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Autor Tema: Estudio sobre la conjetura de Goldbach (3)  (Leído 1585 veces)
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juan luis
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« : 03/08/2018, 04:30:00 pm »

El siguiente PDF Estudio sobre la conjetura de Goldbach (3)

* goldbach3.pdf (2813.1 KB - descargado 45 veces.)
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feriva
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« Respuesta #1 : 04/08/2018, 04:00:01 pm »

El siguiente PDF Estudio sobre la conjetura de Goldbach (3)

Hola, Juan Luis. Yo también soy aficionado a la conjetura desde hace muchos años.

El trabajo es muy largo y, de momento, sólo he hojeado ahora mismo los PDF muy por encima; así que puede ser que lo que voy a decir no influya en tus conclusiones.

Hablas de probabilidad, de la probabilidad de los grandes números, de frecuencias...

...

Ocurre algo muy curioso en cuanto a la probabilidad en esta conjetura, no sé si lo tienes en cuenta.

...

Veámoslo de esta manera con un par cualquiera como puede ser 26; tenemos dos “bolsas” con bolas a sacar:

[texx]{\color{blue}0},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{\color{blue}13},14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,{\color{blue}26}
 [/texx]

Estas bolsas son las que están entre los números azules y contiene los números negros.

Están separadas por [texx]\dfrac{2n}{2}=13
 [/texx] (una a un lado y otra al otro). Esto es la mitad del par, el valor de “n”, que en este caso es primo y con eso basta para que se cumpla: 13+13=26 (pero pensemos que no es así, que no tomamos estos casos).

También desecharemos los números de los extremos 0 y 26 (0+26=26) y también los siguientes a estos extremos: 1 y 25 (1+25=26) porque el 1 no es primo ni compuesto.

Si seguimos con esta idea tenemos a continuación 2 y 24 (2+24=26) y así desde los extremos hacia al centro obtenemos todas las sumas posibles de dos números tales que dan 26.

Pero ahora también podríamos deshacernos de los pares y de todos los números que tuvieran algún factor común con 26 (con 2n, en general, el par que sea); en este caso sólo son los pares y el 13, que ya lo hemos descartado.

La razon de desechar los números que tienen algún factor primo en común con 2n es muy sencilla; nunca van a formar pareja de dos primos tal que su suma sea 2n; eso sólo puede llegar a ocurrir (a veces, como en este ejemplo) con ”n”, con el del centro (supongo que lo sabrás, pero, si no fuera así, si lo analizas tú mismo verás por qué ocurre).

Una vez filtrados esos números, las dos “bolsas”, o “bombos de lotería” que consideramos, quedan así:

[texx]3,5,7,9,11,{\color{blue}\, C},\,,15,17,19,21,23
 [/texx] C es el centro.

Ahí están todas las sumas de primos posibles: 3+23 y 7+19 (quitando, 13+13, con el del centro).

...

En el bombo de la izquierda hay 4 primos y 1 compuesto; en el de la derecha, 3 primos y 2 compuestos.

Supongamos que desordenamos los números de cada lado (pero sin cambiarlos de “bombo”) y sacamos una bola de cada bombo; los emparejamos y repetimos esto hasta que se acaben los números.

Es seguro que habrá al menos una pareja de primos. Esto es debido a que, por caso, si hay 4 primos en el bombo de la izquierda, para que emparejaran todos con compuestos, tendría que haber al menos cuatro compuestos en el de la derecha; pero sólo hay dos, luego es imposible. También es imposible mirándolo desde el otro bombo, hay más primos que compuestos en el bombo de enfrente. Así, en este caso la probabilidad es 1, habrá seguro una pareja de primos.

Para bastantes 2n, para los pares consecutivos en cuestión, va a ocurrir esto (filtrando los números dichos).

Pero a partir de n=212, es decir, en el par 424, esto ya no ocurre, los primos decrecen en ambos bombos respecto de los compuestos del otro; y ya la probabilidad no es 1.

No obstante, si hallamos la razón entre los primos del lado derecho y los compuestos del izquierdo; y viceversa, la proporción nos dice que están en una cantidad muy parecida; éstas son las razones;

0.998423955871 y 0.998040176384; casi 1, casi las mismas cantidades.

Sin embargo, si tomamos el par 200002, las proporciones se van acercando más a cero; son:

0.279308536976 y 0.253263116597 (en los respectivos lados)

lo que significa que la cantidad de compuestos en ambos bombos supera en mucho a la de primos.

Si seguimos buscando pares más grandes, eso sigue así, la densidad de primos baja en ambos lados cada vez más hasta que la probabilidad de que se cumpla la conjetura es prácticamente cero.

Pero, nadie sabe por qué, como la trucha que trepa sobre el agua contra la corriente, lejos de no surgir más parejas, éstas aumentan en cantidad; es decir, la conjetura se cumple a contrapelo de la probabilidad, cuanto más baja, más parejas de primos que suman el par (no aumentan de forma monótona, pero van aumentando por tramos, digamos “proporcionalmente”).

