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Autor Tema: Dar una fórmula explícita  (Leído 3130 veces)
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cristianoceli
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« : 14/08/2018, 23:20:10 »

Hola tengo dificultades con este ejercicio, no se me ocurre qué hacer

Sea [texx]\varepsilon[/texx] la proyección estereográfica de [texx]\mathbb{S}^1- \{i \}[/texx], o sea

[texx]\varepsilon : \mathbb{S}^1 - \{i \} \longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]

donde

[texx]\varepsilon(z)=\displaystyle\frac{RE(z)}{1-Im(z)}[/texx]

Dar una fórmula explícita para [texx]\varepsilon^{-1} :\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{S}^1}- \{i \} [/texx]

De antemano gracias.

Saludos
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 15/08/2018, 12:54:44 »

Hola,

Para hallar [texx]\varepsilon[/texx] tomas un complejo [texx]z=x+iy[/texx] en [texx]\mathbf S^1\setminus\{i\}[/texx] y lo piensas como punto en [texx]\mathbf R^2[/texx], o sea, [texx](x,y)[/texx]. Ahora tomas el complejo [texx]i[/texx], que corresponde a [texx](0,1)[/texx] y hallas la recta que pasa por esos dos puntos:

[texx](0,1)+t((x,y)-(0,1))=(tx,1+t(y-1))[/texx] con [texx]t\in \mathbf R[/texx].

Averiguas cuándo esa recta pasa por el eje real, es decir, cuándo la segunda coordenada es [texx]0[/texx].

Esto ocurre cuando [texx]t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y}[/texx].

Evalúas ese valor de [texx]t[/texx] para ver qué punto de [texx]\mathbf R[/texx] obtienes y llegas a [texx]\left( \dfrac{x}{1-y},0\right)[/texx], que corresponde a [texx]\dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)}[/texx].

Para hallar [texx]\varepsilon^{-1}[/texx] haces el proceso inverso.
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cristianoceli
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« Respuesta #2 : 15/08/2018, 21:21:34 »


Hola, muchas gracias por tu respuesta.

Tengo algunas dudas



Como encuentro el valor de [texx]t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y}[/texx]. y lo otro para encontrar [texx]\varepsilon^{-1}[/texx] basta hacer el proceso inverso. Eso quiere decir que ¿basta con devolverse? es decir, partir que:

[texx]\left( \dfrac{x}{1-y},0\right)[/texx], que corresponde a [texx]\dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)}[/texx]

y llegaríamos finalmente a [texx](t_x,1+t(y-1))[/texx] ?

Saludos

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Gustavo
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« Respuesta #3 : 16/08/2018, 12:16:10 »

Hola,

Como encuentro el valor de [texx]t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y}[/texx].

Lo dije en mi anterior respuesta:

Averiguas cuándo esa recta pasa por el eje real, es decir, cuándo la segunda coordenada es [texx]0[/texx].

y lo otro para encontrar [texx]\varepsilon^{-1}[/texx] basta hacer el proceso inverso. Eso quiere decir que ¿basta con devolverse? es decir, partir que:

[texx]\left( \dfrac{x}{1-y},0\right)[/texx], que corresponde a [texx]\dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)}[/texx]

y llegaríamos finalmente a [texx](t_x,1+t(y-1))[/texx] ?

No. Si para hallar [texx]\varepsilon[/texx] tomamos la recta que pasa por [texx]i[/texx] y [texx]z[/texx] para ver dónde interseca el eje real, el proceso inverso es tomar la recta que pasa por [texx]i[/texx] y un punto en el eje real para ver dónde interseca el círculo.
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« Respuesta #4 : 16/08/2018, 16:44:06 »

Hola,

Como encuentro el valor de [texx]t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y}[/texx].

Lo dije en mi anterior respuesta:

Averiguas cuándo esa recta pasa por el eje real, es decir, cuándo la segunda coordenada es [texx]0[/texx].

y lo otro para encontrar [texx]\varepsilon^{-1}[/texx] basta hacer el proceso inverso. Eso quiere decir que ¿basta con devolverse? es decir, partir que:

[texx]\left( \dfrac{x}{1-y},0\right)[/texx], que corresponde a [texx]\dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)}[/texx]

y llegaríamos finalmente a [texx](t_x,1+t(y-1))[/texx] ?

No. Si para hallar [texx]\varepsilon[/texx] tomamos la recta que pasa por [texx]i[/texx] y [texx]z[/texx] para ver dónde interseca el eje real, el proceso inverso es tomar la recta que pasa por [texx]i[/texx] y un punto en el eje real para ver dónde interseca el círculo.

Ok entiendo.

Saludos
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« Respuesta #5 : 17/08/2018, 22:50:36 »

Lo que he intentado:



Sea [texx]kz[/texx] la recta que pasa por [texx]i[/texx] y por [texx]z[/texx]

Luego [texx]m_{kz} = \displaystyle\frac{0-Im(z)}{c-RE(z)} =\displaystyle\frac{Im(z)}{Re(z)-c}[/texx]

Por lo tanto la ecuaación es

[texx]y= \displaystyle\frac{Im(z)}{Re(z)-c} x +i[/texx]

Entonces esto [texx]y= \displaystyle\frac{Im(z)}{Re(z)-c} x +i[/texx] seria la inversa de ser asi no entiendo por que el dominio es [texx]\mathbb{R}[/texx] y el codominio [texx]\mathbb{S} - \{i \}[/texx]

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« Respuesta #6 : 18/08/2018, 15:03:37 »

Hola,

No está bien. Partes con un punto en el eje real y con el complejo [texx]i[/texx]. Eso corresponde a los puntos [texx](c,0)[/texx] y [texx](0,1)[/texx] en [texx]\mathbf R^2[/texx]. Hallas luego una ecuación para la recta que pasa por esos dos puntos. Esa recta interseca al círculo unitario en dos puntos: uno ya lo conocemos que es [texx](0,1)[/texx], el otro es el que debemos buscar, que puedes llamar [texx](x,y)[/texx]. Debes hallar a [texx]x[/texx] y a [texx]y[/texx] en términos de [texx]c[/texx].

No es claro de tu figura dónde tomas [texx]z[/texx].
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« Respuesta #7 : 18/08/2018, 15:43:15 »

Hola,

No está bien. Partes con un punto en el eje real y con el complejo [texx]i[/texx]. Eso corresponde a los puntos [texx](c,0)[/texx] y [texx](0,1)[/texx] en [texx]\mathbf R^2[/texx]. Hallas luego una ecuación para la recta que pasa por esos dos puntos. Esa recta interseca al círculo unitario en dos puntos: uno ya lo conocemos que es [texx](0,1)[/texx], el otro es el que debemos buscar, que puedes llamar [texx](x,y)[/texx]. Debes hallar a [texx]x[/texx] y a [texx]y[/texx] en términos de [texx]c[/texx].

No es claro de tu figura dónde tomas [texx]z[/texx].

Bien ya entiendo debemos resolver el sistema


Saludos y muchas gracias
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