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Autor Tema: Demostración de Subsucesiones y convergencia  (Leído 232 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
walter_zerocool
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« : 08/08/2018, 02:56:43 pm »

Hola, espero puedan ayudarme, ya le busqué  :BangHead: :BangHead: :BangHead: y no se cómo demostrar lo siguiente:

Demuestre que una sucesión [texx]\left\{ a_n \right\}[/texx] en un espacio métrico converge a [texx]x[/texx] si y sólo si toda subsucesión de [texx]\left\{ a_n \right\}[/texx] tiene a [texx]x[/texx] como punto de acumulación. Por lo tanto [texx]\left\{ a_n \right\}[/texx] converge a [texx]x[/texx] si toda subsucesión tiene a su vez una subsucesión que converge a [texx]x[/texx].

Saludos
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lindeloff
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tiempo=infinito y nuestro tiempo de vida=finito


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« Respuesta #1 : 09/08/2018, 07:27:52 pm »

Hola
me parece que por absurdo
supone que

[texx]\{a_{n}\}[/texx] no converge a [texx]x[/texx]

entonces existe un [texx]\epsilon >0[/texx] de modo que
[texx]d(a_{n}, x)\geq{}\epsilon[/texx] para infinitos valores de [texx]n[/texx] (no tiene porque ser todos los [texx]n[/texx], sino infinitos)

y de ahi te creas una subsucesión con los infinitos términos que verifican esa desigualdad

entonces ahora por hipótesis esa subsucesión tiene una subsucesión que converge a [texx]x[/texx]

y por lo tanto con ese [texx]\epsilon[/texx] va a existir un [texx]n_{0}[/texx] a partir del cual esa
sub-(sub-sucesión) (está mal nombrada así pero se entiende la ambigüedad)

verifque [texx]d(a_{n_{j_{k}}}, x)<\epsilon[/texx] , [texx]\forall k>n_{0}[/texx]


y ahí hay un absurdo porque no puede verificar ambas desigualdad a la vez


hay que chequearlo, creo así sale









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