Siento ser pesado, pero no veo otra manera.
[texx]\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}[/texx]
lo que esta entre los símbolos [texx]\{\}[/texx], (éstos incluidos), o bien es un conjunto si pertenece a una clase, o bien es simplemente una clase, ("clase propia" si se prefiere), si no pertenece a ninguna otra clase, o bien es algo que La Teoría de Conjuntos no abarca.
¿Es correcto?
Es como si me dices que una sardina puede ser un pez, un medio de transporte o un planeta extragaláctico. Es verdad, pero no es decir mucho. En este caso esa expresión representa a una clase propia, cosa que es fácil de probar siguiendo la indicación que te di en mi primera respuesta.
Es una clase propia porque si supones que es un conjunto se llega fácilmente a una contradicción.
Perdona que insista:
Es claro que, si para verificar la fórmula se debe cumplir que no exista ningún [texx]z[/texx] tal que
[texx]z\in{x}[/texx] y [texx]x\in{z}[/texx], todo [texx]x[/texx] que deba verificar la fórmula para ser un elemento de la clase que determina dicha fórmula, debe verificar por fuerza cada una de las condiciones, esto es, no debe existir ningún [texx]z[/texx] tal que [texx]z\in{x}[/texx] y esto hace a [texx]x[/texx] vacío.
No, eso no es cierto, y no pasará a serlo porque lo repitas muchas veces. Si en las normas de pertenencia a un club lees que es necesario no tener ningún hijo de menos de cinco años, de ahí no puedes deducir que los miembros del club no tienen hijos, y eso es lo que pretendes.
Si para pertenecer al club es necesario no tener un coche Diésel azul, eso no implica que sea necesario no tener un coche azul. Se puede tener un coche azul, siempre y cuando no sea Diésel.
Igualmente, para que [texx]x[/texx] pertenezca a la clase es necesario (y suficiente) que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in z\land z\in x[/texx], pero eso no impide que [texx]x[/texx] esté en la clase y exista un [texx]z\in x[/texx], siempre y cuando no se cumpla también [texx]x\in z[/texx].
[texx]x\in{\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}}\Rightarrow{\not\exists{\,z}.\;z\in{x}}\equiv{x=\emptyset}[/texx]
Quizás sea la clase de todas las clases que tienen al conjunto vacío como elemento.
No. El conjunto [texx]x=\{\{\emptyset\}\}[/texx] está en esa clase, y no tiene al conjunto vacío como elemento. Está en esa clase porque no existe ningún [texx]z\in x[/texx] tal que [texx]x\in z[/texx]. Si que existe un [texx]z\in x[/texx], que es [texx]z=\{\emptyset\}[/texx], pero ese único [texx]z[/texx] no cumple [texx]x\in z[/texx], pues el único elemento de [texx]z[/texx] es [texx]\emptyset[/texx], que no es [texx]x[/texx].
Un pequeño detalle:
para que [texx]x[/texx] pertenezca a la clase que determina la fórmula debe verificar también que no existe ningún [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in{z}[/texx].
No, eso no es cierto. La definición de esa clase no exige que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in z[/texx]. Sólo exige que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in z[/texx] y además [texx]z\in x[/texx]. No es lo mismo pedir que no tenga un coche azul Diésel que pedir que no tenga un coche azul.
Esto es contradictorio, hay muchas clases que tienen al conjunto vacío como elemento, lo que hace posible interpretar que la fórmula no es válida para expresar ningún objeto de La Teoría de Conjuntos o que se trata de la clase vacía.
No. Ni es la clase vacía (tiene infinitos elementos) y es una clase perfectamente definida por una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos. Eso lo puedes afirmar
a priori. Si una fórmula está bien escrita, entonces es válida y define una clase. No puede ser que no lo sea porque luego no te cuadren las cosas.