17/02/2019, 03:44:50 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Dudas sobre una igualdad y un sumatorio  (Leído 4287 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
MaKiNeKT
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 24


Ver Perfil
« : 24/08/2018, 12:11:45 am »

Hola buenas, estaba leyendo un libro que necesito para hacer un trabajo y esperaba que me pudierais solucionar 2 dudas.

1) Sé que no hay un contexto, pero no entiendo qué significa lo que hay debajo de este sumatorio:

[texx]\displaystyle\sum_{j:j\neq{i}}{A_{ij}}[/texx]

2) Y si alguien me pudiera confirmar que esta igualdad es cierta, le agradecería mucho:
[texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}=\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}[/texx]  donde i=1,...,N

Gracias de antemano!
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 1.822


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 24/08/2018, 12:29:55 am »

Hola

En primer lugar notá que las letras [texx]i[/texx] y [texx]j[/texx] son índices; recorren toda una secuencia de "cosas" (matrices, sumatorias, etc.). Un índice [texx]i[/texx] tiene asociado un conjunto de índices, llamémosle [texx]I[/texx], que no es más que el conjunto de los naturales [texx]\mathbb N[/texx] (itero la primera vez, luego otra vez, otra, ...). Razonamiento análogo para el índice [texx]j[/texx].

1) Sé que no hay un contexto, pero no entiendo qué significa lo que hay debajo de este sumatorio:

[texx]\displaystyle\sum_{j:j\neq{i}}{A_{ij}}[/texx]

El [texx]j:[/texx] no entiendo muy bien para qué está, pero si aparece [texx]i\neq j[/texx] pensalo con números: ¿[texx]1\neq1[/texx]? ¿[texx]5\neq5[/texx]? ¿[texx]4\neq9[/texx]? Si [texx]A_{ij}[/texx] representa el elemento en la fila [texx]i[/texx] y columna [texx]j[/texx] de una matriz cualquiera (en matemática, computación) entonces la sumatoria [texx]\displaystyle\sum_{i\neq j}{A_{ij}}[/texx] significa la suma de todos los elementos que NO estén en la diagonal principal. O sea se estarían sumando [texx]A_{12},\;A_{13},\;A_{31},\;A_{79}[/texx], y así, pero NO [texx]A_{11},\;A_{22},\dotsc[/texx]

2) Y si alguien me pudiera confirmar que esta igualdad es cierta, le agradecería mucho:
[texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}=\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}[/texx]  donde i=1,...,N

Mmmm... me tiro a la pileta :risa:.

[texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}[/texx] significa simplemente el valor [texx]Q_{11}-Q_{11}[/texx] sumado [texx]N[/texx] veces. Pero [texx]Q_{11}-Q_{11}=0[/texx], así que estaríamos haciendo [texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{0}=\overbrace{0+\cdots+0}^{N\text{ veces}}=0[/texx]. Fijate que los índices siempre están fijos en el primer elemento de nuestro ejemplo la matriz (el que está en la primera fila y columna, restado consigo mismo porque [texx]i=1[/texx] y también [texx]j=1[/texx]).

En cambio, [texx]\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}[/texx] es distinto. ¿Ves por qué?

Saludos
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 649


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 24/08/2018, 03:47:47 am »

Hola.
2) Y si alguien me pudiera confirmar que esta igualdad es cierta, le agradecería mucho:
[texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}=\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}[/texx]  donde i=1,...,N

Estoy de acuerdo con manooooh en que el resultado de este sumatorio de cero, aunque no estoy de acuerdo en la explicación que ha dado él sobre esto. Al tener el sumatorio un superíndice (la [texx]N[/texx]), yo creo que nos están diciendo que tanto la [texx]i[/texx] como la [texx]j[/texx] varían de [texx]1[/texx] a [texx]N[/texx], es decir:

[texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}=\displaystyle\sum_{i=1}^N{\left(\displaystyle\sum_{j=1}^N{(Q_{ji}-Q_{ij})}\right)}[/texx]

También se pueden recorrer los índices al revés:

[texx]\displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}=\displaystyle\sum_{j=1}^N{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^N{(Q_{ji}-Q_{ij})}\right)}[/texx]

Lo que ocurre es que cada diferencia aparecerá dos veces, una en positivo y otra con el signo cambiado. Por ejemplo, habrá que sumar [texx]Q_{12}-Q_{21}[/texx] y luego en algún momento [texx]Q_{21}-Q_{12}[/texx]. Como podéis ver, al sumar todas las diferencias obtendremos un 0 redondo.

