto

[texx]\dfrac{1}{100},\dfrac{2}{100},\dfrac{3}{100}...\dfrac{n}{100}
 [/texx]

con lo que [texx]\dfrac{1}{100}=1cm [/texx], podemos trabajar con el neutro 1 y luego convertir la unidad.

Así que con eso no logré obtener una visualización de lo que era multiplicar un número “media vez”, no servía para nada.

Sin embargo, existe esto [texx]a^{\frac{1}{2}}[/texx] y sabemos calcularlo, aunque no sepamos en realidad muy bien qué es (dejando fuera interpretaciones no puramente numéricas, como la geométrica).

Por lo que he mirado por ahí en páginas (el inglés hablado lo entiendo poquísimo) aquí el concepto tampoco se visualiza, pero sí se puede concebir la cuenta y operarla.
Por lo visto, la idea se le ocurrió por primera vez a  L'Hôpital, que  escribió el primer tratado completo de cálculo diferencial. Entonces, él se la comentó a Leibniz, preguntándole que qué pasaría si se consideraba la derivada de orden “n”, siendo “n” un medio. Leibniz le contestó “ah, sí, sí, una paradoja muy interesante, seguro que en el futuro sirve para algo” (y después fue a avisar al manicomio, aunque esto me lo imagino yo, no lo cuenta la historia). Pero, sí, al día de hoy eso, según dicen, tiene aplicaciones útiles, se usa en modelos para estudiar la deformación de materiales y el estudio de la propagación de la radiación del sol y cómo influye en los planetas.

Pero a mí, como no soy ingeniero ni científico, sino un curioso, un metiche en esto de las matemáticas, lo que me gustaría es asociar una “imagen” a ese concepto de las fracciones de veces, visualizarlo; y también poder hacérselo ver a los demás, poder explicarlo.

Saludos (saludos en negro hoy; :cara_de_queso: )
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« Respuesta #3 : 29/08/2018, 09:32:15 pm »

Hola

Sí, muy interesante. Esa rama del cálculo se llama cálculo fraccional:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Hay muchos tipos de derivadas e integrales fraccionales, y cada cierto tiempo se inventa alguna nueva. Es un tema sumamente interesante donde la función gamma suele tener un papel central.

Totalmente, no pensé que iba a intervenir semejante función en algo que a primera vista uno pensaría "pues la media derivada de [texx]x[/texx] sería agregando una fracción tal que derivando de nuevo genera la primera derivada" o algo así, pero es mucho más que eso. Incluso aparece [texx]\pi[/texx], ¡increíble!

Sin embargo ninguna de estas cosas suele tener sentido geométrico.

Pues, no me desanimo por ello. No creo que alguna vez lo tenga pero si hay teorías y teoremas detrás de ello es porque significa algo; alguna aplicación tiene, por más que para alguien como nosotros no podamos visualizarlo.

Un saludo
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« Respuesta #4 : 29/08/2018, 09:45:10 pm »

Hola


Saludos :sonrisa:

¿Eso es una alusión? :cara_de_queso:

:rodando_los_ojos:

Sí que me dio por pensar (y puse algunos hilos en el foro) sobre las medias veces, tres cuartos de veces... fracciones de veces en general, lo cual lleva a una noción antiintuitiva  del concepto “vez” en algunos casos. Y, pensando en eso, traté de inventar algo para dar sentido “visual” a cosas como [texx] a^{\frac{1}{2}}[/texx].

¿Escribiste algo sobre esto en el foro que no me haya dado cuenta? ¡Lo quiero ver!

Porque si esto [texx]a^{n} [/texx] es “a” multiplicado un número entero de veces, esto otro [texx] a^{\frac{1}{2}}[/texx] será “a” multiplicado media vez, y a ver quién es el guapo que visualiza qué es multiplicar “media vez” un número.

Es que no creo que "todo" del Cálculo se pueda interpretar geométricamente; por ejemplo, nunca me mostraron visualmente una ecuación diferencial ordinaria de orden mayor que uno, y no está mal tampoco. Hoy leí un libro sobre Weierstrass (esos que alguna vez publiqué acá, no sé si te acordarás) y decía que en la antigüedad las pruebas y los teoremas se realizaban utilizando recursos geométricos, cuando pasado el tiempo más de una vez eso ha llevado a contradicciones/paradojas. Entonces digo, si avanzamos por mantener la formalidad en un sentido puramente lógico y casi poco visual, ¿por qué deberíamos hacerlo con las derivadas fraccionadas? ¿Para aprendizaje? Mmm, si los chicos de hoy salen del secundario sin haber visto una derivada no me parece motivo para darle un sentido geométrico, y para los mayores como nosotros (bueno eh que yo me hago el mayor pero soy un pez en el agua) no creo que nos sirva mucho.

