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Autor Tema: UTF 4 sin descenso (VII)  (Leído 279 veces)
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Fernando Moreno
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« : 09/08/2018, 02:03:46 pm »

Hola,

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Por tanto:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]  ;  [texx]x^2=2pq[/texx]  ;  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Como:  [texx]p^2=y^2+q^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] .  Serán asimismo soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]p=a^2+b^2[/texx]  ;  [texx]y=a^2-b^2[/texx]  ;  [texx]q=2ab[/texx]     [texx]\wedge[/texx]     [texx]z= c^2+d^2[/texx]  ;  [texx]p=c^2-d^2[/texx]  ;  [texx]q=2cd[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c,d[/texx]  coprimos; uno de cada pareja par, por ejemplo:  [texx]b,d[/texx] .

Por lo tanto:  [texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]ab=cd[/texx] . 

Estrategia: Operando con estos datos nos damos cuenta que es bastante complicado obtener  “ [texx]z[/texx] “  en función lineal de  [texx]a,b[/texx]  (que son los otros números enteros directamente implicados). Esto es extraño y nos señala un camino por donde atacar.

Como:  [texx]z\,>\,p=a^2+b^2[/texx] ;  entonces siempre podré decir que existirá un:  [texx]z=a^2+w\,b^2[/texx] ,  para un  “ [texx]w[/texx] “  positivo, entero o racional.

De esta manera tengo que:  [texx]c^2-d^2=a^2+b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c^2+d^2=a^2+wb^2[/texx] ;  por lo que:  [texx]c^2=a^2+b^2+d^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c^2=a^2+wb^2-d^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]a^2+b^2+d^2=a^2+wb^2-d^2[/texx] .  Y despejando:  [texx]w=2\dfrac{d^2}{b^2}+1[/texx] .  Como sabemos a partir de  " [texx]ab=cd[/texx] "  que  [texx]b\neq d[/texx] ,  pero que tienen el mismo grado de paridad y que además  [texx]b[/texx]  divide a parte de  [texx]d[/texx]  (que es menor que " b " )  y a parte de  [texx]c[/texx] .  Entonces no queda otra que concluir que  “ [texx]w[/texx] “ es un racional no entero.

Observamos que:  [texx]z^2\,=\,p^2+q^2\,=\,(a^2+b^2)^2+(2ab)^2[/texx]   [texx]\Rightarrow[/texx]   [texx]z^2=a^4+b^4+6a^2b^2[/texx] .  Y que:  [texx]z^2\,=\,(a^2+wb^2)^2\,=\,a^4+w^2b^4+2wa^2b^2[/texx] .  Igualando:  [texx]a^4+b^4+6a^2b^2=a^4+w^2b^4+2wa^2b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]b^2+6a^2=w\,(wb^2+2a^2)[/texx] .

Como el producto  [texx]w\cdot b^2[/texx]  debe ser entero para que  " [texx]z[/texx] "  sea entero y  [texx]w[/texx]  es un irreducible de la forma -por ejemplo-  " [texx]\dfrac{w_1}{w_2}[/texx] " ;  llamamos  " [texx]e=w\,b^2[/texx] "  a este nuevo entero y entendemos que  [texx]w_2[/texx]  divide á  [texx]b^2[/texx] . Tendremos:  [texx]b^2+6a^2=w\,(e+2a^2)[/texx]  y dividiendo entre 2:  [texx]\dfrac{b^2}{2}+3a^2=w\,(\dfrac{e}{2}+a^2)[/texx] .  La parte de la izquierda de la ecuación es impar (porque  [texx]b[/texx]  es par y  [texx]a[/texx]  es impar); pero ahora quiero averiguar si la parte derecha sin el factor  “ [texx]w[/texx] “  es par o impar. Y lo quiero saber para conocer cómo incide posteriormente  “ [texx]w[/texx] “ al multiplicarlos. Ya sabemos que debe de dejar un impar para ser igual al otro lado de la ecuación. Para ello he de conocer si  [texx]\dfrac{e}{2}[/texx]  es par ó impar; o lo que es lo mismo: si  “ [texx]e[/texx] “  es par de por lo menos 4. Veamos:

Tenemos que  [texx]z=c^2+d^2[/texx] .  “ [texx]c[/texx] “ es un impar al cuadrado, por ejemplo:  [texx](2c_1-1)^2[/texx]  y  “ [texx]d[/texx] “  es par:  [texx](2d_1)^2[/texx] .  Luego:  [texx]z=4c_1^1+1-4c_1+4d_1^2[/texx] .  De esta manera  [texx]z-1[/texx]  será par de por lo menos 4. Por lo tanto:  [texx]z=a^2+e[/texx]  ( “ [texx]a[/texx] “ es impar:  [texx]2a_1-1[/texx] ) , será:  [texx]z=4a_1^2+1-4a_1+e[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z-1=4a_1^2-4a_1+e[/texx] .  Luego como  [texx]z-1[/texx]  es par como mínimo de 4; entonces  [texx]e[/texx]  debe serlo también.

