conjunto de matrices singulares con coeficientes reales son un espacio vectoria?

[pebarberis]

Necesito ayuda con este ejercio, no se me ocurre como probar que el conjunto es cerrado para la suma, aca va:

Decidir si el conjunto [texx] U [/texx] es un espacio vectorial o no:

 [texx]\mathcal{U}=\{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}):det(A)=0 \} [/texx]

[delmar]

Hola

U no es un espacio vectorial, de hecho no cumple el Ax 1, es decir la suma de dos de sus elementos, no siempre es un elemento de U, se puede demostrar con un contraejemplo.

Para n=2

[texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{1}\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix} \ \in{M_2(R)}, \ det(A)=det(B)=0\Rightarrow{A,B\in{U}}[/texx] pero [texx]A+B=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{3}&{4}\end{bmatrix}, \ det(A+B)=1\neq{0}\Rightarrow{A+B\not\in{U}}[/texx]. Por lo tanto U no cumple el Ax 1, no es un espacio vectorial.


Saludos