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Autor Tema: Demostrar \(\;\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\}\;\) es clase propia.  (Leído 532 veces)
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« : 06/08/2018, 12:26:07 pm »


Demostrar que [texx]\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}[/texx]    es una clase propia.

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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 06/08/2018, 01:30:31 pm »

Supón que es un conjunto y llámalo [texx]A[/texx]. Razona como en la paradoja de Russell que llegas a una contradicción tanto si supones que [texx]\{A\}\in A[/texx] como si supones que [texx]\{A\}\notin A[/texx]. Así concluyes que no puede existir tal conjunto.
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« Respuesta #2 : 06/08/2018, 07:29:23 pm »

Supón que es un conjunto y llámalo [texx]A[/texx]. Razona como en la paradoja de Russell que llegas a una contradicción tanto si supones que [texx]\{A\}\in A[/texx] como si supones que [texx]\{A\}\notin A[/texx]. Así concluyes que no puede existir tal conjunto.

Yo había razonado lo siguiente, expresando el mismo "conjunto" de otro modo

[texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}[/texx],


esto dice que:

   1.-    o bien    [texx]x[/texx]    no tiene elementos, esto es,    [texx]x=\emptyset[/texx],    puesto que    [texx]\forall{\,z}.\;z\not\in{x}[/texx],

   2.-    o bien    [texx]x[/texx]    no pertenece a ningún conjunto,

   3.-    o ambas, pero esto último no puede ser ya que el conjunto vacío siempre pertenece al conjunto potencia.

Si es 1.- se trata del conjunto    [texx]\{\emptyset\}[/texx]    y si es 2.- no se trata de un conjunto sino de una clase propia por definición.

Aunque con muchas dudas. Si consideramos conjuntos, por ejemplo, los números naturales cada número natural es un conjunto vacío, lo que además contradice que el conjunto vacío sea único.
 
Saludos.

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« Respuesta #3 : 06/08/2018, 07:55:16 pm »

Yo había razonado lo siguiente, expresando el mismo "conjunto" de otro modo

[texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}[/texx],


esto dice que:

   1.-    o bien    [texx]x[/texx]    no tiene elementos, esto es,    [texx]x=\emptyset[/texx],    puesto que    [texx]\forall{\,z}.\;z\not\in{x}[/texx],

   2.-    o bien    [texx]x[/texx]    no pertenece a ningún conjunto,

   3.-    o ambas, pero esto último no puede ser ya que el conjunto vacío siempre pertenece al conjunto potencia.

Si es 1.- se trata del conjunto    [texx]\{\emptyset\}[/texx]    y si es 2.- no se trata de un conjunto sino de una clase propia por definición.

Pero esto no tiene ni pies ni cabeza. La clase de la que te hablan tiene muchísimos elementos. Expresando la definición con palabras, es la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a ninguno de sus elementos. Eso lo cumplen todos los conjuntos "normales". De hecho, si admitimos el axioma de fundación, la clase que te dan no es ni más ni menos que la clase de todos los conjuntos. No sé que te lleva a concluir que pueda ser [texx]\{\emptyset\}[/texx]. Por, ejemplo, [texx]\{\emptyset\}[/texx] es otro elemento de esa clase (distinto de [texx]\emptyset[/texx]), y [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx] es un tercer element de esa clase, y así puedes encontrarle infinitos elementos más.

Tampoco sé por qué dices que es una clase propia por definición. De hecho, tu condición 2) tampoco puede darse, porque todo conjunto [texx]x[/texx] pertenece a otro conjunto, por ejemplo a [texx]\{x\}[/texx] (y a muchos más).

Como digo, una vía de razonamiento es probar que esa clase es la clase de todos los conjuntos usando el axioma de fundación, o probando que contiene a la clase de los conjuntos regulares (que son los conjuntos "normales" que se usan habitualmente en matemáticas, que no cumplen cosas raras como pertenecer a sus elementos), pero como es probable que no hayas visto nada de eso, por eso te sugería que imitaras el razonamiento de la paradoja de Russell, que no requiere saber nada de todo esto.

Aunque con muchas dudas. Si consideramos conjuntos, por ejemplo, los números naturales cada número natural es un conjunto vacío lo que además contradice que el conjunto vacío sea único.
 

