Hola, buenas. Creo que me falta un muy poco para acabar el siguiente ejercicio, pero no acabo de rematarlo:
Sea [texx]L/K[/texx] una extensión algebraica con [texx]K[/texx] un cuerpo de característica [texx]p>0[/texx]. Demostrar que [texx]\alpha\,\in{}\,K[/texx] es separable si y sólo si [texx]K(\alpha)=K(\alpha^p)[/texx]Creo que he demostrado la implicación de izquierda a derecha:
Llamemos [texx]q_1(x)[/texx] al polinomio mínimo de [texx]\alpha[/texx] sobre [texx]K[/texx] y éste no tiene raíces múltiples, entonces [texx]q_1(x)[/texx] es divisible por el polinomio mínimo de [texx]\alpha[/texx] sobre [texx]\left(K\left(\alpha^p\right)\right)\left[x\right][/texx], llamémosle [texx]q_2(x)[/texx], ya que [texx]q_1(x)\,\in{}\,\left(K\left(\alpha^p\right)\right)\left[x\right][/texx]. Entonces, como [texx]q_1(x)[/texx] no tiene raíces múltiples, tampoco las podrá tener [texx]q_2(x)[/texx] y por tanto [texx]\alpha\,\in{}\,K[/texx] será separable sobre [texx]\left(K\left(\alpha^p\right)\right)\left[x\right][/texx]
Además, como [texx]\alpha[/texx] es raíz del polinomio [texx]x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p\,\in{\,}\left(K\left(\alpha^p\right)\right)\left[x\right][/texx], pues este último debe ser divisible por [texx]q_2(x)[/texx], pero como todos los divisores de [texx](x-\alpha)^p[/texx] son de la forma [texx](x-\alpha)^r[/texx], entonces no queda otra que [texx]q_2(x)=x-\alpha[/texx] y por tanto [texx]\alpha \,\in{\,}K(\alpha^p)\;\Rightarrow{\;}K(\alpha)=K(\alpha^p)[/texx]
Ahora bien, es la demostración de derecha a izquierda la que no soy capaz de completar. He hecho lo siguiente:
[texx]K(\alpha^p)=K(\alpha)[/texx] [texx]\Rightarrow{}[/texx] [texx]\alpha\, \in{\,}K(\alpha^p)[/texx]. Y como [texx]K(\alpha^p)/K[/texx] es algebraica existen [texx]k_0, k_1, k_2, ..., k_n\,\in{\,}K[/texx] tales que [texx]\alpha=k_0+k_1\alpha^p+k_2(\alpha^p)^2+...+k_n(\alpha^p)^n[/texx]. Por tanto [texx]\alpha[/texx] es raíz del siguiente polinomio:
[texx]-x+k_0+k_1x^p+k_2x^{2p}+...+k_nx^{np} \in{\,} K\left[x\right][/texx]
Me bastaría demostrar que éste polinomio es separable para ya tenerlo. De hecho me bastaría con demostrar que es irreducible, ya que tengo un teorema demostrado por los apuntes que dice que un polinomio irreducible es separable si y sólo si su derivada formal (que es la derivada normal y corr¡ente de un polinomio) es el polinomio nulo. Y la de éste es [texx]-1\neq{0}[/texx]. Casi casi, ¿no? ¿qué opináis?
Gracias de antemano por vuestra ayuda y comentarios. Saludos.