Me imagino a alguien tratando de ver un hipercubo en [texx]4[/texx] dimensiones. Yo creo que si lo logra más que una anécdota sería un problema para el que lo vio, por estar chiflado... :risa:.

Por lo visto, la idea se le ocurrió por primera vez a  L'Hôpital, que  escribió el primer tratado completo de cálculo diferencial. Entonces, él se la comentó a Leibniz, preguntándole que qué pasaría si se consideraba la derivada de orden “n”, siendo “n” un medio. Leibniz le contestó “ah, sí, sí, una paradoja muy interesante, seguro que en el futuro sirve para algo” (y después fue a avisar al manicomio, aunque esto me lo imagino yo, no lo cuenta la historia). Pero, sí, al día de hoy eso, según dicen, tiene aplicaciones útiles, se usa en modelos para estudiar la deformación de materiales y el estudio de la propagación de la radiación del sol y cómo influye en los planetas.

¡Qué bueno! Me fascina que aun hoy haya cosas que se sigan investigando de los matemáticos de aquellos siglos...

Saludos (saludos en negro hoy; :cara_de_queso: )

Nooo, ¿qué ocurrió? :triste:. Una sonrisa siempre :risa:

Saludos
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« Respuesta #5 : 30/08/2018, 06:32:20 am »


¿Escribiste algo sobre esto en el foro que no me haya dado cuenta? ¡Lo quiero ver!

Sí, pero no sé dónde andará. No obstante, no es más que lo que te había dicho, dando vueltas tontas hasta darme cuenta de que no era más que un tema de conversión de unidades.

Cita
Es que no creo que "todo" del Cálculo se pueda interpretar geométricamente; por ejemplo, nunca me mostraron visualmente una ecuación diferencial ordinaria de orden mayor que uno, y no está mal tampoco. Hoy leí un libro sobre Weierstrass (esos que alguna vez publiqué acá, no sé si te acordarás) y decía que en la antigüedad las pruebas y los teoremas se realizaban utilizando recursos geométricos, cuando pasado el tiempo más de una vez eso ha llevado a contradicciones/paradojas. Entonces digo, si avanzamos por mantener la formalidad en un sentido puramente lógico y casi poco visual, ¿por qué deberíamos hacerlo con las derivadas fraccionadas? ¿Para aprendizaje? Mmm, si los chicos de hoy salen del secundario sin haber visto una derivada no me parece motivo para darle un sentido geométrico, y para los mayores como nosotros (bueno eh que yo me hago el mayor pero soy un pez en el agua) no creo que nos sirva mucho.

Me imagino a alguien tratando de ver un hipercubo en [texx]4[/texx] dimensiones. Yo creo que si lo logra más que una anécdota sería un problema para el que lo vio, por estar chiflado... :risa:.


Claro, yo no digo que se pueda ver todo, llegamos a ver tres dimensiones y ya está; ¿hay más realmente? Lo del espacio-tiempo como un cuarto vector perpendicular es un modelo matemático; las ecuaciones parecen útiles para sacar conclusiones y predecir algunas cosas, pero nadie lo ha visto ni creo que nadie lo vea alguna vez (aunque a saber...)

Sin embargo, a mí no se me quitan las ganas de intentar interpretar mediante analogías las cosas que no no tiene sentido “visual” para nosotros.

Hace ya 18 ó 19 años, me dio por meterme en la carrera de físicas (con cuarenta años) porque tenía un modelo en mente. Había leído libros de divulgación sobre física, astronomía... desde tiempo atrás de eso; y todo ese tiempo anduve pensando sobre algunos temas.

Sabía tan poco como ahora de física y, cuando uno no tiene información suficiente, se plantea ideas que no son viables o que necesitarían muchas matizaciones para que congeniaran con lo experimentado hasta ahora. Lo que me planteé principalmente (la idea me vino de repente poco tiempo después de haber leído “Historia del Tiempo” de Hawking) fue que la materia del Universo se podría estar expandiendo junto con el espacio proporcionalmente. Así, sería como un sistema inercial donde tal cosa no se apreciaría; imagina la misma razón de homotecia (con el mismo valor) para todos los planetas, estrellas... para las propias personas que observan, par todo lo lo material. De está forma, por semejanza, todo se va haciendo “más grande”, pero nadie puede notarlo al estar sometido a la misma razón de homotecia que lo demás. Si la Tierra se expande y el observador también lo hace al mismo tiempo (y todos los objetos visibles del espacio) la sensación será de reposo.

