20/08/2018, 08:01:24 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Triángulo dado la recta tangente y normal a una hipérbola  (Leído 169 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
victorescobar
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 53


Ver Perfil
« : 07/08/2018, 04:14:05 pm »

He aquí mi duda.
Considera la hipérbola [texx]xy=1[/texx] Para cada [texx]a\geq{}1[/texx] determina la ecuaciónes de la rectas tangente y normal en el punto [texx]P=(a,\displaystyle\frac{1}{a})[/texx].
Este apartado lo resuelvo con la Ecuación de la recta tangente

[texx]y-y_o=f'(x_o)(x-x_o)[/texx]
y la normal sabiendo que es [texx]\displaystyle\frac{1}{f'(x_o)}[/texx]

Haciendo los calculo me sale la recta tangente

[texx]y=-\displaystyle\frac{1}{a^2}x+\displaystyle\frac{2}{a}[/texx]

Y la normal

[texx]y=a^2x-\displaystyle\frac{a^4+1}{a}[/texx]

En el apartado 2 me piden calcular los puntos [texx]T[/texx] y [texx]N [/texx] donde estas rectas cortan respectivamente al eje [texx]OX[/texx] y me piden calcular el triángulo de vértice [texx]TPN[/texx] y calcular el triángulo cuya área sea máxima.

Donde cortan al eje [texx]OX[/texx] es cuando [texx]y=0[/texx]
De la recta tangente:
[texx]T=(2a,0)[/texx]
De la recta normal:
[texx]N=(\displaystyle\frac{a^4+1}{a^3},0)[/texx]

Entonces hallo la distancia de [texx]\left |{\overrightarrow{TN}}\right |[/texx] que me da [texx]\displaystyle\frac{a^4+1}{a^3}[/texx] y sería la base del triángulo.

Después hallo la distancia del Punto [texx]P[/texx] al Punto [texx]P(a,0)[/texx] y me sale [texx]\displaystyle\frac{1}{a}
[/texx] y hallo la altura.

Como el área de un triángulo es base por altura entre dos me sale:[texx]A(a)=\displaystyle\frac{a^4+1}{2a^4}[/texx]

Después al optimizarlo la derivada [texx]A'(a)=-\displaystyle\frac{2}{a^5}[/texx]

Y al igualarlo a cero me da una indeterminación, en que me he confundido?. Espero que me puedan ayudar. Saludos
En línea
hméndez
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 210


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 07/08/2018, 09:31:30 pm »

He aquí mi duda.
Considera la hipérbola [texx]xy=1[/texx] Para cada [texx]a\geq{}1[/texx] determina la ecuaciónes de la rectas tangente y normal en el punto [texx]P=(a,\displaystyle\frac{1}{a})[/texx].
Este apartado lo resuelvo con la Ecuación de la recta tangente

[texx]y-y_o=f'(x_o)(x-x_o)[/texx]
y la normal sabiendo que es [texx]\displaystyle\frac{1}{f'(x_o)}[/texx]

...

Debe ser [texx]\displaystyle -\frac{1}{f'(x_o)}[/texx]




Y la normal

[texx]y=a^2x-\displaystyle\frac{a^4+1}{a}[/texx]

...
[texx]T=(2a,0)[/texx]
De la recta normal:
[texx]N=(\displaystyle\frac{a^4+1}{a^3},0)[/texx]

...

Debe ser

[texx]y=a^2x+\displaystyle\frac{-a^4+1}{a}[/texx]

[texx]N=(\displaystyle\frac{a^4-1}{a^3},0)[/texx]

...
Después al optimizarlo la derivada [texx]A'(a)=-\displaystyle\frac{2}{a^5}[/texx]

Y al igualarlo a cero me da una indeterminación, en que me he confundido?. Espero que me puedan ayudar. Saludos


Sí, en efecto, tienes una función [texx]A(a)=\displaystyle\frac{a^4+1}{2a^4}[/texx] cuya derivada da [texx]A'(a)=-\displaystyle\frac{2}{a^5}[/texx] que nunca se anula y no existe para [texx]a=0[/texx],
pero como el intervalo de estudio para la función área [texx]A[/texx] es [texx][1, +\infty[[/texx], [texx]a=0[/texx] está fuera del intervalo de estudio
y por tanto [texx]A[/texx] no tiene candidato a extremo absoluto en el interior de su dominio [texx][1, +\infty[[/texx].

Tienes entonces una función [texx] A[/texx] tan solo con  derivada negativa en [texx][1, +\infty[[/texx], lo que significa que esta es
estrictamente decreciente y por tanto su máximo absoluto ocurre para [texx]a=1[/texx] y vale [texx] A(1) = 1[/texx].

Saludos

En línea
victorescobar
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 53


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 10/08/2018, 10:18:35 am »

Y esta función tendría mínimo absoluto en el infinito con un límite o no se podría demostrar?.

Muchas gracias por tu respuesta.

Saludos
En línea
hméndez
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 210


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 10/08/2018, 01:52:46 pm »

Y esta función tendría mínimo absoluto en el infinito con un límite o no se podría demostrar?.

Muchas gracias por tu respuesta.

Saludos

Sí.  [texx]A\rightarrow{}\displaystyle\frac{1}{2}[/texx] cuando [texx]a\rightarrow{}+\infty[/texx].

Aunque [texx]\displaystyle\frac{1}{2}[/texx] no es segun la definición, un mínimo absoluto de [texx]A[/texx], pues no
es imagen de ningun elemento de su dominio, podemos llamarlo más bien el ínfimo de [texx]A[/texx], pues es la mayor
entre las infinidades de cotas inferiores que tiene [texx]A[/texx].

Saludos
En línea
victorescobar
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 53


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 11/08/2018, 05:12:20 pm »

Muchas gracias
Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!