Demostrar \(\;\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\}\;\) es clase propia.

[Carlos Ivorra]

Siento ser pesado, pero no veo otra manera.

[texx]\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}[/texx]

lo que esta entre los símbolos    [texx]\{\}[/texx],    (éstos incluidos), o bien es un conjunto si pertenece a una clase, o bien es simplemente una clase, ("clase propia" si se prefiere), si no pertenece a ninguna otra clase, o bien es algo que La Teoría de Conjuntos no abarca.

¿Es correcto?

Es como si me dices que una sardina puede ser un pez, un medio de transporte o un planeta extragaláctico. Es verdad, pero no es decir mucho. En este caso esa expresión representa a una clase propia, cosa que es fácil de probar siguiendo la indicación que te di en mi primera respuesta.

Es una clase propia porque si supones que es un conjunto se llega fácilmente a una contradicción.

Perdona que insista:

Es claro que, si para verificar la fórmula se debe cumplir que no exista ningún    [texx]z[/texx]    tal que   
 [texx]z\in{x}[/texx]    y    [texx]x\in{z}[/texx],    todo    [texx]x[/texx]    que deba verificar la fórmula para ser un elemento de la clase que determina dicha fórmula, debe verificar por fuerza cada una de las condiciones, esto es, no debe existir ningún    [texx]z[/texx]    tal que    [texx]z\in{x}[/texx]    y esto hace a    [texx]x[/texx]    vacío.

No, eso no es cierto, y no pasará a serlo porque lo repitas muchas veces. Si en las normas de pertenencia a un club lees que es necesario no tener ningún hijo de menos de cinco años, de ahí no puedes deducir que los miembros del club no tienen hijos, y eso es lo que pretendes.

Si para pertenecer al club es necesario no tener un coche Diésel azul, eso no implica que sea necesario no tener un coche azul. Se puede tener un coche azul, siempre y cuando no sea Diésel.

Igualmente, para que [texx]x[/texx] pertenezca a la clase es necesario (y suficiente) que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in z\land z\in x[/texx], pero eso no impide que [texx]x[/texx] esté en la clase y exista un [texx]z\in x[/texx], siempre y cuando no se cumpla también [texx]x\in z[/texx].

[texx]x\in{\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}}\Rightarrow{\not\exists{\,z}.\;z\in{x}}\equiv{x=\emptyset}[/texx]

Quizás sea la clase de todas las clases que tienen al conjunto vacío como elemento.

No. El conjunto [texx]x=\{\{\emptyset\}\}[/texx] está en esa clase, y no tiene al conjunto vacío como elemento. Está en esa clase porque no existe ningún [texx]z\in x[/texx] tal que [texx]x\in z[/texx]. Si que existe un [texx]z\in x[/texx], que es [texx]z=\{\emptyset\}[/texx], pero ese único [texx]z[/texx] no cumple [texx]x\in z[/texx], pues el único elemento de [texx]z[/texx] es [texx]\emptyset[/texx], que no es [texx]x[/texx].

Un pequeño detalle:

para que    [texx]x[/texx]     pertenezca a la clase que determina la fórmula debe verificar también que no existe ningún    [texx]z[/texx]      tal que    [texx]x\in{z}[/texx]. 

No, eso no es cierto. La definición de esa clase no exige que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in z[/texx]. Sólo exige que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]x\in z[/texx] y además [texx]z\in x[/texx]. No es lo mismo pedir que no tenga un coche azul Diésel que pedir que no tenga un coche azul.

Esto es contradictorio, hay muchas clases que tienen al conjunto vacío como elemento, lo que hace posible interpretar que la fórmula no es válida para expresar ningún objeto de La Teoría de Conjuntos o que se trata de la clase vacía.

No. Ni es la clase vacía (tiene infinitos elementos) y es una clase perfectamente definida por una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos. Eso lo puedes afirmar a priori. Si una fórmula está bien escrita, entonces es válida y define una clase. No puede ser que no lo sea porque luego no te cuadren las cosas.

[manooooh]

Hola

Buscón, te admiro por los resultados a los que llegás y que los publiques, y está bueno que sean corregidos para entender mejor los conceptos teóricos de conjuntos.

De todas maneras, si me permitís una apreciación personal, si es que preguntás porque no entendés lo que Carlos quiere hacerte entender, no te frustres. Está buenísimo equivocarse una y otra vez. En lo posible no tropezar con la misma piedra (como me pasa a mí) pero eso da cuenta de que avanzaste en la teoría pero necesitás que las cosas sean repetidas una vez más.

¡¡Ánimo compañero!! . ¡¡Tus publicaciones, en especial las de Cálculo de una variable son magníficas!!

A no frustarse con esto y a ver cuándo publicás ejercicios de varias variables que los necesito tanto .