Así que, ya metido en la UNED, empecé a considerar el vector de la gravedad en sentido contrario, de dentro afuera, “empujando” hacia la superficie y expandiendo la tierra.

Por otro lado, a partir de ahí, se me ocurrió pensar en por qué las cosas se ven más pequeñas en la medida que están más lejos. Yo ya conocía la explicación óptica básica (la había estudiado en el libro de física general, ya estaba en la UNED) pero no me pareció contradictoria con lo que se me ocurrió. La explicación óptica cuenta con el globo ocular, su radio medio (para las personas comunes) la retina como pantalla donde se proyecta la imagen y la distancia a la que está la imagen; y para calcular el tamaño aparente usamos el teorema de Tales (mientras el objeto no esté excesivamente lejos esto funciona más o menos bien).   

Pero yo pensé que, sin embargo, nosotros podemos observar objetas, (enteros, de forma completa) más grandes no sólo que nuestros ojos sino que nuestra propia cabeza, por ejemplo (ahora mismo estoy fijándome en un ventilador, y como no soy cabezón -sí cabezota- es más grande ). Así que, por tanto, había que contar con que el cerebro “agrandaba” la información recibida en la retina por alguna razón desconocida. Todo tiene que tener una explicación y, aunque en este caso el teorizar sobre ello parezca que escapa al campo de la física y se adentra más en al fisiología, todo es física al fin y al cabo.

Y me encajaba esto: los objetos, cuanto más lejanos, más tarda su luz en llegar, están más hacia el pasado, luego lo que estamos viendo pertenece a un Universo un poco menos expandido; y ésta podría ser una explicación de por qué vemos las cosas lejanas más pequeñas.

Pero, para que eso fuera así, la propia velocidad de la luz tendría que ser la velocidad de expansión; la velocidad igual para todo y relacionada con esa razón de homotecia universal (y yo sabía que la velocidad de expansión estimada era mucho más baja a partir de la constante de Hubble y los cálculos “actuales” de ese entonces que digo, en torno al año 2000, arriba o abajo).

Me centré en la gravedad, en la dinámica, en las cosas que más me interesaban para esto... y me descentré un tanto del resto de temas, electricidad, electromagnetismo... El resultado fue por una parte malo (suspendí el primer parcial de física; por medio punto, pero lo suspendí) y por otra bueno: me lié a buscar esa relación de la velocidad de la luz con la gravedad, con las distancias del Sol a los planetas, los tamaños aparentes de éstos... muchas cosas. Esa búsqueda me hizo practicar mucho el álgebra y llegué a tener una modesta habilidad usándola (por eso no me ocurrió como con la física general, el álgebra la aprobé, el Álgebra I y el Álgebra II; más relacionada esta última con la geometría: matrices de Jordan, movimientos, homotecias, semejanzas...)

Llené veinte cuadernos de numeritos y letras, borré los números, literalmente, de las teclas de la calculadora de tanto usarla (no tenía internet ni un ordenador moderno entonces). Pero nunca encontré la relación que se ajustara a los datos (las constantes involucradas, los datos planetarios del sistema solar... que en su día me supe de memoria de tanto usarlos...)

Sin embargo, todo sirve para algo; esa idea me sirvió para visualizar que un segmento, (finito, claro) pueda tener infinitos puntos según ese modelo; basta que el segmento y su observador se expandan según la misma razón de homotecia. No obstante, la idea no se puede aplicar a la matemática pura, porque tenemos que introducir también la idea de tiempo.

Y eso (aparte de que no podemos ver más dimensiones y otras aspectos así) es una de las más típicas cosas que nadie logra visualizar con un ejemplo, que un segmento pueda tener infinitos “puntos”, o, digamos, trozos, siendo el segmento finito.

No sigo contando mi vida porque tendrás otras cosas que hacer, que si no... :cara_de_queso: (perdona el rollo).

Lo de el “Saludos” en blanco y negro es que no me apetecía poner el código; y, además, para que tenga gracia tiene que sólo de vez en cuando :sonrisa:

Saludos.

