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Autor Tema: Factorización de suma de cuadrados.  (Leído 1224 veces)
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moliere
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« : 04/08/2018, 02:58:25 pm »

Explica por qué no existe ninguna fórmula para factorizar una suma de cuadrados a[texx]^2[/texx]  + b[texx]^2[/texx] en el producto de dos polinomios de primer grado con coeficientes  reales.

Me parece que en algunos casos sí se puede hacer porque si factorizo como:
a[texx]^2[/texx]+ b[texx]^2[/texx]= a[texx]^2[/texx] -2ab + b[texx]^2[/texx] +2ab= (a + b + [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx])(a + b - [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx]). Si [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx]  es una raíz exacta es factorizable.
No sé si he interpretado mal el problema.
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sugata
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« Respuesta #1 : 04/08/2018, 03:10:09 pm »

[texx]a^2>0\\b^2>0[/texx]
¿Ves por donde voy?
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moliere
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« Respuesta #2 : 04/08/2018, 03:23:37 pm »

No, no lo veo.
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sugata
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« Respuesta #3 : 04/08/2018, 03:29:50 pm »

Si sumas dos positivos, ¿cuando puede hacerse cero dicha suma?
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moliere
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« Respuesta #4 : 04/08/2018, 03:37:05 pm »

Nunca, pero no entiendo.
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sugata
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« Respuesta #5 : 04/08/2018, 03:46:05 pm »

A lo mejor hablamos de cosas distintas.
Cuando yo hablo de factorizacion hablo de descomponer en factores que hacen cero una expresión, y más si hablas de polinomios.
Pero quizá hablas de otro tipo de factorizacion al estilo [texx](a+b) (a-b) =a^2-b^2[/texx]
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moliere
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« Respuesta #6 : 04/08/2018, 03:50:33 pm »

Sí de eso hablo.
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feriva
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« Respuesta #7 : 05/08/2018, 05:12:35 am »

Explica por qué no existe ninguna fórmula para factorizar una suma de cuadrados a[texx]^2[/texx]  + b[texx]^2[/texx] en el producto de dos polinomios de primer grado con coeficientes  reales.

Me parece que en algunos casos sí se puede hacer porque si factorizo como:
a[texx]^2[/texx]+ b[texx]^2[/texx]= a[texx]^2[/texx] -2ab + b[texx]^2[/texx] +2ab= (a + b + [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx])(a + b - [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx]). Si [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx]  es una raíz exacta es factorizable.
No sé si he interpretado mal el problema.

Cuando se habla de que algo se cumple para los reales en una expresión (una igualdad o lo que sea) se habla en general. Si existen casos en los que no es cierta la expresión para reales cualesquiera, entonces no es cierta; no es cierta y ya está, aunque sí sea cierta particularmente para algunos.

Esto [texx]\sqrt{2ab}
 [/texx] no es en general un número real, porque “ab” puede ser negativo. Así que eso que escribes no es cierto para los reales.

Además, si las letras las quieres entender como variables ahí y tienes [texx]\sqrt{2ab}
 [/texx] con “ab” negativo, existen reales “c” y “d” tales que [texx]\sqrt{2ab}=\sqrt{-2cd}
 [/texx], donde [texx]\sqrt{-2}
 [/texx] no es un coeficiente real.

En cambio, esto [texx]a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
 [/texx], es cierto para los valores reales que se te antoje darle a las letras.

Por otro lado más, para las variables se entienden potencias de grado "n", natural.

Saludos.
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moliere
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« Respuesta #8 : 05/08/2018, 03:07:20 pm »

Gracias, feriva.
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martiniano
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« Respuesta #9 : 06/08/2018, 05:36:12 am »

Hola

Me parece que en algunos casos sí se puede hacer porque si factorizo como:
a[texx]^2[/texx]+ b[texx]^2[/texx]= a[texx]^2[/texx] -2ab + b[texx]^2[/texx] +2ab= (a + b + [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx])(a + b - [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx]). Si [texx]\sqrt[ ]{2ab}[/texx]  es una raíz exacta es factorizable.

Yo diría que la clave está en que la expresión que has hallado, tome a veces valores naturales, enteros, racionales, reales o complejos, simplemente no es un producto de dos polinomios en [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx].

Para demostrar, una manera podría ser: comienza considerando que existen dos polinomios de primer grado en [texx]a[/texx] y en [texx]b[/texx] que al multiplicarlos te dan [texx]a^2+b^2[/texx] y llegarás a una contradicción.

Saludos
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feriva
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« Respuesta #10 : 06/08/2018, 06:54:47 am »

Gracias, feriva.

De nada.

En general, te pueden poner cualquier ejercicio no sólo respecto de los reales sino de cualquier cuerpo o campo.

Por ejemplo, te pueden pedir que digas si éste [texx]3x^{2}-1
 [/texx] es irreductible en [texx]\mathbb{Q}
 [/texx]. Lo es, sus raíces [texx]\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}
 [/texx] no son racionales; y se factoriza así [texx](\sqrt{3}x+1)(\sqrt{3}x-1)
 [/texx]. Los coeficientes no son racionales, como ves.

Sin embargo, no es irreductible en [texx]\mathbb{R}
 [/texx].

El que un polinomio sea primo o no hay que referirlo a un cuerpo.

Saludos.
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