Un saludo

[Buscón]

Siento ser pesado, pero no veo otra manera.

[texx]\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}[/texx]

lo que esta entre los símbolos    [texx]\{\}[/texx],    (éstos incluidos), o bien es un conjunto si pertenece a una clase, o bien es simplemente una clase, ("clase propia" si se prefiere), si no pertenece a ninguna otra clase, o bien es algo que La Teoría de Conjuntos no abarca.

¿Es correcto?

Es como si me dices que una sardina puede ser un pez, un medio de transporte o un planeta extragaláctico. Es verdad, pero no es decir mucho. En este caso esa expresión representa a una clase propia, cosa que es fácil de probar siguiendo la indicación que te di en mi primera respuesta.

Es una clase propia porque si supones que es un conjunto se llega fácilmente a una contradicción.

Si se supone que es una clase no vacía tiene que existir    [texx]x_0[/texx]    tal que, si    [texx]x_0\in{\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}}[/texx],    entonces, o bien    [texx]x_0\not\in{z}[/texx],    o bien    [texx]z\not\in{x_0}[/texx],   para todo    [texx]z[/texx].     ¿Correcto?

[Carlos Ivorra]

Si se supone que es una clase no vacía tiene que existir    [texx]x_0[/texx]    tal que, si    [texx]x_0\in{\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}}[/texx],    entonces, o bien    [texx]x_0\not\in{z}[/texx],    o bien    [texx]z\not\in{x_0}[/texx],   para todo    [texx]z[/texx].     ¿Correcto?

No es que se suponga que es una clase no vacía. Admitiendo el axioma de regularidad, esa clase es simplemente la clase de todos los conjuntos. Como [texx]x_0[/texx] puedes el primer conjunto que se te ocurra, que servirá, porque no es posible demostrar que haya conjuntos que no están en esa clase.

Por ejemplo, si tomas [texx]x_0 = \{\emptyset\}[/texx], se cumple, para todo [texx]z[/texx], o bien que  [texx]x_0\not\in{z}[/texx],    o bien    [texx]z\not\in{x_0}[/texx]. Ahora, se dará un caso u otro según qué [texx]z[/texx] tomes. Si tomas [texx]z= \emptyset[/texx], entonces se da el caso [texx]x_0\not\in{z}[/texx], mientras que si tomas [texx]z = \{\{\emptyset\}\}[/texx], entonces falla [texx]x_0\not\in{z}[/texx], pero es que se da el segundo caso, [texx]z\not\in{x_0}[/texx].

En resumen, la respuesta a tu pregunta es que sí, se cumple  [texx]x_0\not\in{z}[/texx],    o bien    [texx]z\not\in{x_0}[/texx],   para todo    [texx]z[/texx], pero entendiendo que no tiene por qué darse el primer caso para todo [texx]z[/texx] ni el segundo para todo [texx]z[/texx], sino que para unos [texx]z[/texx] se dará el primer caso y para otros se dará el segundo (siempre con el mismo [texx]x_0[/texx]).

En un club donde se exija a sus miembros no tener coche azul Diésel, habrá miembros sin coche azul y miembros sin coche Diésel, pero ni tiene por qué ser cierto que ninguno tenga coche azul, ni tiene por qué ser cierto que ninguno tenga coche Diésel. En cada socio del club se dará un caso o el otro y tal vez los dos.

[Buscón]

...
Por ejemplo, el conjunto vacío no pertenece al conjunto [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx], ya que éste tiene un único elemento, el cual no es el vacío, sino el conjunto [texx]\{\emptyset\}[/texx], que tiene un elemento (el conjunto vacío).
...

No estoy de acuerdo. Es claro que    [texx]\emptyset\in{\{\emptyset\}}[/texx]    y    [texx]\{\emptyset\}\subset{\big\{\{\emptyset\}\big\}}[/texx],    así que, por definición

[texx]\emptyset\in{\{\emptyset\}}\Rightarrow{\emptyset\in{\big\{\{\emptyset\}\big\}}}[/texx]

[Buscón]

...Admitiendo el axioma de regularidad, esa clase es simplemente la clase de todos los conjuntos...

Pues se parece más a la clase de conjuntos que no tienen entre sus conjuntos ningún conjunto al que pertenecen.


Saludos y gracias por la paciencia infinita.

[Carlos Ivorra]

No estoy de acuerdo. Es claro que    [texx]\emptyset\in{\{\emptyset\}}[/texx] 

Cierto.

  y    [texx]\{\emptyset\}\subset{\big\{\{\emptyset\}\big\}}[/texx],

Falso. Si fuera cierto se tendría que

por definición

[texx]\emptyset\in{\{\emptyset\}}\Rightarrow{\emptyset\in{\big\{\{\emptyset\}\big\}}}[/texx]

Pero esto es falso, pues el único elemento de [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx] es [texx]\{\emptyset\}[/texx], luego tendría que ser [texx]\emptyset = \{\emptyset\}[/texx], y esto es falso, ya que el conjunto de la derecha no es vacío (tiene 1 elemento).