Pero es que los números naturales no son conjuntos vacíos. Con la construcción habitual, se tiene que

[texx]0 = \emptyset, 1 = \{0\}, 2 = \{0, 1\}, 3 = \{0, 1, 2\}, \ldots[/texx]

Pero cuando se construyen los números enteros y se identifica a los naturales con parte de los enteros, los naturales dejan de ser los conjuntos anteriores y pasan a ser clases de equivalencia de pares de números naturales (que tampoco son conjuntos vacíos), y cuando se construyen los números racionales pasan a ser clases de equivalencia de pares de números enteros, (que tampoco son vacías) y cuando se construyen los números reales pasan a ser subconjuntos de [texx]\mathbb Q[/texx], o bien clases de equivalencia de sucesiones de números racionales (según la construcción que se elija) y cuando se construyen los números complejos pasan a ser pares de números reales. En cualquier caso, no hay más conjunto vacío que el conjunto vacío.
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« Respuesta #4 : 06/08/2018, 08:15:34 pm »

Hola

Me desvío del tema principal con una cita de Carlos:

Pero cuando se construyen los números enteros y se identifica a los naturales con parte de los enteros, los naturales dejan de ser los conjuntos anteriores y pasan a ser clases de equivalencia de pares de números naturales (que tampoco son conjuntos vacíos), y cuando se construyen los números racionales pasan a ser clases de equivalencia de pares de números enteros, (que tampoco son vacías) y cuando se construyen los números reales pasan a ser subconjuntos de [texx]\mathbb Q[/texx], o bien clases de equivalencia de sucesiones de números racionales (según la construcción que se elija) y cuando se construyen los números complejos pasan a ser pares de números reales. En cualquier caso, no hay más conjunto vacío que el conjunto vacío.

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Gracias y saludos
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« Respuesta #5 : 06/08/2018, 08:30:42 pm »

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« Respuesta #6 : 06/08/2018, 08:52:38 pm »

Hola

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« Respuesta #7 : 06/08/2018, 09:21:45 pm »

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« Respuesta #8 : 06/08/2018, 09:39:09 pm »

Hola

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« Respuesta #9 : 07/08/2018, 08:16:52 am »

Yo había razonado lo siguiente, expresando el mismo "conjunto" de otro modo

[texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}[/texx],


esto dice que:

   1.-    o bien    [texx]x[/texx]    no tiene elementos, esto es,    [texx]x=\emptyset[/texx],    puesto que    [texx]\forall{\,z}.\;z\not\in{x}[/texx],

   2.-    o bien    [texx]x[/texx]    no pertenece a ningún conjunto,

   3.-    o ambas, pero esto último no puede ser ya que el conjunto vacío siempre pertenece al conjunto potencia.

Si es 1.- se trata del conjunto    [texx]\{\emptyset\}[/texx]    y si es 2.- no se trata de un conjunto sino de una clase propia por definición.

Pero esto no tiene ni pies ni cabeza. La clase de la que te hablan tiene muchísimos elementos. Expresando la definición con palabras, es la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a ninguno de sus elementos.

La clase    [texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}[/texx],    expresada en palabras es la clase cuyos elementos son, (por comprensión):

"las clases cuyos elementos no tienen elementos, más, las clases que no pertenecen a ninguna clase",

esto es, la clase vacía, (única), unida con todas las clases propias. ¿No?


No sé que te lleva a concluir que pueda ser [texx]\{\emptyset\}[/texx]. Por, ejemplo, [texx]\{\emptyset\}[/texx] es otro elemento de esa clase (distinto de [texx]\emptyset[/texx]), y [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx] es un tercer element de esa clase, y así puedes encontrarle infinitos elementos más.

Desmenuzando la clase

[texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}\equiv{\cancel{\underbrace{\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}]\big\}}_{I}}}\cup\cancel{{\underbrace{\big\{x:\forall{\,z}.\;[z\not\in{x}]\big\}}_{II}}}[/texx],

[texx]\equiv{{\underbrace{\big\{x:\;[x\not\in{z}]\big\}}_{I}}\cup{\underbrace{\big\{x:\;[z\not\in{x}]\big\}}_{II}}}[/texx]   para todo     [texx]z[/texx]

las clases de la derecha necesariamente tienen que ser disjuntas porque    [texx]\forall{\,y}.\;z=\mathcal{P}(y)\Rightarrow{}\emptyset\in{z}[/texx]    y    [texx]II\equiv{\emptyset}[/texx].