Ahora ya sabemos que  [texx]\dfrac{e}{2}+a^2[/texx]  es impar. Luego multiplicado por  “ [texx]w[/texx] “  lo deja como está en cuanto a la paridad: impar; para ser igual al otro lado de la ecuación. Analicemos en detalle qué ocurre:

" [texx]\dfrac{w_1}{w_2}\,(\dfrac{e}{2}+a^2)[/texx] "  y :  ni  “ [texx]w_1[/texx] “ ni  “ [texx]w_2[/texx] “  pueden ser pares -recordemos que hablamos de un irreducible  [texx]\left({\dfrac{w_1}{w_2}}\right)[/texx]-  y que el cociente entre un par ( [texx]w_1[/texx] ) y un impar ( [texx]w_2[/texx] )  daría lugar a un par que como vemos no se añade al resultado final.

¿Qué debió ocurrir entonces cuando  [texx]e=\dfrac{w_1}{w_2}\,b^2[/texx] ?  Pues que no varió tampoco la paridad de  [texx]b^2[/texx] .  Es decir: Que  “ [texx]e[/texx] “  y  “ [texx]b^2[/texx] “  tienen la misma paridad y aquí es dónde yo quería llegar.

Veamos:

1)  [texx]z^2-y^2=p^2+q^2-p^2+q^2=2q^2[/texx] .  Luego:  [texx]\displaystyle\frac{z^2-y^2}{2}=q^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]q^2=\displaystyle\frac{(z+y)\,(z-y)}{2}[/texx] .  Como:  [texx]\pmb{z+y}=a^2+w\,b^2+a^2-b^2\,=\,\pmb{2a^2+e-b^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{z-y}=a^2+w\,b^2-a^2+b^2\,=\,\pmb{e+b^2}[/texx] ,  y los 2 factores son pares; es evidente que  " 2 "  divide á  " [texx]z+y[/texx] "  haciéndolo "impar"  [texx]\left({a^2+\displaystyle\frac{e-b^2}{2}}\right)[/texx]  y un cuadrado (pues ambos factores son comprimos entre sí e iguales a un cuadrado)  y  " [texx]z-y[/texx] "  será el otro cuadrado "par" :  [texx]e+b^2[/texx] .

2)  [texx]z^2-p^2=p^2+q^2-p^2=\,q^2\,=\,(z+p)\,(z-p)[/texx] .  Así:  [texx]\pmb{z+p}=a^2+w\,b^2+a^2+b^2\,=\,\pmb{2a^2+e+b^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{z-p}=a^2+w\,b^2-a^2-b^2\,=\,\pmb{e-b^2}[/texx] .  Y los 2 factores son también pares y esto ya es extraño, porque deberían ser cuadrados (al ser coprimos entre sí). Intentemos salvar la situación. Podrían ser los 2 cuadrados pares, pero a simple vista se ve que no porque el primero es par sólo de 2. Probemos entonces en dividir entre 4 (entre 2 no puedo si quiero mantener que  [texx]q^2[/texx]  sea un cuadrado). Entonces  " [texx]z+p[/texx] "  sería el impar:  [texx]a^2+\displaystyle\frac{e+b^2}{2}[/texx]  y podría ser un cuadrado. Pero  " [texx]z-p[/texx] "  sería el par:  [texx]\displaystyle\frac{e-b^2}{2}[/texx] .  Pero ¿cómo podría ser un "cuadrado" par? Teniendo  [texx]e[/texx]  la misma paridad que  [texx]b^2[/texx]  muy difícilmente. Supongamos no obstante lo siguiente (para  [texx]b[/texx]  igual a par de 2); nos encontraríamos ante una situación de:  4 - 4  y luego ante un " impar - impar " igual por ejemplo á 2 que diera lugar en total a una paridad de 8, que dividido entre 2 sí fuera un par cuadrado. Pero entonces ¿qué ocurriría con  [texx]z-y=e+b^2[/texx] ,  que también es un cuadrado? : Pues que no podría serlo. Es decir: ó  " [texx]\dfrac{z^2-y^2}{2}[/texx] "  es un cuadrado ó  " [texx]z^2-p^2[/texx] "  lo es; no los 2. Pero sin embargo de la ecuación de partida se deduce que ambos lo son.


Un saludo,


PD. Creo que se puede simplificar. Ahora tengo unos días de vacaciones y me es difícil abordarlo. Además primero me gustaría averiguar si la idea tiene algún fallo troncal, claro.
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« Respuesta #1 : 10/08/2018, 07:07:16 pm »

Hola. Otra versión más simple:


Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Por tanto:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]  ;  [texx]x^2=2pq[/texx]  ;  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Como:  [texx]p^2=y^2+q^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] .  Serán asimismo soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]p=a^2+b^2[/texx]  ;  [texx]y=a^2-b^2[/texx]  ;  [texx]q=2ab[/texx]     [texx]\wedge[/texx]     [texx]z= c^2+d^2[/texx]  ;  [texx]p=c^2-d^2[/texx]  ;  [texx]q=2cd[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c,d[/texx]  coprimos; uno de cada pareja par, por ejemplo:  [texx]b,d[/texx] .

