Extremos de una función

[alucard]

Hola tengo una duda con el siguiente enunciado 

Hallar los extremos de y puntos silla, si existen de

[texx]f(x,y)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-xy[/texx]

el dominio son todos los [texx]R^2-\left\{0,0\right\}[/texx]

De

[texx]\nabla f(x,y)=(0,0)\to (x,y)=(-1,-1)[/texx]

luego

[texx]H(x,y)=\begin{bmatrix}{2x^{-3}}&{-1}\\{-1}&{2y^{-3}}\end{bmatrix}[/texx]

de donde se obtiene que (-1,-1) es un máximo

¿ Está bien ?

Me queda dudas en el punto  (0,0) ¿tengo que hacer algún análisis?

Genera mi inquietud cuando el docente a cargo del curso dijo "ojo con los puntos silla" , pero solo encuentro un solo punto crítico

[escarabajo]

Hola.


Bueno, quizas ando un poco oxidado, ...yo no encuentro ningún otro punto crítico además del mismo que encontraste tu. Pero bueno, la idea ya la tenés....revisar y revisar a ver si se anula por otro lado...

Con respecto al (0,0), ese punto no forma parte del dominio de la función como bien se ha definido el mismo (no podés dividir por cero).

¿Te han pedido hallar extremos.......relativos o absolutos?

Esa es una pregunta relevante.

Saludos.

[Masacroso]

Sí, está todo correcto. En [texx](-1,-1)[/texx] hay un máximo local, y no hay ningún otro punto crítico en la función.

[martiniano]

Hola, buenos días.

Me queda dudas en el punto  (0,0) ¿tengo que hacer algún análisis?

Si hubiese que hacer un análisis en el punto (0,0) sería para decir que ésta función no tiene límite en dicho punto. Fíjate:

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=y>0}}{f(x)}=+\infty[/texx]

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=y<0}}{f(x)}=-\infty[/texx]

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=-y}}{f(x)}=0[/texx]

Luego diría que la función está muy lejos de tener nada que se parezca a un punto crítico en dicho punto.

Saludos.

[alucard]

Gracias

Hola, buenos días.

Me queda dudas en el punto  (0,0) ¿tengo que hacer algún análisis?

Si hubiese que hacer un análisis en el punto (0,0) sería para decir que ésta función no tiene límite en dicho punto. Fíjate:

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=y>0}}{f(x)}=+\infty[/texx]

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=y<0}}{f(x)}=-\infty[/texx]

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=-y}}{f(x)}=0[/texx]

Luego diría que la función está muy lejos de tener nada que se parezca a un punto crítico en dicho punto.

Saludos.

¿entonces tengo un punto silla en el (0,0)?

[manooooh]

Hola

¿entonces tengo un punto silla en el (0,0)?

Quizás te sirva la respuesta del casi olvidado pero últimamente activo en el foro Masacroso:

Sí, está todo correcto. En [texx](-1,-1)[/texx] hay un máximo local, y no hay ningún otro punto crítico en la función.

Fijate que vos mismo dijiste el dominio, y excluiste al origen. Así que punto que no pertenece al dominio punto que no vale la pena estudiar extremos .

Saludos y buenas noches!

[martiniano]

Hola

Gracias

Hola, buenos días.

Me queda dudas en el punto  (0,0) ¿tengo que hacer algún análisis?

Si hubiese que hacer un análisis en el punto (0,0) sería para decir que ésta función no tiene límite en dicho punto. Fíjate:

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=y>0}}{f(x)}=+\infty[/texx]

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=y<0}}{f(x)}=-\infty[/texx]

[texx]    \displaystyle\lim_{\substack{(x,y) \to(0,0)\\x=-y}}{f(x)}=0[/texx]

Luego diría que la función está muy lejos de tener nada que se parezca a un punto crítico en dicho punto.

Saludos.

¿entonces tengo un punto silla en el (0,0)?

No, no hay punto de silla en el (0,0) ni ningún otro tipo de punto crítico. Entre otras cosas porque está fuera del dominio.

Hice el análisis por si interesaba, ya que podría ser que redefiniendo la función en este punto tuviese punto crítico, pero tampoco.

Saludos.

[alucard]

Gracias