20/08/2018, 08:01:08 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Prueba \(A\neq{\emptyset}\rightarrow{\exists{!y}}\forall{z}(z\in{y}\)...  (Leído 186 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« : 09/08/2018, 09:58:17 am »


Probar que    [texx]A\neq{\emptyset}\rightarrow{\exists{!\,y}.\;}\forall{\,z}.\;\big(z\in{y}\leftrightarrow{\forall{\,u}.\;(u\in{A}\rightarrow{z\in{u}})}\big)[/texx].


P.D: Utilizando los Axiomas de Extensionalidad y Separación, (Especificación o Comprensión).
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 14/08/2018, 07:30:51 pm »

Lo intento:

Tomando    [texx]p(x,y):x\in{y}[/texx],    [texx]i(x,y):x=y[/texx]    y el universo del discurso la clase universal     [texx]V[/texx]    será:

\begin{eqnarray}\tag*{\(P_1\)}\textrm{Axioma de extensionalidad:}\;\forall{\,A}.\;\forall{\,B}.\;\bigg(\forall{\,x}.\Big(\big(p(x,A)\leftrightarrow p(x,B)\big)\rightarrow{\big(i(A,B)}\big)\Big)\bigg)\end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray}\tag*{\(P_2\)}\textrm{Axioma de Separación, (Comprensión o Especificación):}\;\forall{\,A}.\;\exists{\,B}.\;\Big(\forall{\,x}.\;\big(p(x,A)\wedge\varphi(x)\big)\rightarrow{p(x,B)}\Big)\end{eqnarray}

Se trata de probar que de ellos se puede deducir

[texx]C:\lnot i(A,\emptyset)\rightarrow{\exists{\,!B}.\;\forall{\,z}.\;\Big(p(z,B)\leftrightarrow\forall{\,x}.\;\big(p(x,A)\rightarrow p(z,x)\big)}\Big)[/texx].

Particularizando la conclusión. Sean    [texx]B_C=B[/texx]     y    [texx]\lnot i(A_0,\emptyset)[/texx],    entonces, se trata de probar en primer lugar que de las premisas se puede deducir    [texx]\lnot i(A_0,\emptyset)\rightarrow{}\Big(p(z_0,B_C)\leftrightarrow \big(p(x_0,A_0)\rightarrow{p(z_0,x_0)}\big)\Big)[/texx],    para poder en ese caso generalizarlo para todo    [texx]z[/texx]    y para todo    [texx]x[/texx].

Particularizando    [texx]P_2[/texx].    Sea    [texx]B_2=B[/texx],    el axioma debe verificarse para    [texx]A_0[/texx]    y    [texx]x_0[/texx],    puesto que lo hace para todo     [texx]A[/texx]   y para todo    [texx]x[/texx].

Particularizando    [texx]P_1[/texx].    Si el axioma se verifica para todo    [texx]A[/texx],    para todo    [texx]B[/texx]   y    para todo    [texx]x[/texx],    debe verificarse también para los    [texx]A_0[/texx],    [texx]B_C[/texx],    [texx]B_2[/texx]    y    [texx]x_0[/texx]    de    [texx]C[/texx]    y    [texx]P_2[/texx].

Resumiendo, se trata de probar que

\begin{align*}
&P_1:\quad\big(p(x_0,A_0)\leftrightarrow p(x_0,B_C)\big)\rightarrow{\big(i(A_0,B_C)}\big)\\
&P_2:\quad\big(p(x_0,A_0)\wedge\varphi(x_0)\big)\rightarrow{p(x_0,B_C)}\\
&P_3:\quad\big(p(x_0,A_0)\leftrightarrow p(x_0,B_2)\big)\rightarrow{\big(i(A_0,B_2)}\big)\\
&P_4:\quad\big(p(x_0,A_0)\wedge\varphi(x_0)\big)\rightarrow{p(x_0,B_2)}\\
\hline
&C:\quad\lnot i(A_0,\emptyset)\rightarrow{}\Big(p(z_0,B_C)\leftrightarrow \big(p(x_0,A_0)\rightarrow{p(z_0,x_0)}\big)\Big)
\end{align*}