Por otra parte tomando    [texx]z=\emptyset[/texx]    será

[texx]\underbrace{\big\{x:x\not\in{\emptyset}\big\}}_{I}\cup{\underbrace{\big\{x:\emptyset\not\in{x}\big\}}_{II}}\equiv{V\cup{\emptyset}}\equiv{V\subseteq{\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}}}[/texx]

como    [texx]V\subsetneq{\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}}[/texx]    es absurdo, sólo puede ser    [texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}\equiv{V}[/texx].

Tampoco sé por qué dices que es una clase propia por definición. De hecho, tu condición 2) tampoco puede darse, porque todo conjunto [texx]x[/texx] pertenece a otro conjunto, por ejemplo a [texx]\{x\}[/texx] (y a muchos más).

Pues por eso, si se está hablando de la clases que no pertenecen a ninguna otra clase    [texx](\forall{\,z}.x\not\in{z})[/texx]    se está hablando de las clases propias, por ejemplo,    [texx]\not\exists{\,z}.V\in{z}[/texx],    [texx]V[/texx]    no pertenece a ninguna otra clase, es una clase propia. Lo que define a una clase propia    [texx]x[/texx],    es precisamente,     [texx]\not\exists{\,z}.x\in{z}[/texx].    ¿No?

Aunque con muchas dudas. Si consideramos conjuntos, por ejemplo, los números naturales cada número natural es un conjunto vacío lo que además contradice que el conjunto vacío sea único.
 

Pero es que los números naturales no son conjuntos vacíos. Con la construcción habitual, se tiene que

[texx]0 = \emptyset, 1 = \{0\}, 2 = \{0, 1\}, 3 = \{0, 1, 2\}, \ldots[/texx]

Ah, me adelanté a los acontecimientos entonces, todavía no he llegado ahí. La idea de que los conjuntos que son elementos son vacíos es equivocada por lo que veo. Por ejemplo la vocal "a" es un elemento del conjunto vocales. "a es un conjunto que no tiene elementos" es erróneo". ¿No?   [texx][/texx]

Saludos.

CORREGIDO. Por gentileza de Carlos Ivorra.
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« Respuesta #10 : 07/08/2018, 09:53:45 am »

Veo que la mayoría de las respuestas hacen referencia a conjuntos de números, a pesar de que las primitivas "conjunto" y "pertenencia" abarcan mucho más que "a los números", aún cuando todo lo que no sean números no tenga mucho interés matemático, si tiene interés en cuanto a la correcta comprensión de los fundamentos de la Teoría de Conjuntos. ¿No?

Saludos.
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« Respuesta #11 : 07/08/2018, 04:28:25 pm »

La clase    [texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}[/texx],    expresada en palabras es la clase cuyos elementos son, (por comprensión):

"las clases cuyos elementos no tienen elementos, más, las clases que no pertenecen a ninguna clase",

esto es, la clase vacía, (única), unida con todas las clases propias. ¿No?

No, no es nada parecido a eso. Se ve mejor con la formulación original. La clase que te dan es la clase de los conjuntos [texx]x[/texx] que no pertenecen a ninguno de sus elementos [texx]z\in x[/texx].

Desmenuzando la clase

[texx]\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}\vee z\not\in{x}]\big\}\equiv{\underbrace{\big\{x:\forall{\,z}.\;[x\not\in{z}]\big\}}_{I}}\cup{\underbrace{\big\{x:\forall{\,z}.\;[z\not\in{x}]\big\}}_{II}}[/texx],

Esa igualdad es falsa. No es lo mismo

[texx]\forall z(x\notin z\lor z\notin x)[/texx]

que

[texx]\forall z\, x\notin z\lor \forall z\, z\notin x[/texx]

Si tuvieras lo segundo, podrías descomponer la clase como dices, pero tienes lo primero, y entonces lo que dices es falso. Y todo lo que dices después, tampoco vale.

Ah, me adelanté a los acontecimientos entonces, todavía no he llegado ahí. La idea de que los conjuntos que son elementos son vacíos es equivocada por lo que veo. Por ejemplo la vocal "a" es un elemento del conjunto vocales. "a es un conjunto que no tiene elementos" es erróneo". ¿No?