La notación de MaKiNeKT me parece correcta, aunque no es muy común.

Saludos.
En línea
MaKiNeKT
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 24


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 24/08/2018, 11:15:40 am »

Gracias por vuestras respuestas.
Resumiendo, entonces:

1) Que en un sumatorio debajo haya [texx]j:j\neq{i}[/texx] es lo mismo que simplemente [texx]j\neq{i}[/texx] ? Entonces no entiendo por qué lo han escrito así en el libro...

2) Cierto! La primera igualdad sería cero... La segunda, en cambio, es un conjunto N de sumatorios independientes (cuando i=1,2,...). ¿Es así?

[texx]\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{j1}-Q_{1j}}=(Q_{11}-Q_{11})+(Q_{21}-Q_{12})+...+(Q_{N1}-Q_{1N})[/texx] (i=1)
...
[texx]\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{jN}-Q_{Nj}}=(Q_{1N}-Q_{N1})+(Q_{2N}-Q_{N2})+...+(Q_{NN}-Q_{NN})[/texx] (i=N)

saludos
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 649


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 24/08/2018, 02:52:54 pm »

Sí. Y yo diría que también da 0. Fíjate por ejemplo en que el último término del primer sumatorio se anula con el primer término del último. Y eso pasa con todos los sumandos.

Saludos.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 1.822


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 24/08/2018, 03:26:06 pm »

Hola

1) Que en un sumatorio debajo haya [texx]j:j\neq{i}[/texx] es lo mismo que simplemente [texx]j\neq{i}[/texx] ? Entonces no entiendo por qué lo han escrito así en el libro...

Yo creo que sí, son estilos de notación. No veo que haya ninguna condición extra, sino que se traduce como "el índice [texx]j[/texx] tal que [texx]j\neq i[/texx]".

Sí. Y yo diría que también da 0. Fíjate por ejemplo en que el último término del primer sumatorio se anula con el primer término del último. Y eso pasa con todos los sumandos.

Después de un rato pensando concuerdo con martiniano. No tomes en cuenta mi mensaje:

En cambio, [texx]\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}[/texx] es distinto. ¿Ves por qué?

Saludos
En línea
hméndez
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 291


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 24/08/2018, 04:33:20 pm »

Sí. Y yo diría que también da 0. Fíjate por ejemplo en que el último término del primer sumatorio se anula con el primer término del último. Y eso pasa con todos los sumandos.

Saludos.

Hola  martiniano, disculpa pero creo que todavia no te has dado cuenta que mientras a la izquierda de la "igualdad" (en (2)) el resultado es 0  (de acuerdo contigo), a la derecha es un vector de N elementos cada uno de ellos resultado de una suma de N términos; bien lo dice  MaKiNeKT, en su respuesta anterior.

De manera que no le veo sentido allí al signo de igualdad.


Saludos

En línea
MaKiNeKT
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 24


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 24/08/2018, 04:41:10 pm »

¡Muchas gracias a ambos!
Con vuestras respuestas he intentado saber qué quiere hacer el autor con estas ecuaciones pero, sinceramente, no lo acabo de ver claro.
Sé que no está en un contexto determinado donde sabéis qué significa cada variable, pero aún así, si creéis poder entenderlo,  me gustaría que me lo compartieseis conmigo, puesto que son unas fórmulas determinantes para lo que estoy haciendo.

Entiendo que no tenga una respuesta al respecto, pero es que llevo mucho tiempo dándole al coco y nada..., y me siento un poco frustrado.

Lo dejo adjunto en una fotografía porque ahora mismo no tengo tiempo de reescribirlo.

* 123.PNG (169.34 KB - descargado 110 veces.)
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 649


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 24/08/2018, 05:21:22 pm »

Hola.

Hola  martiniano, disculpa pero creo que todavia no te has dado cuenta que mientras a la izquierda de la "igualdad" (en (2)) el resultado es 0  (de acuerdo contigo), a la derecha es un vector de N elementos cada uno de ellos resultado de una suma de N términos; bien lo dice  MaKiNeKT, en su respuesta anterior.

Cierto, hasta ahora no acababa de entenderos. Andaba confundido. Gracias.

Estoy plenamente de acuerdo con lo que exponéis.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!