Las únicas diferencias entre    [texx]P_1,P_3[/texx]    y    [texx]P_2,P_4[/texx]    son    [texx]B_C,B_2[/texx].    Como    [texx]B_2[/texx]    no aparece en la conclusión, se puede restringir la demostración a probar que

[texx]\bigg[\Big(\big(p(x_0,A_0)\leftrightarrow p(x_0,B_C)\big)\rightarrow{\big( i(A_0,B_C)}\big)\Big)\wedge\Big(\big(p(x_0,A_0)\wedge\varphi(x_0)\big)\rightarrow{p(x_0,B_C)}\Big)\bigg][/texx]

[texx]\longrightarrow{}[/texx]

[texx]\bigg[\lnot i(A_0,\emptyset)\rightarrow{}\Big(p(z_0,B_C)\leftrightarrow \big(p(x_0,A_0)\rightarrow{p(z_0,x_0)}\big)\Big)\bigg][/texx],

es una tautología.

No se si puede ser correcto el planteamiento. Saludos y gracias.

   
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.690


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 15/08/2018, 07:41:49 am »

No tengo tiempo de analizar todo lo que has escrito, pero la prueba consiste en lo siguiente:

Como [texx]A\neq \emptyset[/texx], podemos tomar [texx]u_0\in A[/texx], y entonces podemos definir

[texx]y=\{z\in u_0\mid \forall u(u\in A\rightarrow z\in u)\}[/texx]

usando el axioma de especificación. Este conjunto [texx]y[/texx] cumple lo pedido y además es único, porque si hubiera dos, ambos tendrían los mismos elementos, luego el axioma de extensionalidad implicaría que son el mismo.

Dudo que lo que has escrito pueda estar bien, porque así a ojo no veo que uses en ningún momento la hipótesis de que A no es vacío, que es necesaria para que puedas tomar un elemento al que aplicar el axioma de especificación.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 15/08/2018, 11:42:03 am »

No tengo tiempo de analizar todo lo que has escrito, pero la prueba consiste en lo siguiente:

Como [texx]A\neq \emptyset[/texx], podemos tomar [texx]u_0\in A[/texx], y entonces podemos definir

[texx]y=\{z\in u_0\mid \forall u(u\in A\rightarrow z\in u)\}[/texx]

usando el axioma de especificación. Este conjunto [texx]y[/texx] cumple lo pedido y además es único, porque si hubiera dos, ambos tendrían los mismos elementos, luego el axioma de extensionalidad implicaría que son el mismo.

Dudo que lo que has escrito pueda estar bien, porque así a ojo no veo que uses en ningún momento la hipótesis de que A no es vacío, que es necesaria para que puedas tomar un elemento al que aplicar el axioma de especificación.

[texx]\lnot i(A_0,\emptyset)[/texx]

Es demasiado complicado. Tenía que ser más simple. Estoy de acuerdo. Pero no veía como. Sigo sin verlo, pero gracias por la pista. Sigo en ello entre otras cosas.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.690


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 15/08/2018, 04:26:49 pm »

[texx]\lnot i(A_0,\emptyset)[/texx]

Ahí afirmas que [texx]A[/texx] no es vacío, pero no es lo mismo afirmarlo que usarlo en la prueba. No veo que en ningún sitio tomes un elemento de [texx]A[/texx] y hagas nada con él.

Es demasiado complicado. Tenía que ser más simple. Estoy de acuerdo. Pero no veía como. Sigo sin verlo, pero gracias por la pista.

¿Pista? Pero si es prácticamente la demostración completa. ¿Qué más necesitas?
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 15/08/2018, 06:51:16 pm »

[texx]\lnot i(A_0,\emptyset)[/texx]

Ahí afirmas que [texx]A[/texx] no es vacío, pero no es lo mismo afirmarlo que usarlo en la prueba. No veo que en ningún sitio tomes un elemento de [texx]A[/texx] y hagas nada con él.

Es demasiado complicado. Tenía que ser más simple. Estoy de acuerdo. Pero no veía como. Sigo sin verlo, pero gracias por la pista.

¿Pista? Pero si es prácticamente la demostración completa. ¿Qué más necesitas?