Es que, con la axiomatización usual de la teoría de conjuntos, no existe "el conjunto de todas las vocales". Otra cosa es que tomes cualquier conjunto con cinco elementos y establezcas que esos cinco elementos (cinco conjuntos) representan las cinco vocales, para modelizar algún problema que quieras plantear. Es lo mismo que si te ponen un problema sobre una granja con gallinas y cabras, y lo que sea, y lo resuelves con conjuntos, para lo cual hablarás de conjuntos de gallinas y conjuntos de cabras, pero en teoría de conjuntos no hay conjuntos de gallinas.

Veo que la mayoría de las respuestas hacen referencia a conjuntos de números, a pesar de que las primitivas "conjunto" y "pertenencia" abarcan mucho más que "a los números", aún cuando todo lo que no sean números no tenga mucho interés matemático, si tiene interés en cuanto a la correcta comprensión de los fundamentos de la Teoría de Conjuntos. ¿No?

Si lo dices por los mensajes de manooooh, iban en relación con una observación mía que era secundaria respecto al asunto del problema. Hay muchos conjuntos que no son de números y que tienen interés en matemáticas: polinomios, funciones continuas, conjuntos de sucesiones, espacios vectoriales, tal vez de dimensión infinita, etc.
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« Respuesta #12 : 07/08/2018, 06:55:22 pm »

...
Si tuvieras lo segundo, podrías descomponer la clase como dices, pero tienes lo primero, y entonces lo que dices es falso. Y todo lo que dices después, tampoco vale.
...

Gracias. Tal como está corregido debería ser correcto.

Es que, con la axiomatización usual de la teoría de conjuntos, no existe "el conjunto de todas las vocales". Otra cosa es que tomes cualquier conjunto con cinco elementos y establezcas que esos cinco elementos (cinco conjuntos) representan las cinco vocales, para modelizar algún problema que quieras plantear. Es lo mismo que si te ponen un problema sobre una granja con gallinas y cabras, y lo que sea, y lo resuelves con conjuntos, para lo cual hablarás de conjuntos de gallinas y conjuntos de cabras, pero en teoría de conjuntos no hay conjuntos de gallinas.

¿Entonces     [texx]\big\{x:\textrm{Es gallina}(x)\big\}[/texx]    que es?

Veo que la mayoría de las respuestas hacen referencia a conjuntos de números, a pesar de que las primitivas "conjunto" y "pertenencia" abarcan mucho más que "a los números", aún cuando todo lo que no sean números no tenga mucho interés matemático, si tiene interés en cuanto a la correcta comprensión de los fundamentos de la Teoría de Conjuntos. ¿No?

Si lo dices por los mensajes de manooooh, iban en relación con una observación mía que era secundaria respecto al asunto del problema. Hay muchos conjuntos que no son de números y que tienen interés en matemáticas: polinomios, funciones continuas, conjuntos de sucesiones, espacios vectoriales, tal vez de dimensión infinita, etc.

Ya, me refería en general a objetos de interés para las matemáticas. Gallina y cabra no tienen mucho interés para las matemáticas pero es posible estudiar una granja con la Teoría de Conjuntos. ¿O a caso no? Los mismos axiomas, las mismas definiciones, los mismos teoremas... deberían ser igualmente válidos.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 07/08/2018, 07:18:04 pm »

Gracias. Tal como está corregido debería ser correcto.

No, no es correcto. La clase que te dan es la clase de los conjuntos que no pertenecen a ninguno de sus elementos. Eso no lo puedes descomponer en unión de nada. Ni puedes sacar la disyunción de los cuantificadores, como hacías antes, ni puedes sacar el cuantificador de la definición de la clase, como pretendes ahora.

¿Entonces     [texx]\big\{x:\textrm{Es gallina}(x)\big\}[/texx]    que es?

Nada que tenga que ver con la teoría axiomática de conjuntos. Con la teoría de conjuntos sólo puedes hablar de la realidad indirectamente. Si quieres hablar de un conjunto de cinco gallinas y cinco cabras, puedes hacer algo así como decir: identificamos a las cinco gallinas con los pares de números naturales[texx](1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)[/texx], aunque por conveniencia los llamaremos [texx]G_i = (1,i)[/texx], e identificamos a las cinco cabras con los pares de números naturales, [texx](2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)[/texx], aunque usaremos la notación [texx]C_i = (2, i)[/texx]. Así, puedes decir que tu conjunto de gallinas es [texx]A=\{G_1, G_2, G_3, G_4, G_5\}[/texx], y puedes considerar la función [texx]H: A\longrightarrow \mathbb N[/texx] que a cada gallina le asocia los huevos que pone al mes, pero en realidad, si dices que [texx]H(G_2)=20[/texx], pensando en que la segunda gallina pone 20 huevos al mes, en realidad en tu afirmación no hay ninguna gallina. Tienes una función que al par [texx](1,2)[/texx] le asocia el número 20. Pero de este modo puedes reflejar cualquier propiedad de tus gallinas que consideres relevante para tu problema de gallinas.