Si vamos tomando números y números, aunque esto sea muy difícil, la probabilidad de los grandes números nos dice que tomar muchos casos, hacer el experimento muchas veces, aumenta la probabilidad de que pueda ocurrir; pero es que basta que falle en un número para que no se cumpla, tiene que ocurrir siempre, en todos. Por eso yo no sé... eso de la ley de los grandes números.

Piensa en dos botes, uno con 115 judías y 5 garbanzos; otro con 117 judías y 3 garbanzos. Los removemos y vamos sacando parejas; ¿casarán con facilidad dos garbanzos? Evidentemente no, habría que repetirlo muchísimas veces; pero con esos botes no vale repetir, sólo se puede hacer una vez, porque esos dos botes es sólo un número.

No obstante, repito, hablas de muchas más cosas relacionadas y lo he mirado (con mis maltrechos ojos) más que a vista de pájaro; así que no digo que no, simplemente es que soy muy aficionado a esta conjetura.

Gracias por compartirlo.

Saludos.
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juan luis
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« Respuesta #2 : 05/08/2018, 11:57:39 am »

Hola Feriva, en el ejemplo que pones, P = 200002 este número pertenece a la sucesión [texx]6a+4[/texx] luego todos los pares de primos, que suman 200002 pertenecen a la sucesión [texx]6x-1[/texx] (que no tiene ni pares ni 3 ni múltiplos de tres ), si [texx]200002-3=199999[/texx] es primo, mejor para que se cumpla la conjetura.
Sabemos que la probabilidad de que al elegir un elemento de la columna de la izquierda de la tabla, y su correspondiente de la columna de la derecha, los dos sean primos que sumen P  es la expresión siguiente:

            [texx]P\left\{{Ppr}\right\}=\displaystyle\frac{18}{ln3a*ln6a}-\displaystyle\frac{9}{\left\{{ln3a}\right\}^2}[/texx]
calcularemos el valor de a
             [texx]6a+4=200002[/texx]
             [texx]a=\displaystyle\frac{200002-4}{6}=33333[/texx]
como a es impar
             [texx]Np=\displaystyle\frac{a+1}{2}=\displaystyle\frac{33334}{2}=16667[/texx]
Sustituimos  a por su valor y tendremos lo siguiente:
             [texx]P\left\{{Ppr}\right\}=\displaystyle\frac{18}{ln99999*ln199998}-\displaystyle\frac{9}{\left\{{ln99999}\right\}^2}[/texx]

             [texx]P\left\{{Ppr}\right\}=0.0601886[/texx]
Que es la probabilidad de que el primer par elegido al azar sean los dos primos, pero la ley de los grandes números dice que en un número muy grande de experiencias , la cantidad de pares de primos se aproxima prácticamente a la realidad de las tablas
si multiplicamos la probabilidad por el número de experiencias tendremos:
             [texx]Ppr=16667*0.0601886\approx{1003}[/texx]
como podemos comprobar en la tabla de  [texx]P=200002[/texx]
Ademas en la tabla siempre se cumple que:
              [texx]Ppr=Pr+Pco-Np[/texx]
luego si hay mas pares de compuestos  esto compensara de forma positiva, el número de pares de primos
Ademas si un numero par, tiene una cantidad grande de pares primos, el siguiente par de la misma sucesión también tendrá la probabilidad de de que en un determinado par por ejemplo   si en el  par Pn, el elemento de la derecha es primo, en el par P(n+1) el elemento de la izquierda es primo lo que asegura que P+1 tiene al menos un par de primos que suman P+1 .

EL PROBAR QUE ESTO OCURRE EN LAS TRES SUCESIONES DE NÚMEROS PARES  Y PORQUE, ES PROBAR QUE LA CONJETURA ES CIERTA
 (ver pagina 33), un saludo.
   
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feriva
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« Respuesta #3 : 05/08/2018, 05:03:56 pm »

Hola, Juan Luis.

Cita

pero la ley de los grandes números dice que en un número muy grande de experiencias , la cantidad de pares de primos se aproxima prácticamente a la realidad de las tablas


Pues tendría que mirarme las tablas y leerme lo que has escrito, que es mucho, así que no tengo una respuesta sobre esto.

No obstante (aventuro) me da la sensación de que no se está teniendo en cuenta que los números se “gastan” en ese repetir el experimento de extraer números. Si hay muchos más compuestos que primos a ambos lados, muchos primos se emparejarán con compuestos (como el garbanzo con la judía) y la cantidad de primos considerada no será la inicial, irá disminuyendo; si la densidad de primos es muy inferior a ambos lados, si se acerca a cero, como ocurre en los números pares de millones de cifras, la inmensa mayoría de las veces, en el proceso al azar los primos se “gastarán” emparejándose con compuestos hasta que no quede ningún primo; y a partir de esto, en la medida que los pares se hagan enormes, la probabilidad de que la conjetura se cumpla por azar se hace prácticamente cero.

