05/12/2019, 09:54:15 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Dada una relación definida en un conjunto hallar elementos característicos  (Leído 1340 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.432


Ver Perfil
« : 20/08/2018, 03:25:44 am »

Hola!

Dada la relación [texx]R[/texx] definida en [texx]\mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{x\mid z}\wedge{y\leq t}[/texx] halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto [texx]B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\}[/texx].



Mi respuesta:

Supondremos que la relación [texx]R[/texx] es de orden, o sea cumple con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. En particular, el sistema [texx](\mathbb N\times\mathbb N,R)[/texx] es ordenado y [texx]\varnothing\neq B\subset\mathbb N\times\mathbb N[/texx].
   
Sean [texx]a,b,c,d[/texx] elementos de [texx]\mathbb N\times\mathbb N[/texx].

[texx]a[/texx] es cota superior de [texx]B[/texx] si y sólo si para todo [texx]x\in B[/texx] cumple [texx]xRa[/texx].

[texx]b[/texx] es cota inferior de [texx]B[/texx] si y sólo si para todo [texx]x\in B[/texx] cumple [texx]bRx[/texx].

[texx]c[/texx] es supremo de [texx]B[/texx] si y sólo si es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.

[texx]d[/texx] es ínfimo de [texx]B[/texx] si y sólo si es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Veamos a través del diagrama de Hasse cómo están ordenados estos elementos:


No hay cotas superiores pues todos los elementos de [texx]B[/texx] cumplen [texx]x\not Ra[/texx], luego tampoco hay supremo. La única cota inferior es el par [texx](5,2)[/texx], que también resulta ser el ínfimo pues también es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.



¿Es correcto tanto los resultados como las justificaciones?

Gracias!
Saludos

* HasseDeB.jpg (7.64 KB - descargado 140 veces.)
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 934


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 20/08/2018, 06:29:24 am »

Hola. Creo que tienes un error en el enunciado:

Dada la relación [texx]R[/texx] definida en [texx]\mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{\color{red}x\leq{} z}\wedge{y\leq t}[/texx] halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto [texx]B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\}[/texx].

¿Verdad?

No hay cotas superiores pues todos los elementos de [texx]B[/texx] cumplen [texx]x\not Ra[/texx], luego tampoco hay supremo. La única cota inferior es el par [texx](5,2)[/texx], que también resulta ser el ínfimo pues también es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.

Si no me equivoco las cotas superiores son [texx]\{(a,b)\in{\mathbb{N\times{N}}\;:\;15\leq{a}\wedge{}5\leq{b}}[/texx]. El supremo es el mínimo de todas ellas, es decir, [texx](15,5)[/texx], que como pertenece a B también es máximo.

Para las cotas inferiores ocurre parecido...

Fíjate que tanto las cotas inferiores como superiores no tienen por qué estar en [texx]B[/texx]. El supremo y el ínfimo tampoco, si están, como es el caso, entonces son el máximo y mínimo respectivamente.

Saludos.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.432


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 20/08/2018, 05:44:55 pm »

Hola

Creo que tienes un error en el enunciado:

Dada la relación [texx]R[/texx] definida en [texx]\mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{\color{red}x\leq{} z}\wedge{y\leq t}[/texx] halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto [texx]B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\}[/texx].

¿Verdad?

Nono, es así. Los dos primeros elementos de los dos pares están ordenados por la divisibilidad y los segundos por un orden (uno menor a otro).

No quise escribirlo (también me parece extraña la relación) pero hubiera preguntado si ésta recibía algún nombre especial :lengua_afuera:.

¿Cambia en algo tu respuesta?

Saludos
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 934


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 21/08/2018, 10:22:09 am »

Hola.

Creo que tienes un error en el enunciado:

Dada la relación [texx]R[/texx] definida en [texx]\mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{\color{red}x\leq{} z}\wedge{y\leq t}[/texx] halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto [texx]B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\}[/texx].

¿Verdad?

Nono, es así. Los dos primeros elementos de los dos pares están ordenados por la divisibilidad y los segundos por un orden (uno menor a otro).

No quise escribirlo (también me parece extraña la relación) pero hubiera preguntado si ésta recibía algún nombre especial :lengua_afuera:.

¿Cambia en algo tu respuesta?

Claro, claro, que torpe estoy... Mira que no caer en que con [texx]|[/texx] querías decir "divide a"...

Sí, así la cosa cambia, pero igualmente diría que hay muchas cotas tanto inferiores como superiores:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.432


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 21/08/2018, 01:34:29 pm »

Hola

Sí, así la cosa cambia, pero igualmente diría que hay muchas cotas tanto inferiores como superiores:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Claro... las cotas siempre se tienen que mirar en el conjunto "grande", que es [texx]\mathbb N^2[/texx] ordenado por la relación [texx]R[/texx].

Aquí:

[texx]mcm(5,10,15=030[/texx]

debería decir [texx]mcm(5,10,15)=30[/texx] si es que entendí bien.

Muchas gracias! :sonrisa:
Saludos
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 934


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 21/08/2018, 02:11:10 pm »

Hola

debería decir [texx]mcm(5,10,15)=30[/texx] si es que entendí bien.

Sí, esto pasa por no "repasar" :sonrisa:

Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!