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Autor Tema: Dado un grupo y un subgrupo definir si es normal  (Leído 3050 veces)
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manooooh
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« : 23/07/2018, 01:46:25 am »

Hola

Dado el conjunto [texx]\begin{matrix}A&=&\left\lbrace1,-1,x,-x,x^2,-x^2\right\rbrace&&\text{con}&x^3=1\end{matrix}[/texx] y la operación [texx]\cdot[/texx] que denota el producto, hallar el conjunto cociente del subgrupo [texx]\langle-1\rangle[/texx] y definir si es subgrupo normal.



En primer lugar ya probé que es grupo (no me pidieron indicar si es conmutativo).

Ahora lo que viene no sé si está bien:

Entonces lo que hice fue operar a cada elemento de [texx]A[/texx] con [texx]-1[/texx] a través de [texx]\cdot[/texx]; me termina dando [texx]A[/texx]. Por tanto [texx]\langle-1\rangle=\{1,-1,x,-x,x^2,-x^2\}=A[/texx]. Luego indiqué que como el grupo ES conmutativo (pues las triangulares de la tabla coinciden) entonces no hay distinción entre clases laterales (a izquierda y a derecha)*.

¿¿Por tanto el conjunto cociente es [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=A[/texx] y, como es conmutativo, el subgrupo es normal??
¿Estoy fallando en ambas cosas?

¿Hay que usar de alguna manera a los subgrupos que generan al grupo? Yo los encontré y son [texx]4[/texx]: [texx]\{1\},\{1,-1\},\{1,x,x^2\},\{1,-x,x,-x,x^2,-x^2\}[/texx] (y luego armé la red de subgrupos). Nunca entendí si esto del conjunto cociente tenía algo que ver con estos, en este ejemplo, [texx]4[/texx] subgrupos normales... Quizás no lo entiendo porque el [texx]\langle-1\rangle[/texx] NO genera al grupo (no está dentro de estos cuatro); sin embargo he hecho ejercicios donde me pedían hallar el conjunto cociente de uno de estos cuatro subgrupos, y acá no aparece :BangHead:.

Gracias!
Saludos

* No tiene nada que ver, pero esto de clases laterales a izquierda y a derecha me hace acordar a los límites en Cálculo de una variable real, ¿no? :risa: ("hallar el límite a izquierda y a derecha"). Como sabemos que en Cálculo de varias variables NO podemos acercarnos a un punto a través de solamente dos lados sino de infinitas curvas, ¿en teoría de grupos existen grupos de "mayores órdenes" donde ya no se hable de "dos clases laterales" sino de "infinitas clases" (me imagino algo como [texx](G,\ast)^3[/texx])? ¿Esto existe, con qué nombre?
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« Respuesta #1 : 23/07/2018, 05:53:22 am »

Hola

Hola

Dado el conjunto [texx]\begin{matrix}A&=&\left\lbrace1,-1,x,-x,x^2,-x^2\right\rbrace&&\text{con}&x^3=1\end{matrix}[/texx] y la operación [texx]\cdot[/texx] que denota el producto, hallar el conjunto cociente del subgrupo [texx]\langle-1\rangle[/texx] y definir si es subgrupo normal.



En primer lugar ya probé que es grupo (no me pidieron indicar si es conmutativo).

Ahora lo que viene no sé si está bien:

Entonces lo que hice fue operar a cada elemento de [texx]A[/texx] con [texx]-1[/texx] a través de [texx]\cdot[/texx]; me termina dando [texx]A[/texx]. Por tanto [texx]\langle-1\rangle=\{1,-1,x,-x,x^2,-x^2\}=A[/texx]. Luego indiqué que como el grupo ES conmutativo (pues las triangulares de la tabla coinciden) entonces no hay distinción entre clases laterales (a izquierda y a derecha)*.

Efectivamente el grupo es conmutativo y por tanto la normalidad es una cuestión trivial: cualquier subgrupo es normal.

Cita
¿¿Por tanto el conjunto cociente es [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=A[/texx] y, como es conmutativo, el subgrupo es normal??
¿Estoy fallando en ambas cosas?

El conjunto cociente no dice nada sobre la normalidad del subgrupo; más bien el hecho de ser normal es lo que permite hablar de conjunto cociente sin detallar si nos referimos a clases por la derecha o a clases por la izquierda.

