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Autor Tema: Cuestión sobre monotonía en un punto  (Leído 580 veces)
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Eparoh
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« : 10/08/2018, 09:06:03 pm »

Hola, tengo la siguiente definición de función creciente en un punto:

Sea [texx]f[/texx] una función definida en un intervalo [texx]I[/texx], diremos que [texx]f[/texx] es creciente en un punto interior [texx]x_0[/texx], de [texx]I[/texx], si existe un cierto [texx]\delta >0[/texx]  tal que [texx]f(x) \leq f(x_0)[/texx] si [texx]x \in (x_0-\delta, x_0)[/texx] y [texx]f(x_0) \leq{}f(x)[/texx] si [texx]x \in (x_0, x_0 +\delta)[/texx].

Ahora, es claro que si una función es creciente en un intervalo [texx]I[/texx] ([texx]f(y) \geq{} f(x)[/texx] para cada [texx]y, x \in I[/texx] tal que [texx]y \geq{}x[/texx]) entonces es creciente en cada uno de sus puntos con la definición anterior.
Sin embargo, soy incapaz de demostrar si el recíproco es cierto en general, es decir, si dada una función definida en un cierto intervalo abierto tal que es creciente en cada punto, entonces la función es creciente en dicho intervalo.

Otra duda que tengo también relacionada es demostrar que en general puede ocurrir que una función [texx]f[/texx] sea creciente en un punto, y que sin embargo, no sea creciente en ningún entorno de dicho punto.
Para ello tomo la función definida en todo [texx]\mathbb{R}[/texx] por [texx]f(x)=x+ x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)[/texx] si [texx]x\neq{}0[/texx] y [texx]f(0)=0[/texx]. La función es derivable en [texx]x=0[/texx] y tenemos que [texx]f'(0)=1 >0[/texx], luego [texx]f[/texx] es creciente en [texx]x=0[/texx] (esto lo tengo demostrado, que si la derivada en el punto es positiva, entonces la función es creciente en el punto). Ahora, trato de ver que [texx]f[/texx] no es creciente en ningún entorno de cero, para lo cual intento ver que la derivada de [texx]f[/texx] en cualquier entorno reducido de cero toma valores tanto positivos como negativos.
La derivada es [texx]f'(x)=1+2x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)[/texx], y veo claro que para cualquiera de estos entornos de cero, existe un cierto [texx]k \in \mathbb{N}[/texx] tal que [texx]x_0=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}(1+4k)}[/texx] pertenecerá a dicho entorno y [texx]f'(x_0)>1[/texx]. Sin embargo, no consigo encontrar una forma sistemática de demostrar que existen también siempre puntos que hacen esta derivada negativa.

¿Alguna idea para estas dos cuestiones?
Un saludo y muchas gracias por sus respuestas
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 12/08/2018, 12:45:31 pm »

Hola,

Para el primer problema, tomemos una función [texx]f[/texx] creciente en cada punto. Sean [texx]x,y[/texx] dos puntos sobre ese intervalo con [texx]x<y[/texx]. Como [texx]f[/texx] es creciente en [texx]x[/texx], existe un [texx]\delta[/texx] tal que [texx]f(x)\le f(z)[/texx] para [texx]z[/texx] en [texx](x,x+\delta)[/texx] (no considero la parte a izquierda de [texx]x[/texx]). Tomamos el supremo de los [texx]\delta[/texx] que cumplen esa condición y lo llamamos [texx]\delta'[/texx]. Analiza lo que pasa si [texx]x+\delta'<y[/texx].

Para el segundo problema, no veo que sea fácil mostrar lo que quieres con esa función. ¿Qué te parece una pequeña modificación de la función que propones? Por ejemplo,

[texx]f(x)=\dfrac12 x+ x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)[/texx] para [texx]x\neq 0[/texx] y [texx]f(0)=0[/texx].

Así te queda [texx]f'(x)=\dfrac12+2x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)[/texx].

Haciendo [texx]t=\dfrac{1}{x}[/texx], hay que considerar ahora la función [texx]\dfrac12+\dfrac{2\sin(t)}{t}-\cos(t)[/texx] cuando [texx]t\to\infty[/texx].

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Eparoh
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« Respuesta #2 : 13/08/2018, 03:50:22 pm »

Muchas gracias por la respuesta :guiño:

Respecto a lo primero, entiendo que si [texx]x + \delta' < y[/texx] se da que [texx]\delta' < y-x[/texx] luego [texx]y-x[/texx] no pertenece al conjunto descrito (pues sería una contradicción con que [texx]\delta'[/texx] es cota superior), y por tanto debe existir un cierto [texx]z_0[/texx] en [texx](x,x+y-x)=(x,y)[/texx] tal que [texx]f(z_0)<f(x)[/texx] y [texx]x<z_0[/texx].
Ahora mi duda respecto de lo que has propuesto es que no podemos asegurar que el conjunto de deltas que has descrito tenga supremo, con lo que no se que estamos demostrando con esto, si es que lo que he escrito es correcto.