Hasta 200002 hay unas cuatro veces menos primos (útiles) que compuestos (útiles)  en cada lado (muy a groso modo, no llega) en este caso no es muy difícil que se cumpla. No obstante, lo más normal es que a la primera, emparejando todos los números de cada lado, no saliera. Y ten en cuenta que al repetir el experimento, para que se parezca a la probabilidad de un número par en la conjetura, la posición de los números a emparejar no se puede variar; porque estamos hablando de un número par en concreto, el que sea, pero sólo uno (cada número tiene sus primos a una distancia determinada, no varía). Luego repetir, a mi juicio, no vale, yo no veo que ésa sea la probabilidad real (en mi opinión). Se "repite" al emparejar todos los números útiles de otro par distinto para formar parejas; y si seguimos así con los sucesivos pares, la ley de los grandes números nos dice que en algún o algunos pares coincidirán dos primos aunque sea muy improbable; pero no en todos los distintos pares

Tú dices que al menos habrá una pareja de primos que sume 200002; ¿podrías estimar cuántas parejas, por probabilidad, podría haber para este número? Pues hay la friolera de 9592 parejas (perdón, que ese número es el de la cantidad de primos coprimos (útiles) en el lado de la izquierda, me he despistado al copiar y pegar; la cantidad de parejas es 1172; eso supone que cada ocho primos del lado izquierdo haya una pareja)



Y los números de millones de cifras, tienen al menos millones y millones de parejas, siendo la densidad de primos bajísima. Lo sé por mí mismo, porque programo y lo compruebo o estimo a partir de resultados, no es que sea un decir por decir. Esto muestra claramente que a menor probabilidad más se cumple.

Pero aquí, en el foro, yo soy el que menos pinto, así que no me hagas caso. Espera a ver si surgen otras opiniones. La persona (un matemático muy bueno) que se suele interesar por estos trabajos (y los juzga con rigor) está de vacaciones y ahora no pasa por aquí; cuando venga quizá revise tu trabajo.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #4 : 06/08/2018, 08:37:21 am »

He estado mirando un poco más, pero todo eso que haces es muy complicado. Es más sencillo si piensas que los números de una pareja tienen la posibilidad de ser primos los dos si son coprimos; primos entre sí:

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos_entre_s%C3%AD

Por ejemplo, sea el par 30. Es múltiplo de 2, de 3 y de 5. Así, ningún múltiplo de éstos puede formar una pareja de primos que sumen 30; el tenerlo en cuenta ya elimina la posibilidad de sumar un 6n+1 con un 6n-1, por ejemplo, porque da un múltiplo de 6, que es múltiplo de 2 y 3.  tener en cuenta la multiplicidad ya elimina la posibilidad de sumar un 6n+1 con un 6n+1 ó con “menos”, porque no sería múltiplo de 6.
Sin embargo, en un par como 26, que sólo es múltiplo de 2 y 13, un múltiplo de 3 sí puede gastar un primo que en principio es útil; 15+11=26.

La razón de que esto funcione es simple. Supongamos un par que es múltiplo de los números a,b,c, o sea 2n=2abc. Y supongamos que el primo “a”, ó el “b” ó el “c” pueden sumar 2n con otro primo; tendremos, tomando cualquiera de las letras:

[texx]a+p=2abc
 [/texx]

despejando

[texx]p=2abc-a=a\cdot(2bc-1)
 [/texx]

Entonces p es producto de [texx]a\cdot(2bc-1)
 [/texx], dos números distintos de 1, luego no es primo, no puede serlo.

Esto viene a estar relacionado con lo que se llama el Lema de Euclides

Si los pares son de la forma [texx]2^n[/texx], no son múltiplos de ningún primo salvo el propio 2. Así que todos los impares son coprimos con [texx]2^n[/texx], todos son útiles en principio.

Pero ya sean de la forma que sean, la cantidad de coprimos a un lado y otro de “n” es la misma; porque se emparejan simétricamente para sumar el par; y sólo lo suman coprimos con coprimos y no coprimos con no coprimos; por lo explicado.

En teoría de números todo es modular, nada tiene que ver que con la casualidad.

Esto que pongo no puede ser casualidad:

Las cantidades de parejas a partir del par 200002 van siendo éstas para los pares sucesivos que siguen:

par: 200002 cantidad de parejas: 1172

par:200004 cantidad de parejas: 2547

par: 200006 cantidad de parejas: 1070

par: 200008 cantidad de parejas: 1113

par: 200010 cantidad de parejas: 2884

par: 200012 cantidad de parejas: 1065

par: 200014 cantidad de parejas: 1085

etc.

...

Si metemos un cero en medio de 200002, tenemos un número par unas diez veces más grande; y vemos cómo por término medio las pareja aumentan pese a bajar la densidad de primos:

par: 2000002 cantidad de parejas: 7332

par: 2000004 cantidad de parejas: 14588

par: 2000006 cantidad de parejas: 7335

par: 2000008 cantidad de parejas: 7591

par: 2000010 cantidad de parejas: 19553

par: 2000012 cantidad de parejas: 8766

par: 2000014 cantidad de parejas: 7497

par: 2000016 cantidad de parejas: 16914

etc.