Entenderlo. Nada más. Yo me entiendo   :sonrisa:
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.690


Ver Perfil WWW
« Respuesta #6 : 15/08/2018, 07:43:17 pm »

Entenderlo. Nada más. Yo me entiendo   :sonrisa:

Pero a ver:

1) Como [texx]A\neq \emptyset[/texx], podemos tomar [texx]u_0\in A[/texx] ¿Este paso está claro?

2) Defino [texx]y=\{z\in u_0\mid \forall u(u\in A\rightarrow z\in u)\}[/texx]

La existencia de [texx]y[/texx] la tenemos por una aplicación directa del axioma de especificación, con la fórmula [texx]\phi(z)\equiv \forall u(u\in A\rightarrow z\in u)[/texx]. ¿Está claro este paso?

3) Se comprueba que [texx]y[/texx] cumple lo pedido, es decir, que

[texx]\forall z(z\in y\leftrightarrow \forall u(u\in A\rightarrow z\in u))[/texx].

Hay que probar que los elementos de [texx]y[/texx] son los que pertenecen a todos los elementos de [texx]A[/texx], pero [texx]y[/texx] ha sido definido como el conjunto de todos los elementos de [texx]u_0[/texx] (que es un elemento de [texx]A[/texx]) que pertenecen a todos los elementos de [texx]A[/texx]. La condición [texx]z\in u_0[/texx] es redundante, porque ya está contenida en la condición de que [texx]z[/texx] pertenece a todos los elementos de [texx]A[/texx].

Con esto está probado que existe un conjunto [texx]y[/texx] que cumple lo requerido.

4) Si dos conjuntos [texx]y, y'[/texx] cumplen

[texx]\forall z(z\in y\leftrightarrow \forall u(u\in A\rightarrow z\in u))[/texx], [texx]\forall z(z\in y'\leftrightarrow \forall u(u\in A\rightarrow z\in u))[/texx],

entonces

[texx]\forall z(z\in y\leftrightarrow z\in y')[/texx]

luego el axioma de extensionalidad implica que [texx]y=y'[/texx] y tenemos la unicidad. ¿Está claro este paso?

En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 16/08/2018, 11:12:51 am »

Entenderlo. Nada más. Yo me entiendo   :sonrisa:

Pero a ver:

1) Como [texx]A\neq \emptyset[/texx], podemos tomar [texx]u_0\in A[/texx] ¿Este paso está claro?

2) Defino [texx]y=\{z\in u_0\mid \forall u(u\in A\rightarrow z\in u)\}[/texx]

La existencia de [texx]y[/texx] la tenemos por una aplicación directa del axioma de especificación, con la fórmula [texx]\phi(z)\equiv \forall u(u\in A\rightarrow z\in u)[/texx]. ¿Está claro este paso?

Si, creo que ahora si. No veía que    [texx]u[/texx]    podía ser libre en    [texx]\phi(z)[/texx].
Jamás se me hubiese ocurrido plantearlo así. He intentado particularización pero de otra manera, intentando particularizar todas las variables al alcance de algún cuantificador, sin éxito.


3) Se comprueba que [texx]y[/texx] cumple lo pedido, es decir, que

[texx]\forall z(z\in y\leftrightarrow \forall u(u\in A\rightarrow z\in u))[/texx].

Hay que probar que los elementos de [texx]y[/texx] son los que pertenecen a todos los elementos de [texx]A[/texx], pero [texx]y[/texx] ha sido definido como el conjunto de todos los elementos de [texx]u_0[/texx] (que es un elemento de [texx]A[/texx]) que pertenecen a todos los elementos de [texx]A[/texx]. La condición [texx]z\in u_0[/texx] es redundante, porque ya está contenida en la condición de que [texx]z[/texx] pertenece a todos los elementos de [texx]A[/texx].

Con esto está probado que existe un conjunto [texx]y[/texx] que cumple lo requerido.

Parece fácil leyéndolo pero en cuanto levanto la mirada no sé que he leído. No se que falla, por mi parte. ¿Falta fósforo? ¿Faltan neuronas? ¿Estoy espeso? ¿Tiene mucha miga el razonamiento? ¿Falta consolidar conceptos? ¿Quizás cuando haya completado un par de cientos de ejercicios de este tipo?  :indeciso:

4) Si dos conjuntos [texx]y, y'[/texx] cumplen

[texx]\forall z(z\in y\leftrightarrow \forall u(u\in A\rightarrow z\in u))[/texx], [texx]\forall z(z\in y'\leftrightarrow \forall u(u\in A\rightarrow z\in u))[/texx],

entonces

[texx]\forall z(z\in y\leftrightarrow z\in y')[/texx]

luego el axioma de extensionalidad implica que [texx]y=y'[/texx] y tenemos la unicidad. ¿Está claro este paso?