Por otra parte el cociente [texx]A/A[/texx] tiene una única clase [texx][A][/texx], es decir, es el grupo formado por un sólo elemento, el grupo trivial.

Cita
¿Hay que usar de alguna manera a los subgrupos que generan al grupo?

No. Yo diría los subgrupos que "forman" el grupo. Se habla de que un elemento o conjunto de elementos genera un grupo, no de que un subgrupo genera el grupo (un subgrupo simplemente se genera a sí mismo).

Cita
Yo los encontré y son [texx]4[/texx]: [texx]\{1\},\{1,-1\},\{1,x,x^2\},\{1,-x,x,-x,x^2,-x^2\}[/texx] (y luego armé la red de subgrupos). Nunca entendí si esto del conjunto cociente tenía algo que ver con estos, en este ejemplo, [texx]4[/texx] subgrupos normales... Quizás no lo entiendo porque el [texx]\langle-1\rangle[/texx] NO genera al grupo (no está dentro de estos cuatro); sin embargo he hecho ejercicios donde me pedían hallar el conjunto cociente de uno de estos cuatro subgrupos, y acá no aparece :BangHead:.

Es que no acabo de ver que intentas ahí; a veces es útil encontrar un elemento que genera al grupo (si existe) para saber que éste es cíclico y manipuarlo mejor; en particular manipular mejor sus subgrupos y cocientes. Pero insisto que no sé exactamente si te refieres a eso.

Por otra parte tu grupo está generado por el elemento [texx]-x[/texx] o también por [texx]-x^2[/texx].

El grupo es cíclico isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_6[/texx].

Cita
* No tiene nada que ver, pero esto de clases laterales a izquierda y a derecha me hace acordar a los límites en Cálculo de una variable real, ¿no? :risa: ("hallar el límite a izquierda y a derecha"). Como sabemos que en Cálculo de varias variables NO podemos acercarnos a un punto a través de solamente dos lados sino de infinitas curvas, ¿en teoría de grupos existen grupos de "mayores órdenes" donde ya no se hable de "dos clases laterales" sino de "infinitas clases" (me imagino algo como [texx](G,\ast)^3[/texx])? ¿Esto existe, con qué nombre?

En principio no tiene mucho sentido; en un grupo definimos una operación que implica dos elementos; si no es conmutativa, eso es lo que obliga a distinguir entre operar a derecha o izquierda.

Saludos.
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Gustavo
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« Respuesta #2 : 23/07/2018, 01:05:15 pm »

Hola,

Entonces lo que hice fue operar a cada elemento de [texx]A[/texx] con [texx]-1[/texx] a través de [texx]\cdot[/texx]; me termina dando [texx]A[/texx]. Por tanto [texx]\langle-1\rangle=\{1,-1,x,-x,x^2,-x^2\}=A[/texx].

En general, si tomas un elemento y lo multiplicas por todos los elementos del grupo, te va a quedar de nuevo el grupo. (¿Por qué?)

Para hallar el subgrupo generado por -1 debes multiplicar a -1 por él mismo (hasta obtener el elemento neutro del grupo).
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« Respuesta #3 : 23/07/2018, 06:03:40 pm »

Hola

Estoy perdido :¿eh?:. Por favor vayamos por partes:

¿¿Por tanto el conjunto cociente es [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=A[/texx] y, como es conmutativo, el subgrupo es normal??
¿Estoy fallando en ambas cosas?

El conjunto cociente no dice nada sobre la normalidad del subgrupo; más bien el hecho de ser normal es lo que permite hablar de conjunto cociente sin detallar si nos referimos a clases por la derecha o a clases por la izquierda.

Por otra parte el cociente [texx]A/A[/texx] tiene una única clase [texx][A][/texx], es decir, es el grupo formado por un sólo elemento, el grupo trivial.

¿O sea que está bien decir que el grupo cociente es [texx]A/A[/texx]?

Contestalo en la parte final del mensaje donde trato de concluir el ejercicio.