...

El número más alto entre las anteriores es 2884, el número más bajo entre éstas últimas cantidades es 7332; considerablemente mayor pese a ser el mínimo y el otro el máximo. Esta tendencia se observa en la medida que tomamos pares con una cifra más; así, bajando por término medio la densidad de primos respecto de los compuestos, surgen más parejas si tomamos segmentos cuyos números aumentan en una cifra (que supone muchas unidades, segmentos bastante separados, pero lo cierto es que la densidad baja y las parejas suben; al menos hasta donde se ha podido comprobar según la capacidad de los ordenadores actuales).

Si fuera por casualidad, tendría que cumplirse la probabilidad, tendría que haber al menos (como muy poco) un bajón de vez en cuando en la cantidad de parejas; qué sé yo, que hubiera “sólo” 20, 90...; pero no pasa.

Y son millones de números los que se pueden comprobar programando. Tajantemente afirmo que no puede ser casualidad.

Sin embargo, no puedo afirmar que se cumpla la conjetura, porque los número pueden ser tan grandes como queramos y no puedo comprobar si esto pasa siempre; quién me dice a mí que a partir de un par grandísimo no empieza a descender el número de parejas por termino medio (algo muy raro tendría que pasar, desde luego, no es ésa la tendencia y no se ve qué podría ocasionar tal desastre).

Si la conjetura se pudiera demostrar por probabilidad, primero habría que descubrir condiciones relacionadas con la distribución de los números primos; y aplicar la probabilidad a números muy restringidos. Pero las condiciones que tú tomas las veo insuficientes para poder afirmar que se podría demostrar por probabilidad. Cada número es un mundo porque todo esto depende de cómo se factorice en primos el par, y se factorizan de infinitas formas diferentes porque hay infinitos primos; todos, menos el 2 y el 3, son de la forma 6n+1 y 6n-1, sí, pero hay muchos más compuestos de esa forma que primos; compuestos impares, pares, múltiplos de muchos primos diferentes. Al principio, con números pequeños, sí que hay muchos, pero después con los grandes, ya no.

Para verlo, piensa en esto:

[texx]n!=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot...\cdot n
 [/texx]

[texx]n!+2
 [/texx] no será primo, pues estamos sumando dos mútliplos de 2. El siguiente a ese número es [texx]n!+2+1=n!+3
 [/texx], que tampoco es primo porque ambos sumandos son múltiplos de 3; así que será múltiplo de 3. Y así si seguimos sumando 4,5,6... hasta n, podemos encontrar todos los números consecutivos que queramos, sin límite, tal que son compuestos; y entre ellos habrá muchísimos que respondan a esta forma [texx]6x+1[/texx] y a ésta [texx]6x-1[/texx].

Saludos.
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juan luis
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« Respuesta #5 : 09/08/2018, 08:00:34 am »

Hola Feriva, respecto al ejemplo que me pones de un saco  con 15 judías y 5 garbanzos y otro con 17 judías y 3 garbanzos . En el primer saco la probabilidad de sacar un garbanzo es  0.25 y en el segundo la probabilidad es 0.15 , pero la probabilidad de que al sacar uno de cada saco sean los dos garbanzos es 0.0375. como solo podemos sacar 20 pares,  el número de pares de garbanzos será   20*0.0375 = 0.75.

Para el caso de los números pares, por ejemplo para  [texx]P=6a+8[/texx]  para 20 pares tenemos:

        [texx]Np=\displaystyle\frac{a}{2}[/texx]  luego  [texx]a=40[/texx]
Corresponderia a  [texx]P=6*40+8=248[/texx]

Como hablamos de números pares hablaremos de columna de la izquierda y columna de la derecha.
La probabilidad de que al elegir (no sacar, porque todos los números pares tienen los elementos que forman la tabla de una forma determinada y ordenada, de ninguna manera como en un saco)  un elemento de la columna  de la izquierda sea primo será:

          [texx]P(Priz)=\displaystyle\frac{3}{ln(3a)}[/texx]
La probabilidad de que sea primo  un elemento de la columna de la derecha será:

           [texx]P(Prde)=\displaystyle\frac{6}{ln(6a)}-\displaystyle\frac{3}{ln(3a)}[/texx]

La probabilidad de que sean los dos primos será:

            [texx]P(Priz,Prde)=\displaystyle\frac{3}{ln(3a)}*\left\{{\displaystyle\frac{6}{ln(6a)}-\displaystyle\frac{3}{ln(3a)}}\right\}[/texx]

La cantidad de pares de primos será:

             [texx]Ppr=\displaystyle\frac{a}{2}*\displaystyle\frac{3}{ln(3a)}*\left\{{\displaystyle\frac{6}{ln(6a)}-\displaystyle\frac{3}{ln(3a)}}\right\}[/texx]

Sustituyendo a por 40 y operando  tenemos que  Ppr = 6  aproximadamente y en las tablas  tenemos  6 según podemos comprobar.
La razón por la que aunque la densidad de primos disminuya para números cada vez mayores, este genere más pares de primos (aunque parece una paradoja ) esto es debido a que la densidad de pares de compuestos en la tabla, aumenta mas rápidamente que disminuye la densidad de primos, es decir la densidad de pares libres disminuye ,mientras los primos siguen aumentando.