Si. Este paso es fácil.

Muchas gracias. Un saludo.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.690


Ver Perfil WWW
« Respuesta #8 : 16/08/2018, 11:29:38 am »

Si, creo que ahora si. No veía que    [texx]u[/texx]    podía ser libre en    [texx]\phi(z)[/texx].
Jamás se me hubiese ocurrido plantearlo así. He intentado particularización pero de otra manera, intentando particularizar todas las variables al alcance de algún cuantificador, sin éxito.

Pero [texx]u[/texx] no es libre en [texx]\phi(z)[/texx]. Está ligada por el cuantificador [texx]\forall u[/texx]. La que sí que está libre es [texx]A[/texx].

Parece fácil leyéndolo pero en cuanto levanto la mirada no sé que he leído. No se que falla, por mi parte. ¿Falta fósforo? ¿Faltan neuronas? ¿Estoy espeso? ¿Tiene mucha miga el razonamiento? ¿Falta consolidar conceptos? ¿Quizás cuando haya completado un par de cientos de ejercicios de este tipo?  :indeciso:

Tal vez te falte acostumbrarte a olvidarte de patitas de mosca formales cuando trates de encontrar una prueba y pensar en cosas tangibles. Escribir formalmente el argumento es el último paso, y sólo si es imprescindible. En muchos casos es una mera pérdida de tiempo.

¿Ves alguna diferencia si te hablo del conjunto de todos los alumnos que han aprobado todas las asignaturas de primer curso o si te hablo del conjunto de todos los alumnos que han aprobado el álgebra de primero y además han aprobado todas las asignaturas de primer curso? Pues es lo mismo. Y tendrías que convencerte de que es lo mismo antes de ponerte a escribir chirimbolitos matemáticos. Escribir chirimbolitos a ciegas nunca lleva a ninguna parte.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 7.103



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 17/08/2018, 07:22:58 am »



Hola, Buscón. Yo no puedo ayudarte en lo técnico, pero puedo intentar interpretar intuitivamente lo que quiere decir el enunciado, por si pudiera sugerir alguna idea (puede que me equivoque en lo que voy a analizar y lo haga mal, pero aun así puede sugerir algo).

Supongamos, particularmente, que hay sólo dos elementos u1 y u2 que pertenecen a A. Nos dicen que esto implica que existen elementos “z” (podrían ser z1 y z2, por ejemplo) que pertenecen a “u”, siendo “u” los u1 y u2 que hemos supuesto.

O sea, empezando desde atrás: los elementos “z” son elementos respecto de los conjuntos “u”; y estos últimos, a su vez, son elementos respecto del conjunto A.

Nos dicen que tal cosa ocurre sólo y si sólo si “z” pertenece a “y”; es decir, si “z” sólo fueran, por ejemplo,  “z1” y “z2”, éstos pertenecerían a “y” (de igual manera si hubiera más elementos “z”, son siempre elementos de “y”).

Por tanto, no por haber más elementos “z” hay más conjuntos “y”; de momento sólo hay un conjunto “y” y los “z” son sus elementos. Esto entiendo.
Quedado claro  que tenemos además la doble implicación respecto de lo anterior.

Si ahora vuelvo atrás, veo que todos los elementos “z” están en los conjuntos “u”; y “u” son los elementos de “A”; luego sigue habiendo un sólo “y”, no puede salir otro de ninguna parte porque todos los “z”, ya pertenezcan al “u” que sea, están todos en “y”.

Si digo que existen “y2” cuyos elementos son los “z”, entonces “y2” es lo mismo que “y”.  Si digo que “y2” sólo contiene algunos “z”, no todos, entonces, por extensión, está claro que eso no es el conjunto “y”.

Y ya no veo que pueda pasar otra cosa; si hay otro “y” será en “universo” paralelo, pero en éste no.

Saludos.
En línea

Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!