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manooooh
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« Respuesta #6 : 30/08/2018, 11:33:28 pm »

Hola feriva

Hoy me levanté con un poco de fiebre así que todo me costó el doble, pero por suerte llegué a leer todo tu mensaje :sonrisa:.

Así que sos una especie de físico "frustrado"... :risa:. ¿Te decidiste a terminar la carrera alguna vez o ya la terminaste? Es muy interesante lo que decís, no conocía el concepto de homotecia.

¿Estas ideas tuyas no son las propias leyes de la " expansión acelerada del Universo"? Quizás cuando empezaste a elaborar tus ideas no estaba presente este fenómeno que ocurre desde la explosión del Big Bang. Realmente cúa do miramos al cielo estamos mirando al pasado; si viajásemos a la velocidad de la luz no habría "atrasos de minutos u horas", sino más bien de segundos si se tratan de distancias mayores a lo que la luz viaja en un segundo.

Tener borradas las teclas de la calculadora es un logro que pocos tienen :sonrisa:.

¿No podemos visualizar la infinitud de puntos de un segmento te referís? Pues yo sí puedo verlo, pero no la cuarta dimensión por ejemplo. Creo que no he entendido ahí.

Ok ok, nos saludamos como siempre y cambiamos cada tanto :risa:.

Saludos
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« Respuesta #7 : 31/08/2018, 04:56:23 am »

Cita
Hoy me levanté con un poco de fiebre así que todo me costó el doble, pero por suerte llegué a leer todo tu mensaje :sonrisa:

Vaya, lo siento, manooooh, espero que se te pase pronto. No te sientas obligado a leer nada (lo mío por lo menos) que no me enfado :sonrisa:

Cita
Así que sos una especie de físico "frustrado"... :cara_de_queso: . ¿Te decidiste a terminar la carrera alguna vez o ya la terminaste?

No, apenas la empecé nada más; cono mis despistes era un Calvario andar todo el rato repasando a ver en qué me equivocaba; quizá si entonces hubiera existido este foro y todo el material que hay en internet hubiera sido distinto.


Cita
Tener borradas las teclas de la calculadora es un logro que pocos tienen :sonrisa:

Borradas a trazos, no enteras :cara_de_queso: Como ahora mismo tengo la “E” (que ya está casi borrada del todo) o la “O” y alguna más del teclado del ordenador (que es mecánico, de los antiguos, no de membrana). Esa calculadora dejó de funcionar, era una Casio fx-82SX, barata. Me compré otra con gráficas, la fx8700G, que entonces era carísima. Pero era más grande e incómoda de manejar, además de que llevaba pilas de botón, también más caras, y se gastaban antes (todavía la tengo y ésta está nuevecita).

Cita
¿No podemos visualizar la infinitud de puntos de un segmento te referís? Pues yo sí puedo verlo, pero no la cuarta dimensión por ejemplo. Creo que no he entendido ahí.

Bueno, depende de qué se entienda por visualizar. Pon dos segmentos, de un centímetro y de un metro; ambos tiene la misma cantidad de puntos y diferente medida. Lo que te digo es una forma de justificar eso con un modelo físico.

Saludos, y espero que ya estés mejor.
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« Respuesta #8 : 31/08/2018, 07:50:04 pm »

Hola

Gracias feriva, hoy me siento mucho mejor :sonrisa:.

¡Qué bueno que hayas decidido empezar la carrera!

Las Casio han sido y serán las mejores calculadoras de todos los tiempos. Yo recuerdo que la mía la tengo desde la primaria y con liquid paper le escribí mi nombre para el que la llegase a encontrar sepa dónde podía hallarme y así entegármela. Siempre ha funcionado bien, aunque no la haya utilizado con tanta pasión como vos :risa:.

No sé cómo podés definir de otra manera "visualizar". Sabemos que hay distintos tipos de infinitos, y nos conformamos con ello. Creo que la clave está en entender lo mejor posible el infinito. En el caso que hoy nos toca hablar, las derivadas fraccionadas, pensar que una derivada puede ser interpretada en los racionales positivos y no simplemente naturales nos abre una posibilidad de "infinitas derivadas más" que las que nos enseñan en la escuela. Y esto es puramente infinitista, cosa que nos cuesta ver en la naturaleza.

Un saludo
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« Respuesta #9 : 12/09/2018, 01:09:38 pm »

Es un tópico en auge, he mirado la bibliografía que hay de esto en la librería génesis y en los últimos años han salido bastantes libros. Se ve que tiene muchas aplicaciones en ingeniería, economía y en física teórica también.
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