Respecto a la segunda cuestión, si se soluciona todo cambiando así la función. De hecho, con esa función basta tomar los puntos de la forma [texx]\dfrac{1}{2k\pi}[/texx] y en dichos puntos que convergen a cero [texx]f'[/texx] siempre toma como valor [texx]-0.5[/texx].

Un saludo
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Gustavo
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« Respuesta #3 : 13/08/2018, 04:11:48 pm »

Algo importante para notar es que el conjunto de los [texx]\delta[/texx] que cumple la condición que escribí es necesariamente de la forma [texx](0,w)[/texx], [texx](0,w][/texx] para algún [texx]w[/texx], o [texx](0,\infty)[/texx].

Si no hay supremo, entonces el intervalo a derecha de [texx]x[/texx] se puede extender tanto como queramos hasta llegar a cubrir [texx]y[/texx], así que en ese caso [texx]f(x)\le f(y)[/texx] como queremos.

Si hay supremo (que llamamos [texx]\delta'[/texx]) y es tal que [texx]x+\delta'<y[/texx], entonces quiere decir que [texx]f(x)\le f(z)[/texx] para todo [texx]z\in (x,x+\delta')[/texx]. Pero [texx]f[/texx] es creciente en [texx]x+\delta'[/texx], así que existe un [texx]\delta_1[/texx] tal que [texx]f(z)\le f(x+\delta')[/texx] para [texx]z\in (x+\delta'-\delta_1,x+\delta')[/texx], y [texx]f(x+\delta')\le f(z)[/texx] para [texx]z\in (x+\delta',x+\delta'+\delta_1)[/texx]. Esto contradice que [texx]\delta'[/texx] sea el supremo.

¿Sí tiene sentido lo que te digo?
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« Respuesta #4 : 13/08/2018, 05:09:27 pm »

Ya he entendido el razonamiento que sigues, pero sigo teniendo un par de dudas.
Lo que creo que haces es suponer que el conjunto de los delta está acotado superiormente, por lo cual existe el supremo y ya con lo demás llegar a una contradicción y así ver que este conjunto de deltas no puede estar acotado superiormente y que efectivamente [texx]f[/texx] es creciente.
La cosa es, que si entiendo bien esto, ¿de que sirve considerar que [texx]x+\delta' <y[/texx]?

Y por último, la contradicción reside en que de [texx]f(z)\le f(x+\delta')[/texx] para [texx]z\in (x+\delta'-\delta_1,x+\delta')[/texx] obtenemos que [texx]f(x)\leq{}f(x+\delta')[/texx] y de [texx]f(x+\delta')\le f(z)[/texx] para [texx]z\in (x+\delta',x+\delta'+\delta_1)[/texx] que [texx]\delta'+\delta_1[/texx] pertenece al conjunto y es estrictamente mayor que [texx]\delta'[/texx] el cual, por ser supremo es también cota superior y esto es una contradicción, ¿verdad?
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« Respuesta #5 : 14/08/2018, 12:51:09 pm »

Ya he entendido el razonamiento que sigues, pero sigo teniendo un par de dudas.
Lo que creo que haces es suponer que el conjunto de los delta está acotado superiormente, por lo cual existe el supremo y ya con lo demás llegar a una contradicción y así ver que este conjunto de deltas no puede estar acotado superiormente y que efectivamente [texx]f[/texx] es creciente.
La cosa es, que si entiendo bien esto, ¿de que sirve considerar que [texx]x+\delta' <y[/texx]?

Lo que hacemos es considerar todos los casos.

- Si no hay supremo, podemos llegar a [texx]y[/texx] con un [texx]\delta[/texx] apropiado y ya está.
- Si hay supremo, en principio podría ocurrir que el intervalo a derecha de [texx]x[/texx] no cubra a [texx]y[/texx]. Lo que hicimos con el caso [texx]x+\delta'<y[/texx] fue descartar esto.
- Si hay supremo y el intervalo a derecha alcanza a cubrir [texx]y[/texx], es lo mismo que el primer caso.

Y por último, la contradicción reside en que de [texx]f(z)\le f(x+\delta')[/texx] para [texx]z\in (x+\delta'-\delta_1,x+\delta')[/texx] obtenemos que [texx]f(x)\leq{}f(x+\delta')[/texx] y de [texx]f(x+\delta')\le f(z)[/texx] para [texx]z\in (x+\delta',x+\delta'+\delta_1)[/texx] que [texx]\delta'+\delta_1[/texx] pertenece al conjunto y es estrictamente mayor que [texx]\delta'[/texx] el cual, por ser supremo es también cota superior y esto es una contradicción, ¿verdad?

Sip.
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« Respuesta #6 : 14/08/2018, 03:33:04 pm »

Vale, todo ya muy claro.
Muchas gracias :guiño:
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