Por lo tanto:  [texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]ab=cd[/texx] . 

Como:  [texx]c^2\,>\,a^2[/texx] ;  entonces puedo decir que:  [texx]c^2=a^2+m[/texx] ,  para un  " [texx]m[/texx] "  entero par mínimo de 8, pues es el resultado de una diferencia de 2 impares al cuadrado  [texx](c^2-a^2)[/texx] .

Y tenemos que:

1)  [texx]z^2-y^2=p^2+q^2-p^2+q^2=2q^2[/texx] .  Luego:  [texx]\displaystyle\frac{z^2-y^2}{2}=q^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\displaystyle\frac{(z+y)\,(z-y)}{2}=q^2[/texx] .  Y :

-  [texx]z+y=c^2+d^2+a^2-b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z+y=a^2+m+d^2+a^2-b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z+y=2a^2+m+d^2-b^2[/texx]  

-  [texx]z-y=c^2+d^2-a^2+b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z-y=a^2+m+d^2-a^2+b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z-y=m+d^2+b^2[/texx]

Los 2 factores son pares. Y es claro que  " 2 "  divide á  " [texx]z+y[/texx] "  haciéndolo "impar" y "cuadrado" (pues ambos factores serán entonces coprimos e iguales a un cuadrado) y que " [texx]z-y[/texx] "  es el otro cuadrado "par". Así:

[texx]\pmb{\dfrac{z+y}{2}=a^2+\dfrac{m+d^2-b^2}{2}}[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]\pmb{z-y=m+d^2+b^2}[/texx]    

2)  [texx]z^2-p^2=p^2+q^2-p^2\,=\,q^2\,=\,(z+p)\,(z-p)[/texx] .  Así:

-  [texx]z+p=c^2+d^2+a^2+b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z+p=a^2+m+d^2+a^2+b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{z+p=2a^2+m+d^2+b^2}[/texx]     

-  [texx]z-p=c^2+d^2-a^2-b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z-p=a^2+m+d^2-a^2-b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{z-p=m+d^2-b^2}[/texx]

Estos 2 factores también son pares y además deberán ser cuadrados en el momento en que sean coprimos entre sí. Veámoslo:

Si divido  " [texx]z+p[/texx] "  entre 2 el resultado es impar:  [texx]a^2+\dfrac{m+d^2+b^2}{2}[/texx]  y tendré que:  [texx]\dfrac{z+p}{2}=\dfrac{z-p}{2}+p[/texx] .  Un factor que divida á  " [texx]z-p[/texx] "  dividirá á  " [texx]\dfrac{z-p}{2}[/texx] "  (ó dejará una situación final de la suma  [texx]\dfrac{impar}{par}[/texx] ) ,  pero no á  " [texx]p[/texx] " , que es coprimo suyo e impar. Luego  " [texx]\dfrac{z+p}{2}[/texx] "  -y-  " [texx]z-y[/texx] "  serán coprimos.

Pero entonces tendré que:  [texx]\dfrac{z+p}{2}\,(z-p)=\dfrac{q^2}{2}[/texx]  y no pueden ser cuadrados. Pero ¿y si divido además:  [texx]\dfrac{z-p}{2}[/texx] ?  Entonces sí:  [texx]\dfrac{q^2}{4}[/texx] .  ¿Y continuarán siendo coprimos? Entiendo que sí, puesto que un factor que divida á  " [texx]\dfrac{z-p}{2}[/texx] "  naturalmente dividirá á su otro correspondiente de  [texx]\dfrac{z+p}{2}=\dfrac{z-p}{2}+p[/texx]  pero seguirá sin dividir á  " [texx]p[/texx] ".

Luego tendremos que:  [texx]\pmb{z-y=m+d^2+b^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{\dfrac{z-p}{2}=\dfrac{m+d^2-b^2}{2}}[/texx]  son ambos cuadrados. Lo que no puede ser.


Un saludo,
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« Respuesta #2 : 11/08/2018, 05:48:55 am »

Hola,

Cita
Luego tendremos que:  [texx]\pmb{z-y=m+d^2+b^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{\dfrac{z-p}{2}=\dfrac{m+d^2-b^2}{2}}[/texx]  son ambos cuadrados. Lo que no puede ser.

Me he dado cuenta que esta parte no está bien o está incompleta. Saludos


Añadido: No es correcto. " [texx]m[/texx] " siempre tendrá la paridad de " [texx]d^2+b^2[/texx] " que además será siempre de exponente impar..  En fin, que este tipo de contradicción tan simple no puede ser. Se me olvida a veces cuando pasa un tiempo; tengo una malísima memoria.
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