         [texx]Np-Pco=Pli[/texx]     se demuestra que   [texx]Pli<Pr[/texx]    luego    [texx]Ppr=Pr-Pli[/texx]

Por eso aumenta el número de pares de primos, aunque la densidad disminuya  seguidamente te mando la tabla del número 248


      7+241 P
    13+235
    19+229 P
    25+223
    31+217
    37+211 P
    43+205
    49+199
    55+193
    61+187
    67+181 P
    73+175
    79+169
    85+163
    91+157
    97+151 P
  103+145
  109+139 P
  115+133
  121+127     
Gracias por tu ayuda, un saludo
 
           

   
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« Respuesta #6 : 09/08/2018, 02:41:00 pm »



Hola, Juan Luis. Puede que tengas razón, ya te digo que mi impresión era muy aventurada; esto es para mirarlo despacio y, además, como cada “goldbachero” tenemos nuestro lenguaje y nuestro enfoque personal, pues me hago un poco de lío.

No obstante, un detalle: cuando pones el ejemplo con el número 604, de entre lo que he mirado así por encima, te salen, según la tabla y la fórmula, 12 parejas. Y hay 14; una formada con el 3, pero la otra no:

3, 601
5, 599
11, 593
17, 587
41, 563
47, 557
83, 521
101, 503
113, 491
137, 467
173, 431
(251, 353)
257, 347
293, 311

No sé si es un despiste.

Para el 602 sí hay 12 parejas.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 11/08/2018, 06:24:09 am »

Hola Feriva, efectivamente  ha sido un despiste mio,  porque al contar los primos de la tabla tomé  el 251 como compuesto. Como puedes comprobar el error esta en el número de primos en la fórmula general.

        [texx]Ppr=Pr+Pco-Np[/texx]

        [texx]Ppr=56+6-50=12[/texx] 
Pero como 251 es primo y lo he tomado como compuesto, entonces seria:

        [texx]Ppr=57+6-50=13[/texx]  pares de primos   

El par 3+601 no lo tengo en cuenta porque para números grandes,  el error que se comete es muy pequeño por eso solo utilizo las sucesiones siguientes:

         [texx]6x+1[/texx]  para la sucesión de   [texx]P=6a+8[/texx] 

          [texx]6x-1[/texx]  para la sucesión  de   [texx]P=6a+4[/texx]

           [texx](6x+1) , (6x-1)[/texx]  para la sucesión   de  [texx]P=6a+6[/texx]     que son los números pares múltiplos de 3

 Muchas gracias por corregir el error de la tabla.

Un saludo
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« Respuesta #8 : 11/08/2018, 06:40:34 am »


 Muchas gracias por corregir el error de la tabla.

Un saludo

Aclarado, gracias a ti.

Un saludo.
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« Respuesta #9 : 11/08/2018, 11:16:33 am »

Hola, Juan Luis. He hecho un programa para probar la fórmula en los 6a+4 y en ocasiones difiere en una pareja; pero nunca en más; al menos probando tandas de números consecutivos en distintos intervalos (tomando  valores incluso para “a” igual un millón) yo no he encontrado que difiera en más de una. 

Por poner un simple ejemplo, aquí te pongo una lista desde el par 120004 hasta el 120298:

(donde pone cantidad de primos, es cantidad de parejas de primos)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

También he observado esa diferencia de 1 para algunos tomando números más pequeños:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


No sé si esta diferencia de un primo arriba o abajo la habías observado tú.

En cualquier caso me parece impresionante cómo funciona; llevo mucho tiempo buscando relaciones entre las parejas de la conjetura y otros asuntos de primos y nunca he encontrado nada tan bueno; es muy difícil relacionar cualquier cosa en estos asuntos. Enhorabuena.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 12/08/2018, 07:43:09 am »

Hola feriva, si que hay una diferencia de 1 porque en la formula no tenemos en cuenta el primo 3 luego en la formula, en el caso de que forme par con [texx]\pm{3}[/texx]  siempre tendrá una unidad menos.

