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Autor Tema: Condición para que [texx]\alpha[/texx] sea separable sobre [texx]K[/texx]  (Leído 351 veces)
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martiniano
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« : 10/08/2018, 10:18:53 am »

Hola, buenas. Creo que me falta un muy poco para acabar el siguiente ejercicio, pero no acabo de rematarlo:

Sea [texx]L/K[/texx] una extensión algebraica con [texx]K[/texx] un cuerpo de característica [texx]p>0[/texx]. Demostrar que [texx]\alpha\,\in{}\,K[/texx] es separable si y sólo si [texx]K(\alpha)=K(\alpha^p)[/texx]

Creo que he demostrado la implicación de izquierda a derecha:

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Ahora bien, es la demostración de derecha a izquierda la que no soy capaz de completar. He hecho lo siguiente:

[texx]K(\alpha^p)=K(\alpha)[/texx] [texx]\Rightarrow{}[/texx] [texx]\alpha\, \in{\,}K(\alpha^p)[/texx]. Y como [texx]K(\alpha^p)/K[/texx] es algebraica existen [texx]k_0, k_1, k_2, ..., k_n\,\in{\,}K[/texx] tales que [texx]\alpha=k_0+k_1\alpha^p+k_2(\alpha^p)^2+...+k_n(\alpha^p)^n[/texx]. Por tanto [texx]\alpha[/texx] es raíz del siguiente polinomio:

[texx]-x+k_0+k_1x^p+k_2x^{2p}+...+k_nx^{np} \in{\,} K\left[x\right][/texx]

Me bastaría demostrar que éste polinomio es separable para ya tenerlo. De hecho me bastaría con demostrar que es irreducible, ya que tengo un teorema demostrado por los apuntes que dice que un polinomio irreducible es separable si y sólo si su derivada formal (que es la derivada normal y corr¡ente de un polinomio) es el polinomio nulo. Y la de éste es [texx]-1\neq{0}[/texx]. Casi casi, ¿no? ¿qué opináis?

Gracias de antemano por vuestra ayuda y comentarios. Saludos.
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 10/08/2018, 05:36:09 pm »

Hola,

El polinomio [texx]-x+k_0+k_1x^p+k_2x^{2p}+...+k_nx^{np} \in{\,} K\left[x\right][/texx] es separable porque es primo relativo a su derivada (dado que la derivada es ya una unidad).

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« Respuesta #2 : 10/08/2018, 06:04:56 pm »

Hola Gustavo. Muchísimas gracias por tu interesantísima respuesta. Detrás de ella vislumbro nuevos horizontes.

Citas un teorema que no conocía y que me viene de perlas. No aparece en las hojas de teoría del curso que estoy haciendo, así que me interesaría mucho profundizar un poco en él. ¿Sabrías decirme dónde puedo encontrar una demostración?

Gracias nuevamente y saludos.

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Gustavo
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« Respuesta #3 : 10/08/2018, 07:23:43 pm »

Me alegra que te haya servido.

En las siguientes notas aparece en el Teorema 2.1

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/separable1.pdf

Aprovecho para recomendar todas las notas que tiene Keith Conrad en su página web:

http://www.math.uconn.edu/%7Ekconrad/blurbs/
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martiniano
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« Respuesta #4 : 11/08/2018, 03:39:50 am »

Estupendo!!! Muchas gracias Gustavo.
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