Paréntesis

Por curiosidad, yo tengo anotado que se llama índice a la cantidad de elementos que tiene el grupo cociente, y se lo denota [texx][G:H]=\dfrac{|G|}{|H|}[/texx], donde [texx]G[/texx] es el grupo y [texx]H[/texx] subgrupo. ¿Es correcto esto?

Si lo anterior es correcto podríamos hallar el índice del grupo cociente del enunciado. Luego

[texx][A:\langle{\bf\color{red}-}1\rangle]=\dfrac{|A|}{1}=\dfrac 61=6,[/texx]

que coincide con la cantidad de elementos de [texx]\langle1\rangle[/texx], ¿verdad?

Cierro paréntesis



Por otra parte tu grupo está generado por el elemento [texx]-x[/texx] o también por [texx]-x^2[/texx].

El grupo es cíclico isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_6[/texx].

Pero esto no tiene nada que ver con lo que pide el ejercicio, ¿verdad?

Paréntesis

¿Cómo sabés esto último? ¿Por la misma cantidad de elementos que tienen ambos? ¿No te faltó decir la operación en [texx]\mathbb{Z}_6[/texx]? (Creo que esto me lo habías dicho y se daba por entendido que el grupo es  [texx](\mathbb{Z}_6,\overline +)[/texx]..... o  [texx](\mathbb{Z}_6,\overline\cdot)[/texx] no recuerdo :¿eh?:). EDIT: aquí está. Era con la suma de clases.

Pero hiciste trabajo de más, me parece.

Cierro paréntesis

Para concluir, lo único que tengo mal sería la parte de

Por tanto el conjunto cociente es [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=A[/texx]

donde debería decir [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=\{1\}=e[/texx], ¿correcto? ¿Con qué notación contestarían? ¿En [texx]\{1\}[/texx], [texx]e[/texx] o ambas están bien?

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Gracias a ambos! Espero sus respuestas.

Saludos

EDIT: Corregido.
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« Respuesta #4 : 24/07/2018, 05:19:34 am »

Hola

Para concluir, lo único que tengo mal sería la parte de

Por tanto el conjunto cociente es [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=A[/texx]

donde debería decir [texx]A/\langle-1\rangle=A/A=\{1\}=e[/texx], ¿correcto? ¿Con qué notación contestarían? ¿En [texx]\{1\}[/texx], [texx]e[/texx] o ambas están bien?

No; como te dijo Gustavo, el subgrupo que genera [texx]-1[/texx] no es [texx]A[/texx], sino que es: [texx]<-1>=\{1,-1\}[/texx] porque las sucesivas potencias de [texx]-1[/texx] dan [texx]1[/texx] ó [texx]-1.[/texx]

Entonces [texx]A/<-1>\equiv \{[1 ],[x ],[ x^2]\}[/texx] donde [texx][1 ]=\{1,-1\},[/texx] [texx][x ]=\{x,-x\},\quad [ x^2 ]=\{x^2,-x^2\}[/texx].

Cita
¿O sea que está bien decir que el grupo cociente es [texx]A/A[/texx]?

No, porque como dije antes, [texx]<-1>\neq A[/texx].

Lo que quise indicar es que si realmente tuvieses [texx]A/A[/texx] ese cociente es isomorfo al grupo trivial.

Cita
Por curiosidad, yo tengo anotado que se llama índice a la cantidad de elementos que tiene el grupo cociente, y se lo denota [texx][G:H]=\dfrac{|G|}{|H|}[/texx], donde [texx]G[/texx] es el grupo y [texx]H[/texx] subgrupo. ¿Es correcto esto?

Si.

Cita
Si lo anterior es correcto podríamos hallar el índice del grupo cociente del enunciado. Luego

[texx][A:\langle1\rangle]=\dfrac{|A|}{1}=\dfrac 61=6,[/texx]

que coincide con la cantidad de elementos de [texx]\langle1\rangle[/texx], ¿verdad?

En primer lugar creo que  tienes una errata porque hablamos del subgrupo [texx]<-1>[/texx] y no de [texx]<1>[/texx].

Sería entonces:

[texx][A:\langle-1\rangle]=\dfrac{|A|}{2}=\dfrac 62=3,[/texx]

ya que vimos que [texx]<-1>=\{1,-1\}[/texx].

Cita
Por otra parte tu grupo está generado por el elemento [texx]-x[/texx] o también por [texx]-x^2[/texx].