Si la teoría contemplara realmente conjuntos de gallinas con sus plumas y todo, si te olvidas de alimentarlas podría pasar que desapareciera un conjunto de la teoría de conjuntos, y si formaras la unión de un conjunto de tres gallinas con un conjunto de 2 lobos, el resultado no tendría cardinal 5, sino únicamente 2, en contra de lo que requiere la teoría de conjuntos.

Ya, me refería en general a objetos de interés para las matemáticas. Gallina y cabra no tienen mucho interés para las matemáticas pero es posible estudiar una granja con la Teoría de Conjuntos. ¿O a caso no? Los mismos axiomas, las mismas definiciones, los mismos teoremas... deberían ser igualmente válidos.

Es posible construir teorías de conjuntos que admitan objetos que no sean conjuntos, pero no es lo usual. En cualquier caso, no te valdrían los mismos axiomas. ¿Qué conjunto sería una gallina? ¿Cuáles serían sus elementos? ¿Todas las gallinas son conjuntos vacíos? Entonces no se cumpliría la unicidad del conjunto vacío. ¿Si se te muere una gallina cambian los conjuntos de la teoría? ¿Y si una gallina tiene pollitos, aparecen más conjuntos?
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« Respuesta #14 : 08/08/2018, 07:18:19 am »

Gracias. Tal como está corregido debería ser correcto.

No, no es correcto. La clase que te dan es la clase de los conjuntos que no pertenecen a ninguno de sus elementos y que además son vacíos,    [texx]\big(\lnot\exists{\,z}.\;z\in{x}\big)[/texx]. Eso no lo puedes descomponer en unión de nada. Ni puedes sacar la disyunción de los cuantificadores, como hacías antes, ni puedes sacar el cuantificador de la definición de la clase, como pretendes ahora.

El único conjunto que podría ser de esa clase es el conjunto vacío por ser único, pero el conjunto vacío pertenece a todos los conjuntos. ¿Absurdo, no?


Es posible construir teorías de conjuntos que admitan objetos que no sean conjuntos, pero no es lo usual. En cualquier caso, no te valdrían los mismos axiomas. ¿Qué conjunto sería una gallina? ¿Cuáles serían sus elementos? ¿Todas las gallinas son conjuntos vacíos? Entonces no se cumpliría la unicidad del conjunto vacío. ¿Si se te muere una gallina cambian los conjuntos de la teoría? ¿Y si una gallina tiene pollitos, aparecen más conjuntos?

Pues la axiomática lo que no define es precisamente conjunto y pertenencia. Difícil así saber que es conjunto y que no lo es.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 08/08/2018, 07:33:51 am »

Gracias. Tal como está corregido debería ser correcto.

No, no es correcto. La clase que te dan es la clase de los conjuntos que no pertenecen a ninguno de sus elementos y que además son vacíos,    [texx]\big(\lnot\exists{\,z}.\;z\in{x}\big)[/texx]. Eso no lo puedes descomponer en unión de nada. Ni puedes sacar la disyunción de los cuantificadores, como hacías antes, ni puedes sacar el cuantificador de la definición de la clase, como pretendes ahora.

El único conjunto que podría ser de esa clase es el conjunto vacío por ser único, pero el conjunto vacío pertenece a todos los conjuntos. ¿Absurdo, no?

Hay muchas cosas absurdas ahí, pero todas de tu cosecha particular. Ante todo, no es cierto que el conjunto vacío pertenezca a todos los conjuntos. Por ejemplo, trivialmente no pertenece al propio conjunto vacío, ya que nadie pertenece al conjunto vacío, pero tampoco pertenece a todos los conjuntos no vacíos. Por ejemplo, el conjunto vacío no pertenece al conjunto [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx], ya que éste tiene un único elemento, el cual no es el vacío, sino el conjunto [texx]\{\emptyset\}[/texx], que tiene un elemento (el conjunto vacío).

