20/08/2018, 08:02:19 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Prueba \(Extension\,y\,Vacío\Rightarrow{\exists !y}\forall{x}(x\not\in y)\).  (Leído 129 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« : 09/08/2018, 07:53:05 am »


Prueba que el Axioma de Extensionalidad,    [texx](A\subseteq{B}\wedge B\subseteq{A}\Rightarrow{A=B})[/texx],    y el Axioma

del Conjunto Vacío,    [texx]\big(\exists{y}.\;\forall{\,x}.(x\not\in{y})\big)[/texx],    implican que    [texx]\exists{!\,y}.\;\forall{\,x}.\;(x\not\in{y})[/texx].


En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 09/08/2018, 09:41:32 am »

Aquí está mi aporte:

Lo que hay que probar es:

[texx]\Big[\left(A\subseteq{B}\wedge B\subseteq{A}\Rightarrow{A=B}\right)\wedge\big(\exists{y}.\;\forall{\,x}.(x\not\in{y})\big)\Big]\Rightarrow{\exists{!\,y}.\;\forall{\,x}.\;(x\not\in{y})}[/texx].

Usando la definición de subconjunto para expresar el Axioma de Extensionalidad en lenguaje de primer orden

[texx]\big[(z\subseteq{y})\wedge(y\subseteq{z})\big]\Rightarrow{(z=y)}\Longleftrightarrow{}\forall{\,x}.\;\big((x\in{z}\Rightarrow{x\in{y}})\wedge (x\in{y}\Rightarrow{x\in{z}})\big)\Rightarrow{(z=y)}[/texx].

El contrarecíproco del miembro de la derecha es

\begin{equation}(z\neq{y})\Rightarrow{\exists{\,x}}.\;\Big[\big((x\in{z})\wedge(x\not\in{y})\big)\vee\big(( x\not\in{z})\wedge(x\in{y})\big)\Big],\end{equation}

ahora, al suponer    [texx]z=\emptyset[/texx],    [texx]y=\emptyset[/texx]    y    [texx]z\neq{y}[/texx],    esto es, que el conjunto vacío no es único, claramente se
contradice 1). Al ser    [texx]z[/texx]    e    [texx]y[/texx]    vacíos no puede ser    [texx]x\in{z}[/texx]    ni tampoco    [texx]x\in{y}[/texx].

Saludos.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.690


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 09/08/2018, 02:52:12 pm »

Tienes que probar que existe un único conjunto vacío, pero al escribir [texx]z=\emptyset[/texx], [texx]y=\emptyset[/texx] ya estás dando por supuesto lo que quieres demostrar. No puedes emplear la notación [texx]\emptyset[/texx] hasta que no tienes garantizado que hay un único conjunto vacío, y así es a ese único conjunto al que llamas [texx]\emptyset[/texx].

En realidad es mucho más simple. Si supones que [texx]\forall x\, x\notin y[/texx] y [texx]\forall x\, x\notin z[/texx], de ahí se deduce que [texx]\forall x(x\in y\leftrightarrow x\in z)[/texx] (ya que ninguno de los dos términos se cumple nunca), y por el axioma de extensionalidad, [texx]y=z[/texx], y eso prueba la unicidad del vacío.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.704


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 09/08/2018, 05:16:04 pm »

En realidad es mucho más simple. Si supones que [texx]\forall x\, x\notin y[/texx] y [texx]\forall x\, x\notin z[/texx], de ahí se deduce que [texx]\forall x(x\in y\leftrightarrow x\in z)[/texx] (ya que ninguno de los dos términos se cumple nunca), y por el axioma de extensionalidad, [texx]y=z[/texx], y eso prueba la unicidad del vacío.

[texx](\lnot a\wedge \lnot b)\Rightarrow{(a\Leftrightarrow{b})}[/texx]

No es tan obvia esa deducción, no veo como. Saludos y gracias.


[texx]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\lnot a&\lnot b&\lnot a\wedge\lnot b&a\Leftrightarrow{b}&\lnot a\wedge\lnot b\Rightarrow{a\Leftrightarrow{b}}\\
\hline
V&V&V&V&V\\
V&F&F&F&V\\
F&V&F&F&V\\
F&F&F&V&V\\
\end{array}
[/texx]

EDITADO.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.690


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 09/08/2018, 06:04:59 pm »

En realidad es mucho más simple. Si supones que [texx]\forall x\, x\notin y[/texx] y [texx]\forall x\, x\notin z[/texx], de ahí se deduce que [texx]\forall x(x\in y\leftrightarrow x\in z)[/texx] (ya que ninguno de los dos términos se cumple nunca), y por el axioma de extensionalidad, [texx]y=z[/texx], y eso prueba la unicidad del vacío.

[texx](\lnot a\wedge \lnot b)\Rightarrow{(a\Leftrightarrow{b})}[/texx]

No es tan obvia esa deducción, no veo como. Saludos y gracias.

Lo que has escrito es una tautología. Sólo tienes que considerar los cuatro valores de verdad posibles para [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] y constatar que la fórmula es siempre verdadera.

De todos modos, has escrito una fórmula de cálculo proposicional (como si Dios no hubiera inventado para algo los cuantificadores) y eso no refleja fielmente la lógica del razonamiento que nos ocupa. En cualquier caso, la fórmula

[texx]\forall x\ x\notin y\land \forall x\, x\notin z\rightarrow \forall x(x\in y\leftrightarrow x\in z)[/texx]

es lógicamente válida. Se puede demostrar sin necesidad de ningún axioma conjuntista. El problema es que se trata de algo tan elemental que la única forma de demostrarlo formalmente es descender al terreno de la lógica de primer orden, es decir, a aplicar reglas de inferencia, tipo eliminación del generalizador, introducción del generalizador, el teorema de deducción, etc.

No sé si eso es lo que esperan que hagas o si simplemente se trata de que reconozcas en el mismo nivel informal en que razonan todos los matemáticos y en el que se razona en todos los libros de matemáticas que si dos conjuntos no tienen elementos, entonces tienen los mismos elementos, que es lo único que dice esa fórmula.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!