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Autor Tema: Mostrar que a=b si y solo si |b−a|<ϵ para todo ϵ>0  (Leído 663 veces)
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lcdeoro
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« : 12/08/2018, 09:58:40 am »

Mostrar que [texx]a=b[/texx] si y solo si [texx]\left |{b-a}\right |<\epsilon[/texx] para todo [texx]\epsilon>0[/texx]

Una definición bastante conocida, pero no logro justificar de la manera correcta. alguna idea.
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 12/08/2018, 04:20:19 pm »

Hola.
Mostrar que [texx]a=b[/texx] si y solo si [texx]\left |{b-a}\right |<\epsilon[/texx] para todo [texx]\epsilon>0[/texx]

Una definición bastante conocida, pero no logro justificar de la manera correcta. alguna idea.
1) [texx]a=b\Rightarrow{}\left |{b-a}\right |<\epsilon[/texx] para todo [texx]\epsilon>0[/texx]

No es complicado: [texx]a=b\Leftrightarrow{}b-a=0\Rightarrow{}|b-a|=0<\epsilon>0[/texx]

2) [texx]\left |{b-a}\right |<\epsilon\Rightarrow{}a=b[/texx]

Prueba por reducción al absurdo, supón [texx]a\neq{}b[/texx], por ejemplo [texx]b-a>0[/texx] , toma [texx]\epsilon= \dfrac{b-a}2>0[/texx] entonces no se da la condición [texx]\left |{b-a}\right |<\epsilon , \, \,\forall{}\epsilon>0[/texx]

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
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