Se puede comprobar porqué pasa esto, en la lista siguiente:

       [texx]70=67+3[/texx]
       [texx]130=127+3[/texx]
       [texx]154=151+3[/texx]
       [texx]190=193-3[/texx]
       [texx]238=241-3[/texx]
       [texx]286=283+3[/texx]
       [texx]322 \textrm{ con la formula me salen 11 pares de primos  no 10}[/texx]
       [texx]370=367+3[/texx]
       [texx]406=409-3[/texx]
       [texx]418=421-3[/texx]
       [texx]430=433-3[/texx]
       [texx]442=439+3[/texx]
       [texx]490=487+3[/texx]
       [texx]550=547+3[/texx]
       [texx]574=571+3[/texx]
       [texx]598=601-3[/texx]

En cuanto al par 322 tenemos lo siguiente:

        [texx]Np=27[/texx]
        [texx]Pr= 34[/texx]
        [texx]Pco=4[/texx]

Aplicando la formula tenemos.

         [texx]Ppr=Pr+Pco-Np=34+4-27=11[/texx]

los pares de primos son los siguientes:

         [texx]5+317[/texx]
         [texx]11+311[/texx]
         [texx]29+293[/texx]
         [texx]41+281[/texx]
         [texx]53+269[/texx]
         [texx]59+263[/texx]
         [texx]71+251[/texx]
         [texx]83+239[/texx]
         [texx]89+233[/texx]
         [texx]131+191[/texx]
         [texx]149+173[/texx]

Gracias por haberlo comprobado con el programa.

Un saludo   
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« Respuesta #11 : 12/08/2018, 08:24:50 am »

Hola feriva, si que hay una diferencia de 1 porque en la formula no tenemos en cuenta el primo 3 luego en la formula, en el caso de que forme par con [texx]\pm{3}[/texx]  siempre tendrá una unidad menos.



Gracias a ti. No sé si he podido cometer un error al programar; seguiré mirando.

Le he contado esto a un amigo del foro, Sqrmatrix, un verdadero programador que además sabe muchas matemáticas (no un aficionado como yo). Si lo mira y me comenta te cuento; o tú mismo podrías verlo siguiendo este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105624.msg416086;topicseen#msg416086

Saludos.
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« Respuesta #12 : 12/08/2018, 10:11:18 am »


Ah, me habías hecho ver magia, pero no hay magia; es más sencillo si lo miras así:

Un número par es 2n; hay una cantidad de números hasta “n”, la mitad, y otra mitad hasta “2n”.

Las parejas posibles tomando números de un lado y otro son del tipo: p+p (primo más primo) c+c (compuestos) ó p+c (ó c+p, es igual para lo que se va a hacer) que es del tipo mixto.

(consideraré el 1 entre los compuestos formando pareja mixta o bien pareja de compuestos a la hora de contar; por comodidad).

Considero los números desde 1 hasta n-1, así que la cantidad en el lado izquierdo es “n-1”; y en el otro considero los números desde “n+1” hasta “2n-1”; y la cantidad de números en ese lado es la misma “n-1”. Por tanto la cantidad de parejas es n-1:

Np=n-1.

(Para que quede claro qué números estoy tomando, no voy a usar “n-1” en las ecuaciones, sólo Np).

La cantidad de parejas de primos (cantidad llamada Ppr) contiene dos primos por cada pareja; y la cantidad de primos que contienen entre todas será entonces: [texx]2\cdot Ppr[/texx]

Las parejas mixtas (que tú no consideras y llamaré Pm) entre todas contienen Pm primos; uno por cada una de ellas.

Y las de compuestos, Pco, ningún primo.

La totalidad de parejas es entonces

[texx]Np=(n-1)=Ppr+Pco+Pm
 [/texx]

La cantidad de primos distintos (incluyendo el 2 -que formará una pareja mixta- y excluyendo “n” si fuera primo) de 1 hasta 2n es

[texx]Pr=2\cdot Ppr+Pm
 [/texx]

despejamos Ppr

[texx]\dfrac{Pr-Pm}{2}=Ppr
 [/texx]

y sustituimos en la fórmula anterior

[texx]Np=\dfrac{Pr-Pm}{2}+Pco+Pm
 [/texx]

Multiplicamos la ecuación por 2 a ambos lados

[texx]2Np=Pr-Pm+2Pco+2Pm
 [/texx]

o sea

[texx]2Np=Pr+2Pco+Pm
 [/texx]

es decir

[texx]Pm=2Np-Pr-2Pco
 [/texx]

(estas parejas Pm mixtas (cantidad de ellas) son los que tú no usas, así que voy a sustituir en la primera ecuación por esta última expresión para que desaparezca la variable Pm)

[texx]Np=Ppr+Pco+(2Np-Pr-2Pco)
 [/texx]

operando

[texx]Np=Ppr+2Np-Pr-Pco
 [/texx]

Y despejando Ppr

[texx]-Np+Pr+Pco=Ppr
 [/texx]

O sea, tu fórmula para calcular parejas de primos

[texx]Ppr=Pr+Pco-Np
 [/texx]

Así que si tomas cualquier par (e incluyes el 2 y el 3 entre los primos, y los de la forma 6x+1y 6x-1) te valdrá igual, sin distinguir formas (o al menos eso me dicen las operaciones algebraicas, si no me he equivocado).

(Vuelvo a recordar que el 1 lo meto entre los no primos, con los compuestos).

