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Autor Tema: Calcular las raíces cúbicas de w  (Leído 427 veces)
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« : 07/08/2018, 03:29:55 pm »

Hola me dan [texx]z_1\neq{}0[/texx] que es una de las raíces sextas de [texx]w \in{}C[/texx], me piden calcular las raíces cúbicas de [texx]w[/texx].
Bien, yo hago lo siguiente:


[texx]w=\rho e^{i(\theta +2\pi k)}[/texx]

La raíces sextas serán de la forma:
[texx]
\left(w\right)^{1/6}=\rho^{1/6}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{6}}=z_1[/texx]

La raíz cúbica de [texx]w[/texx] sera:
[texx]
\left(w\right)^{1/3}=\rho^{1/3}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{3}}[/texx]

[texx]z_1^2=\rho^{1/3}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{3}}[/texx]

Entonces la raíz cúbica de [texx]w[/texx] sería [texx]z_1^2[/texx].
El problema es que de las soluciones que me dan el ejercicio ninguna se corresponde a esta. Dónde he fallado. saludos

Soluciones

a)[texx]e^{\frac{2πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
b)[texx]-e^{\frac{2πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
c)[texx]e^{\frac{πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]

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« Respuesta #1 : 08/08/2018, 12:57:01 am »

Hola me dan [texx]z_1\neq{}0[/texx] que es una de las raíces sextas de [texx]w \in{}C[/texx], me piden calcular las raíces cúbicas de [texx]w[/texx].
Bien, yo hago lo siguiente:


[texx]w=\rho e^{i(\theta +2\pi k)}[/texx]

La raíces sextas serán de la forma:
[texx]
\left(w\right)^{1/6}=\rho^{1/6}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{6}}=z_1[/texx]

La raíz cúbica de [texx]w[/texx] sera:
[texx]
\left(w\right)^{1/3}=\rho^{1/3}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{3}}[/texx]

[texx]z_1^2=\rho^{1/3}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{3}}[/texx]

Entonces la raíz cúbica de [texx]w[/texx] sería [texx]z_1^2[/texx].
El problema es que de las soluciones que me dan el ejercicio ninguna se corresponde a esta. Dónde he fallado. saludos

Soluciones

a)[texx]e^{\frac{2πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
b)[texx]-e^{\frac{2πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
c)[texx]e^{\frac{πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]



Hay algo que no veo claro, al principio dices que debes calcular las raices cúbicas de w, pero al final creo que buscas una sola. :¿eh?:
Si se trata de buscar una cualquiera de las tres distintas que existen, a partir de una cualquiera de las raices sextas de w, entonces:

[texx]z_{1}=w^{1/6}[/texx]
[texx]z_{1} ^2=w^{1/3}[/texx] (una raiz cúbica de w)

[texx]z_{1} ^2[/texx] es una raiz cúbica de [texx]w[/texx] las otras dos que faltan son por ejemplo [texx]e^{\frac{2\pi}{3}i}z_{1} ^2\;,\;e^{\frac{4\pi}{3}i}z_{1} ^2[/texx]  (para argumentos en el intervalo [texx][0, \;2\pi) [/texx]).

Obviamente de las tres raices solo la segunda ( [texx]e^{\frac{2\pi}{3}i}z_{1}^2 [/texx] ) sería la única opción correcta (respuesta a).

Saludos
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« Respuesta #2 : 10/08/2018, 08:32:46 am »

Muchas gracias amigo.

Saludos
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