El grupo es cíclico isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_6[/texx].

Pero esto no tiene nada que ver con lo que pide el ejercicio, ¿verdad?

Si, eso es un comentario adicional, en absoluto necesario para resolver el ejercicio. Todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto de grupos [texx]\mathbb{Z}_k[/texx]; entonces cuando uno coge práctica en si es capaz de identificar el grupo con el correspondiente prodcuto de grupos de ese tipo le será más fácil manejarlo, porque los grupos de enteros módulo [texx]k[/texx]  son bien conocidos.

Cita
Paréntesis

¿Cómo sabés esto último? ¿Por la misma cantidad de elementos que tienen ambos? ¿No te faltó decir la operación en [texx]\mathbb{Z}_6[/texx]? (Creo que esto me lo habías dicho y se daba por entendido que el grupo es  [texx](\mathbb{Z}_6,\overline +)[/texx]..... o  [texx](\mathbb{Z}_6,\overline\cdot)[/texx] no recuerdo :¿eh?:). EDIT: aquí está. Era con la suma de clases.

En este caso efectivamente llega con fijarse en la cantidad de elementos: todos los grupos abelianos de orden [texx]6[/texx] son isomorfos a [texx]\mathbb{Z}_6[/texx]. Pero por ejemplo grupos abelianos de orden 4 hay dos salvo isomorfismo, [texx]\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2[/texx] y [texx]\mathbb{Z}_4[/texx]. Los [url?http://www.ub.edu/modeltheory/documentos/cga.pdf]grupos abelianos finitos[/url] están totalmente clasificados.

La operación es obviamente la suma.

Ciertamente cuando hablamos de isomorfismo, si queremos profundizar en él deberíamos detallar cual es. En este caso:

[texx]\mathbb{Z_6}\to A,\quad [n ]\to (-x)^n.[/texx]

Cita
Pero hiciste trabajo de más, me parece.

Si, todos esos comentarios son información extra.

Para terminar resumo lo que sería una respuesta al problema; vaya por delante que el enunciado tal como está escrito me parece malo por dos motivos:

1) No tiene nada que ver el hallar el grupo cociente con decidir si es normal. Es más lo segundo debería de ser anterior a lo primero. Si es normal podemos hablar de grupo cociente; sino simplemente hablamos de clases laterales y tenemos que especificar si son a izquierda o a derecha.

2) Dice "definir si es subgrupo normal". Esa frase para mi no tiene sentido. Lo lógico sería "decidir"; pero ¿qué es eso de definir si es subgrupo normal? La definición de subgrupo normal viene fijada de antemano.

Dicho esto un esbozo de la solución sería:

1) Notar que el grupo es abeliano.
2) De lo anterior todo subgrupo es normal.
3) [texx](-1)^1=-1,\quad (-1)\cdot (-1)=1[/texx] (el neutro) y por tanto [texx]<-1>=\{-1,1\}[/texx].
4) Concluir que [texx]A/<-1>=\{[1 ],[ x],[ x^2 ]\}[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 24/07/2018, 02:07:33 pm »

Hola,

En general, si tomas un elemento y lo multiplicas por todos los elementos del grupo, te va a quedar de nuevo el grupo. (¿Por qué?)

Para hallar el subgrupo generado por -1 debes multiplicar a -1 por él mismo (hasta obtener el elemento neutro del grupo).

Creo que no tiene que ver ambas cosas con el enunciado, ¿cierto?

De cualquier manera creo que la pregunta se contesta porque en general la operación es cerrada, o sea, cumple la ley de composición interna. ¿Verdad?

Sí tienen que ver.

Con respecto a la pregunta, esa no es la razón. Nota por ejemplo lo que pasa en los naturales con el producto usual (que no es grupo): si tomas el elemento 2 y lo multiplicas por todos los naturales, no te queda todo el conjunto de nuevo, sólo los pares, a pesar de que la operación es cerrada pues el producto de dos naturales es otro natural.

Lo importante es la existencia del inverso para cada elemento del grupo.

Pero te dije esto por la forma en la que querías hallar el subgrupo generado por -1, que no era correcta y que siempre te va a llevar a obtener todo el grupo, por lo dicho anteriormente.

