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Autor Tema: Prueba que el axioma del conjunto vacío es consecuencia del axioma de separación  (Leído 700 veces)
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« : 08/08/2018, 07:39:05 am »


Demostrar que el axioma del conjunto vacío es consecuencia del axioma de separación.

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« Respuesta #1 : 08/08/2018, 07:57:04 am »

Si estoy en lo cierto el axioma de separación es el mismo axioma que el de comprensión o que el de especificación y es el siguiente:

[texx]\forall{\,x}.\exists{\,y}.\forall{\,t}.t\in{x}\wedge\varphi(x)\Leftrightarrow{x\in{y}}[/texx]

esto es, de cada conjunto    [texx]x[/texx]    siempre es posible "separar" ciertos elementos de él que verifican una determinada propiedad    [texx]\varphi[/texx]    y que por lo tanto constituyen otro conjunto    [texx]y[/texx],   (que podría ser incluso el mismo    [texx]x[/texx]).

A falta de una sólida base, la ocurrencia:

Sólo falta añadir que también podría ser un conjunto vacío "separado" de los elementos de    [texx]x[/texx]    por una propiedad    [texx]\varphi[/texx]    no verificada por ninguno de sus elementos.

Por ejemplo, sea el conjunto    [texx]x[/texx]   no vacío, entonces el conjunto    [texx]y[/texx]    sería el conjunto    [texx]\{t:t\in{x}|t\neq{t}\}\equiv{\emptyset}[/texx],    donde    [texx]\varphi(t)\equiv{t\neq{t}}[/texx].

Saludos y por supuesto gracias.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 08/08/2018, 08:49:10 am »

Es correcto.

Te planteo una objeción que alguien podría hacer, pero que en realidad no es correcta. Se trata de que el argumento demuestra el axioma del conjunto vacío bajo el supuesto de que existe al menos un conjunto [texx]x[/texx], que es una consecuencia del axioma del conjunto vacío, con lo que, aparentemente, éste no se puede eliminar del todo.

Pero esto no es cierto, porque, con la formalización habitual de la lógica, la existencia de "algo" es un teorema lógico, que puede demostrarse sin usar ningún axioma de la teoría de conjuntos, y en teoría de conjuntos, decir que existe "algo" es lo mismo que decir que existe un conjunto, porque todo son conjuntos.
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