En segundo lugar, lo que añades en rojo a lo que yo digo es falso. Es como si tienes el conjunto de todos los hombres que no tienen hijos menores de 5 años y deduces que los miembros de ese conjunto no tienen hijos. No es lo mismo no tener hijos que no tener hijos menores de cinco años. Hay gente que no tiene hijos menores de cinco años pero sí que tiene hijos.

Del mismo modo, la clase que te dan es la de los conjuntos que no tienen elementos a los cuales pertenezcan, pero no es lo mismo no tener elementos a los cuales pertenezcan que no tener elementos, que es lo que pretendes. La clase que te dan contiene de hecho a todos los conjuntos que usan en la práctica los matemáticos, que son muchos más que el conjunto vacío. Todos los conjuntos "normales" menos el conjunto vacío tienen elementos, pero ninguno tiene elementos a los cuales pertenece.

Es posible construir teorías de conjuntos que admitan objetos que no sean conjuntos, pero no es lo usual. En cualquier caso, no te valdrían los mismos axiomas. ¿Qué conjunto sería una gallina? ¿Cuáles serían sus elementos? ¿Todas las gallinas son conjuntos vacíos? Entonces no se cumpliría la unicidad del conjunto vacío. ¿Si se te muere una gallina cambian los conjuntos de la teoría? ¿Y si una gallina tiene pollitos, aparecen más conjuntos?

Pues la axiomática lo que no define es precisamente conjunto y pertenencia. Difícil así saber que es conjunto y que no lo es.

No los define, pero los determina mediante axiomas, que en la práctica es casi lo mismo. Por ejemplo, establecen que todo elemento de un conjunto es un conjunto. Como una gallina no es un conjunto (más aún, no es un conjunto cuyos elementos sean conjuntos, cuyos elementos sean a su vez conjuntos, y así ad infinitum) podemos asegurar que una gallina no es elemento de ningún conjunto de la teoría de conjuntos.

Por otra parte, no es tan difícil saber que la clase de todos los conjuntos, o de todos los espacios vectoriales, etc. no son conjuntos, mientras que el conjunto de los números reales, o de las sucesiones de números reales, etc. sí que son conjuntos. Todo esto se demuestra a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos. No importa que el concepto de conjunto no esté definido.
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« Respuesta #16 : 08/08/2018, 09:00:40 am »


En segundo lugar, lo que añades en rojo a lo que yo digo es falso. Es como si tienes el conjunto de todos los hombres que no tienen hijos menores de 5 años y deduces que los miembros de ese conjunto no tienen hijos. No es lo mismo no tener hijos que no tener hijos menores de cinco años. Hay gente que no tiene hijos menores de cinco años pero sí que tiene hijos.

[texx]\big\{x:\color{red}\lnot(\exists z)\color{black}[x\in z\wedge \color{red}z\in x\color{black}]\big\}[/texx]

Se refiere a que no hay ningún    [texx]z[/texx]    verificando    [texx]z\in{x}[/texx]    no a que no hay ningún    [texx]z[/texx]    menor de cinco años. Se debe interpretar que     [texx]x[/texx]    es vacío.  ¿No? :indeciso:

Del mismo modo, la clase que te dan es la de los conjuntos que no tienen elementos a los cuales pertenezcan

[texx]\big\{x:\color{red}\lnot(\exists z)\color{black}[\color{red}x\in z\color{black}\wedge z\in x]\big\}[/texx]

Usando el mismo razonamiento:

"Es como si tienes el conjunto de todos los hombres que no tienen "padres mayores de 50" años y deduces que los miembros de ese conjunto no tienen "padres"."

¿Que es    [texx]x[/texx]?    ¿Elemento? ¿Conjunto? ¿Elemento y a la vez conjunto? ¿Que es    [texx]z[/texx]?

En Teoría de Conjuntos se trata sobre Conjuntos y Pertenencia, no se deberían tratar elementos.  :¿eh?:

No los define, pero los determina mediante axiomas, que en la práctica es casi lo mismo. Por ejemplo, establecen que todo elemento de un conjunto es un conjunto. Como una gallina no es un conjunto (más aún, no es un conjunto cuyos elementos sean conjuntos, cuyos elementos sean a su vez conjuntos, y así ad infinitum) podemos asegurar que una gallina no es elemento de ningún conjunto de la teoría de conjuntos.