Ya que estamos en esto, déjame recomendarte ésta respuesta de Arturo Magidin que habla sobre estructuras generadas por cierto conjunto, como en tu caso un subgrupo generado por un elemento. No tienes que conocer todas las estructuras de las que se hablan ahí, pero es algo que ocurre en otros contextos que verás luego.

Para terminar resumo lo que sería una respuesta al problema; vaya por delante que el enunciado tal como está escrito me parece malo por dos motivos:

1) No tiene nada que ver el hallar el grupo cociente con decidir si es normal. Es más lo segundo debería de ser anterior a lo primero. Si es normal podemos hablar de grupo cociente; sino simplemente hablamos de clases laterales y tenemos que especificar si son a izquierda o a derecha.

2) Dice "definir si es subgrupo normal". Esa frase para mi no tiene sentido. Lo lógico sería "decidir"; pero ¿qué es eso de definir si es subgrupo normal? La definición de subgrupo normal viene fijada de antemano.

A mí no me parece malo. Primero te pide calcular el conjunto cociente, que imagino se refiere al conjunto de clases laterales, y de eso puedes hablar sin saber si es o no normal. Con respecto a lo segundo, no sé si sea algo más común en el idioma en América del Sur, pero definir también se usa para decidir. De hecho aparece como acepción en la RAE.
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« Respuesta #6 : 24/07/2018, 07:57:44 pm »

Hola

Antes que nada muchas gracias a ambos como siempre por sus predisposiciones.



Ambos:

¡¡Pude entender cómo se hace!!

Luis, no he entendido nada de tu link pero te creo :risa:. Sí, fue una errata mía no ponerle el signo menos.

Gustavo, he leído el tuyo, los subgrupos aparecen como primer ejemplo :guiño:. ¡Guay!



Con respecto al enunciado déjenme que les transcriba literalmente cómo está formado. Fue tomado de un examen de mi universidad....:

Enunciado:

Dado el conjunto [texx]\begin{matrix}A&=&\left\lbrace1,-1,x,-x,x^2,-x^2\right\rbrace&&\text{con}&x^3=1\end{matrix}:[/texx]

1. Prueba que [texx](A,\cdot)[/texx] es grupo siendo [texx]\cdot[/texx] producto;

2. Halla la red de subgrupos. ¿Es el grupo cíclico?;

3. Para el subgrupo [texx]\left\langle-1\right\rangle[/texx] define el conjunto cociente. ¿Es subgrupo normal? Justificar.



¿Ahora qué tal? ¿Les parece bien o mal?

Yo creo que definir está bien puesto en este ejercicio, porque es como dice Gustavo.



De cualquier manera ya que estamos aquí va mi solución completa:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si no es molestia, ¿pueden corregir/mejorar mi resolución?

Saludos

* SubgruposDeA.jpg (10.01 KB - descargado 167 veces.)
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« Respuesta #7 : 25/07/2018, 03:05:44 pm »

Hola,

Yo lo veo bien. Sólo dos cosas. La primera es que el grupo es cíclico porque existe un elemento que lo genera. La segunda es que me parece raro que no se cambie la notación para el grupo cociente. A veces, cuando es muy claro el grupo de donde se toman los elementos, pues no hay problema, pero en general sí prefiero añadirle algo.
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« Respuesta #8 : 25/07/2018, 04:48:38 pm »

Hola

La segunda es que me parece raro que no se cambie la notación para el grupo cociente. A veces, cuando es muy claro el grupo de donde se toman los elementos, pues no hay problema, pero en general sí prefiero añadirle algo.

¿Te referís a mantener lo escrito por Luis, es decir [texx]A/<-1>=\{[1 ],[ x],[ x^2 ]\}[/texx]?

Saludos
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« Respuesta #9 : 25/07/2018, 05:57:16 pm »

Sí. Otra opción es [texx]\{ \overline 1,\overline x,\overline{x^2}\}[/texx].
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« Respuesta #10 : 25/07/2018, 06:07:11 pm »

Hola

Tenés razón, el grupo/conjunto cociente está formado por clases de equivalencia, y se las denotan de esas dos formas. Qué mal me enseñan "Matemática Discreta"...

Entendido. Gracias.

Saludos
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