...Admitiendo el axioma de regularidad, esa clase es simplemente la clase de todos los conjuntos...

Pues se parece más a la clase de conjuntos que no tienen entre sus conjuntos ningún conjunto al que pertenecen.

Si, y el autor de El Quijote se parece más a Miguel de Cervantes que al Manco de Lepanto. Pero no tiene sentido hablar de parecidos cuando hablamos de distintas formas de referirse al mismo ente.

Bajo el axioma de regularidad, la clase de todos los conjuntos es la misma que la clase de todos los conjuntos que no tienen entre sus conjuntos ninún conjunto al que pertenecen. Son dos formas de referirse a la misma clase, una más directa y otra más retorcida.

[feriva]

,por definición

[texx]\emptyset\in{\{\emptyset\}}\Rightarrow{\emptyset\in{\big\{\{\emptyset\}\big\}}}[/texx]

Esto no se entiende así [texx]{\emptyset\in{\big\{\{\emptyset\}\big\}}}
 [/texx]; sí sería verdad esto [texx]{\emptyset\in{\big\{\{\emptyset\},\emptyset\big\}}}
 [/texx], que es un conjunto diferente del otro; tiene dos elementos, el primero tiene uno.

Perdón, que ya había respondido a esto Carlos

Quizá esto ayude: piensa, por ejemplo, que una forma igualmente válida de representar el vacío es ésta [texx]\emptyset=\{\}
 [/texx]

Saludos.

[Buscón]

Mama mía que pez estoy!

[texx]\left.\begin{array}-B=\{A,4,5\}\\A=\{1,2,3\}\end{array}\not\Rightarrow{1\in{B}}\right\}[/texx]?

Gracias.

[Carlos Ivorra]

[texx]\left.\begin{array}-B=\{A,4,5\}\\A=\{1,2,3\}\end{array}\not\Rightarrow{1\in{B}}\right\}[/texx]?

En efecto, en esas condiciones [texx]1\notin B[/texx], porque [texx]1[/texx] es distinto de [texx]A[/texx], de 4 y de 5.

[Buscón]

[texx]\left.\begin{array}-B=\{A,4,5\}\\A=\{1,2,3\}\end{array}\not\Rightarrow{1\in{B}}\right\}[/texx]?

En efecto, en esas condiciones [texx]1\notin B[/texx], porque [texx]1[/texx] es distinto de [texx]A[/texx], de 4 y de 5.

Pues eternamente agradecido. Estas cosas no se olvidan.

¿[texx]\bigcup{B}=\{1,2,3,4,5\}\neq{B}[/texx]?

EDITADO.

[Buscón]

Quizá esto ayude: piensa, por ejemplo, que una forma igualmente válida de representar el vacío es ésta [texx]\emptyset=\{\}
 [/texx]

Ya, muchas gracias. Llegué incluso a pensar que, como conjuntos    [texx]1=\{\}=\emptyset[/texx],    [texx]a=\{\}=\emptyset[/texx]... pero es descabellado, no lo permite el axioma del conjunto vacío que dice que es único.

Un saludo.

[feriva]

Quizá esto ayude: piensa, por ejemplo, que una forma igualmente válida de representar el vacío es ésta [texx]\emptyset=\{\}
 [/texx]

Ya, muchas gracias. Llegué incluso a pensar que, como conjuntos    [texx]1=\{\}=\emptyset[/texx],    [texx]a=\{\}=\emptyset[/texx]... pero es descabellado, no lo permite el axioma del conjunto vacío que dice que es único.

Un saludo.

No, claro, es que incluso gráficamente es antiestético; por ejemplo:

[texx]\{1,2,3\}\cap\{\}\equiv\{\}
 [/texx]; es verdad que lo único en común a los dos lados de la intersección son las llaves; literalmente hablando, independientemente de lo que signifiquen las llaves.

En cambio:

[texx]\{1,2,3\}\cap\{\}\equiv1
 [/texx]; por una parte aparece el 1, que no está a ambos lados del signo intersección; pero, además, por otra parte no aparecen las llaves, que sí que están a ambos lados.

Cada símbolo tiene peso como elemento, pero normalmente no representan un elemento cualquiera.

Saludos, buenas noches.

[Buscón]

A no frustarse con esto y a ver cuándo publicás ejercicios de varias variables que los necesito tanto .

¿El próximo año?    Con querer seguir aprendiendo tengo más que suficiente. 

Saludos.