Lamentablemente (ya me gustaría equivocarme) de esa fórmula no se pueden sacar conclusiones sobre la cantidad de primos, es obvio que pase eso, no es más que una cuenta; pero no dice nada sobre cuántas parejeas o primos pude haber.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 13/08/2018, 07:54:22 am »

Hola, Juan Luis, se me ha ocurrido desarrollar un poco esto.

Me hice un lío con eso de separar compuestos pares e impares, no es necesario; lo del spoiler no vale.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

La cuestión es ésta

[texx]Ppr=Pr+Pco-Np
 [/texx]

Haciendo Np=n-1

[texx]Ppr=Pr+Pco-(n-1)
 [/texx]

La cantidad de primos es

*[texx]Pr=(2\cdot Ppr+Pm)
 [/texx]

sustituyendo Pr en la primera, entonces

[texx]Ppr=(2\cdot Ppr+Pm)+Pco-(n-1)
 [/texx]

Despejando Ppr

[texx]0=Ppr+Pm+Pco-(n-1)
 [/texx]

Ahora, la cantidad de compuestos total es todos los que hay en [texx]Pco
 [/texx] más todos los que hay en las parejas mixtas; que son [texx]2Pco+Pm
 [/texx]

Si despejamos Pco en la ecuación de antes, tenemos

[texx]-Ppr-Pm+(n+1)=Pco
 [/texx]

la cantidad tatal de compuestos se queda escrita así entonces

[texx]2(-Ppr-Pm+(n+1))+Pm
 [/texx]

o sea

[texx]-2Ppr-Pm+2(n+1)
 [/texx]

Ahora, si la cantidad de parejas de primos (Ppr) fuera cero, la cantidad de compuestos sería

[texx]-Pm+2(n+1)
 [/texx]

Como por la igualdad señalada con *, tenemos

[texx]Pr=(2\cdot Ppr+Pm)
 [/texx]

En caso de Ppr=0 tenemos [texx]Pr=Pm)
 [/texx], y sustituyendo en lo anterior, la cantidad de compuestos quedaría en

[texx]-Pr+2(n+1)
 [/texx]

Lógico, pues los 2(n+1) son todos los números considerados, (donde no entran n y 2n). Teniendo en cuenta que el 1 es no primo, pues al restar todos los primos nos quedan los compuestos si metemos el 1 con ellos, como he considerado yo.

Nada que no supiéramos, no veo la forma de encontrar algo con esto; de memento.


Saludos.
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« Respuesta #14 : 18/08/2018, 06:32:30 am »

Hola fariva, despreciando las parejas que se puedan formar con el 2 , el 3 y los múltiplos de 3, con las sucesiones 6x+1  y  6x-1  eliminamos de golpe las parejas formadas por números pares y las parejas que contienen un múltiplo de 3. Estas sucesiones, siguen manteniendo todos los primos  (menos el 2 y  el 3) que están implicados en cada una de las 3 sucesiones de los números pares.

En la sucesión [texx]6a+4[/texx]  solo forman parejas de primos, los primos de la sucesión  [texx]6x-1[/texx]

En la sucesión [texx]6a+6[/texx]  en la columna de la izquierda de la tabla, todos los primos pertenecen a la sucesión [texx]6a+1[/texx] y en la columna de la derecha  todos los primos pertenecen  a la sucesión  [texx]6x-1[/texx]

En la sucesión [texx]6a+8[/texx]  solo forman parejas de primos , los primos de la sucesión  [texx]6x+1[/texx]

Para el par  [texx]P=6a+4=2n[/texx] despejando  [texx]a=\displaystyle\frac{n-2}{3}[/texx]  y [texx]Np=\displaystyle\frac{n-2}{6}[/texx] si n es impar le sumamos 3 al numerador y [texx]Np=\displaystyle\frac{n+1}{6}[/texx]

Aplicando la ley de los grandes números  tenemos:

(1)      [texx]Pco=\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln(2n)}+\displaystyle\frac{3n}{ln(2n)*lnn}-\displaystyle\frac{3n}{2(lnn)^2)}[/texx]

De la formula general  [texx]Ppr=Pr+Pco-Np[/texx]  para que no hayan parejas de primos se tiene que cumplir que:

       [texx]Pr+Pco-Np=0[/texx]  despejando  [texx]Pco[/texx] tenemos:

(2)       [texx]Pco=Np-Pr=\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln2n}[/texx]  igualando (1) con (2)  tenemos que:

           [texx]\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln(2n)}=\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln(2n)}+\displaystyle\frac{3n}{ln(2n)*lnn}-\displaystyle\frac{3n}{2(lnn)^2}[/texx]

Para que no tengamos primos tendrá que ser

          [texx]\displaystyle\frac{3n}{ln(2n)*lnn}-\displaystyle\frac{3n}{2(lnn)^2}=0[/texx]  sacamos factor común   [texx]\displaystyle\frac{3n}{lnn}[/texx]