A ver si lo he entendido.
El único objeto de la teoría de conjuntos que no es, (con el concepto intuitivo de conjunto), una colección de objetos es el conjunto vacío.
En lo demás un conjunto sea lo que sea es conjunto si y sólo si es una colección de conjuntos, (otra vez usando el concepto intuitivo).

Es decir ¿Los conjuntos son comparables a muñecas rusas sin límites superior e inferior?

Al igual que los conjuntos las muñecas pueden contener "nada" que sería el conjunto vacío o una o más muñecas en su interior pudiendo contener a su vez cada una de ellas "nada" o una o más muñecas en su interior...recursivamente...
Al igual que los conjuntos, toda muñeca es contenible en otra más grande que a su vez es contenible en otra más grande... recursivamente...

Saludos y gracias.
 
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #17 : 08/08/2018, 09:34:23 am »

[texx]\big\{x:\color{red}\lnot(\exists z)\color{black}[x\in z\wedge \color{red}z\in x\color{black}]\big\}[/texx]

Se refiere a que no hay ningún    [texx]z[/texx]    verificando    [texx]z\in{x}[/texx]    no a que no hay ningún    [texx]z[/texx]    menor de cinco años. Se debe interpretar que     [texx]x[/texx]    es vacío.  ¿No? :indeciso:

No. Es como si coges la frase:

No existe ninguna persona [texx]x[/texx] tal que [texx]x[/texx] es hijo de Juan y [texx]x[/texx] tiene menos de 5 años,

Sacas el rotulador rojo y pones:
No existe ninguna persona [texx]x[/texx] tal que [texx]x[/texx] es hijo de Juan y [texx]x[/texx] tiene menos de 5 años,

Y de ahí deduces que Juan no tiene hijos. Pintar de rojo y borrar lo que queda en negro no es una forma de razonamiento lógico válido.

La fórmula no dice que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]z\in x[/texx]. Dice que no existe un [texx]z[/texx] que cumpla a la vez [texx]z\in x[/texx] y [texx]x\in z[/texx], pero eso no impide que puedan existir [texx]z\in x[/texx], siempre y cuando no cumplan también [texx]z\in x[/texx].

Del mismo modo, la clase que te dan es la de los conjuntos que no tienen elementos a los cuales pertenezcan

[texx]\big\{x:\color{red}\lnot(\exists z)\color{black}[\color{red}x\in z\color{black}\wedge z\in x]\big\}[/texx]

Usando el mismo razonamiento:

"Es como si tienes el conjunto de todos los hombres que no tienen "padres mayores de 50" años y deduces que los miembros de ese conjunto no tienen "padres"."

En efecto, es lo mismo y la conclusión es la misma: si deduces de ahí que los miembros de ese conjunto no tienen padres te estás equivocando exactamente igual que cuando deduces que los elementos de la clase que te dan no tienen elementos.

¿Que es    [texx]x[/texx]?    ¿Elemento? ¿Conjunto? ¿Elemento y a la vez conjunto? ¿Que es    [texx]z[/texx]?

El ejemplo que te he puesto es una analogía para hacerte ver tu error de razonamiento, que es puramente lógico, no tiene nada que ver con la teoría de conjuntos, sino con que crees que se puede poner en rojo y borrar lo que está en negro y que con eso obtienes una consecuencia lógica, lo cual es falso. Si hablamos de padres e hijos, se plantea el mismo error lógico en un contexto más familiar, pero no puedes tratar de aplicarle distinciones conjuntistas, porque en teoría de conjuntos no hay padres ni hijos. Pero, ya digo, tu error de razonamiento es puramente lógico, por lo que puede trasladarse a un contexto no conjuntista sin que la falacia se altere en lo sustancial.

En Teoría de Conjuntos se trata sobre Conjuntos y Pertenencia, no se deberían tratar elementos.  :¿eh?:

Pero en cuanto tienes una relación de pertenencia, siempre que tienes [texx]x\in y[/texx] puedes decir que [texx]x[/texx] es un elemento de [texx]y[/texx]. No es que haya dos clases de objetos (conjuntos y elementos), sino que unos conjuntos son elementos de otros conjuntos. En particular, todo elemento de un conjunto es también un conjunto. Pero no todo conjunto es elemento de cualquier otro conjunto.