         [texx]\displaystyle\frac{3n}{lnn}\left\{{\displaystyle\frac{1}{ln2+lnn}-\displaystyle\frac{1}{lnn+lnn}}\right\}=0[/texx] luego esta claro que:

          [texx]\displaystyle\frac{1}{ln2+lnn}>\displaystyle\frac{1}{lnn+lnn}[/texx]   para n>2 luego sera [texx]\neq{0}[/texx] y siempre  [texx]\geq{1}[/texx]

Para el par  [texx]P=6a+8=2n[/texx]  despejamos  [texx]a=\displaystyle\frac{n-4}{3}[/texx]  y  [texx]Np=\displaystyle\frac{n-4}{6}[/texx]  si n es impar sumamos 3 al numerador yseria  [texx]Np=\displaystyle\frac{n-1}{6}[/texx]

Para    [texx]2n=6a+8[/texx]  pasa lo mismo que para  [texx]2n=6a+4[/texx]

Para el par  [texx]P=6a+6=2n[/texx] despejando  [texx]a=\displaystyle\frac{n-3}{3}[/texx]  y  [texx]Np=\displaystyle\frac{n-3}{3}[/texx]

En este caso Pco es muy diferente de los dos casos anteriores

(3)          [texx]Pco=\displaystyle\frac{n-3}{3}-\displaystyle\frac{2(n-3)}{ln(2(n-3))}+\displaystyle\frac{3(n-3)}{(ln(2(n-3)))^2}[/texx]

Para que no hayan primos sera

(4)          [texx]Pco=Np-Pr=\displaystyle\frac{n-3}{3}-\displaystyle\frac{2(n-3)}{ln(2(n-3))}[/texx]  igualando (3) con (4) resulta que:

               [texx]\displaystyle\frac{3(n-3)}{(ln(2(n-3)))^2}=0[/texx]  pero como podemos comprobar  [texx]3(n-3)>(ln(2(n-3)))^2[/texx]

 luego el resultado sera  [texx]\geq{\geq{1}}[/texx]

 Como vemos no podemos generalizar los números pares  porque el comportamiento de los pares  múltiplos de tres, es muy diferente del comportamiento  de los que no lo son.
 
      gracias y un saludo
     
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« Respuesta #15 : 18/08/2018, 11:10:59 am »

Hola, Juan Luis.

 A ver si lo miro más en estos días y hago pruebas haciendo algún programa; aunque así de primeras sigo sin ver seguro lo de la ley de los grandes números. En cualquier caso, mi opinión no vale para dar por aceptado nada (te diga que sí o que no). Tendría que pasar por aquí un matemático y juzgarlo con el debido rigor.

Cita
Como vemos no podemos generalizar los números pares  porque el comportamiento de los pares  múltiplos de tres, es muy diferente del comportamiento  de los que no lo son.

Con esto, ¿quieres decir que tu trabajo propone una demostración para todos los pares que no son múltiplos de 3? Es por confirmar si lo estoy entendiendo bien.


Gracias, saludos.
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« Respuesta #16 : 21/08/2018, 03:56:37 pm »

Hola Feriva, en este estudio trato de demostrar que la conjetura es cierta para las  tres sucesiones de números pares. En la respuesta anterior no pongo la demostración de  [texx]6a+8[/texx]  porque es similar a  [texx]6a+4[/texx]  pero si que pongo la demostración de  [texx]6a+6[/texx] ( que es la sucesión de todos los números pares que son múltiplos de 3 ) .

Seguidamente te mando un PDF donde hago un símil de la formación de parejas de primos en las tres clases de números pares ( donde se ve que la formación de parejas de primos es muy diferente en los pares múltiplos de 3) .

Un saludo 

* goldbach4.pdf (548.18 KB - descargado 14 veces.)
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« Respuesta #17 : 22/08/2018, 05:56:01 pm »

Hola Feriva, en este estudio trato de demostrar que la conjetura es cierta para las  tres sucesiones de números pares. En la respuesta anterior no pongo la demostración de  [texx]6a+8[/texx]  porque es similar a  [texx]6a+4[/texx]  pero si que pongo la demostración de  [texx]6a+6[/texx] ( que es la sucesión de todos los números pares que son múltiplos de 3 ) .

Seguidamente te mando un PDF donde hago un símil de la formación de parejas de primos en las tres clases de números pares ( donde se ve que la formación de parejas de primos es muy diferente en los pares múltiplos de 3) .

Un saludo 

Muchas gracias, Juan Luis.

Si se trata entonces de propuesta de demostración ya sí que lo tiene que mirar un matemático, no es lo mismo que decir un trabajo donde se analizan u observan cosas. Esperemos que alguno se interese.

Un Saludo.
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« Respuesta #18 : 23/08/2018, 03:07:00 pm »

Hola Feriva, gracias por haberme dado tu opinión sobre mi estudio sobre la conjetura, me apasiona poder debatir sobre esta conjetura.

Gracias, un saludo
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