A ver si lo he entendido.
El único objeto de la teoría de conjuntos que no es, (con el concepto intuitivo de conjunto), una colección de objetos es el conjunto vacío.
En lo demás un conjunto sea lo que sea es conjunto si y sólo si es una colección de conjuntos, (otra vez usando el concepto intuitivo).

Casi, salvo que no es cierto que toda colección de conjuntos es un conjunto. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos, o la clase de todos los espacios vectoriales, o la clase del problema de este hilo, con colecciones de conjuntos que no son conjuntos.

Es decir ¿Los conjuntos son comparables a muñecas rusas sin límites superior e inferior?

Al igual que los conjuntos las muñecas pueden contener "nada" que sería el conjunto vacío o una o más muñecas en su interior pudiendo contener a su vez cada una de ellas "nada" o una o más muñecas en su interior...recursivamente...
Al igual que los conjuntos, toda muñeca es contenible en otra más grande que a su vez es contenible en otra más grande... recursivamente...

Con el axioma de fundación, la pertenencia sí que termina "por debajo". Si tomas un conjunto y pasas a sus elementos, y a los elementos de sus elementos, etc., el proceso no continúa indefinidamente, sino que siempre acabas llegando al conjunto vacío. Visto al revés:

Partes de [texx]\emptyset[/texx]. A partir de este conjunto puedes formar otro: [texx]\{\emptyset\}[/texx], a partir de estos dos puedes formar otros dos más: [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx] y [texx]\{\emptyset, \{\emptyset\}\}[/texx], y así sucesivamente puedes ir formando más y más conjuntos (a partir de un primer conjunto, pero indefinidamente a partir de ahí) y así obtienes todos los conjuntos con los que tratan los matemáticos en su trabajo. Por ejemplo, el primer conjunto es ya el número natural [texx]0 = \emptyset[/texx], luego hemos obtenido ya el [texx]1=\{\emptyset\}[/texx], y así van saliendo todos los números naturales, que luego pueden recogerse en un mismo conjunto [texx]\mathbb N[/texx], a partir del cual pueden construirse [texx]\mathbb Z[/texx], [texx]\mathbb Q[/texx], etc. Pero el proceso tiene un punto de partida.
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« Respuesta #18 : 08/08/2018, 10:21:29 am »

Siento ser pesado, pero no veo otra manera.

[texx]\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}[/texx]

lo que esta entre los símbolos    [texx]\{\}[/texx],    (éstos incluidos), o bien es un conjunto si pertenece a una clase, o bien es simplemente una clase, ("clase propia" si se prefiere), si no pertenece a ninguna otra clase, o bien es algo que La Teoría de Conjuntos no abarca.

¿Es correcto?
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« Respuesta #19 : 08/08/2018, 01:29:36 pm »


La fórmula no dice que no exista un [texx]z[/texx] tal que [texx]z\in x[/texx]. Dice que no existe un [texx]z[/texx] que cumpla a la vez [texx]z\in x[/texx] y [texx]x\in z[/texx], pero eso no impide que puedan existir [texx]z\in x[/texx], siempre y cuando no cumplan también [texx]z\in x[/texx].

Perdona que insista:

Es claro que, si para verificar la fórmula se debe cumplir que no exista ningún    [texx]z[/texx]    tal que   
 [texx]z\in{x}[/texx]    y    [texx]x\in{z}[/texx],    todo    [texx]x[/texx]    que deba verificar la fórmula para ser un elemento de la clase que determina dicha fórmula, debe verificar por fuerza cada una de las condiciones, esto es, no debe existir ningún    [texx]z[/texx]    tal que    [texx]z\in{x}[/texx]    y esto hace a    [texx]x[/texx]    vacío.

[texx]x\in{\big\{x:\lnot(\exists z)[x\in z\wedge z\in x]\big\}}\Rightarrow{\not\exists{\,z}.\;z\in{x}}\equiv{x=\emptyset}[/texx]


Quizás sea la clase de todas las clases que tienen al conjunto vacío como elemento.

Saludos.


Un pequeño detalle:

para que    [texx]x[/texx]     pertenezca a la clase que determina la fórmula debe verificar también que no existe ningún    [texx]z[/texx]      tal que    [texx]x\in{z}[/texx].    Esto es contradictorio, hay muchas clases que tienen al conjunto vacío como elemento, lo que hace posible interpretar que la fórmula no es válida para expresar ningún objeto de La Teoría de Conjuntos o que se trata de la clase vacía.

EDITADO.

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