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Autor Tema: Prueba \(f(x)=0,\forall x\in[0,1]\) si \(\big|f'(x)\big|\leq{\big|f(x)\big|}\)..  (Leído 3080 veces)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #20 : 19/07/2018, 05:13:39 »

Hola

   v)    [texx]\forall{\,x\in{[0,1]}}:\big|f(x)\big|\leq{\big|f(x_e)\big|}[/texx].

Ahora, al aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange al intervalo    [texx][0,x_e][/texx],     existe    [texx]c\in{(0,x_e)}[/texx]    tal que

[texx]\color{orange}\big|f(x_e)\big|\color{black}\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{hipótesis ii)}}\;\;\;\big|f(x_e)\big|-\big|f(0)\big|\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{Lagrange}}\;\;\;x_e\cdot{\big|f'(c)\big|}\;\;\;\underbrace{\leq}_{\textrm{hipotesis iii)}}\;\;\;{x_e\cdot{\big|f(c)\big|}}\;\;\;\underbrace{\color{orange}\leq{}}_{0<x_e\leq{}1}\;\;\;\color{orange}\big|f(c)\big|[/texx].


El naranja contradice claramente v) que es consecuencia de iv) si se da la desigualdad estricta, esto es, cuando    [texx]0<x_e<1[/texx].

Bien.

Saludos.
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« Respuesta #21 : 19/07/2018, 07:05:42 »

Para el caso particular    [texx]x_e=1[/texx]    el argumento y las hipótesis no varían. En este caso será    [texx]\big|f(1)\big|[/texx]    el extremo absoluto de la función, entonces al igual que en el caso general (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=104863.msg415100#msg415100), existe    [texx]c\in{(0,1)}[/texx]    tal que:

[texx]\color{orange}\big|f(1)\big|\color{black}\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{hipótesis ii)}}\;\;\;\big|f(1)\big|-\big|f(0)\big|\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{Lagrange}}\;\;\;1\cdot{\big|f'(c)\big|}\;\;\;\underbrace{\leq}_{\textrm{hipotesis iii)}}\;\;\;{1\cdot{\big|f(c)\big|}}\color{orange}=\big|f(c)\big|[/texx].

De la igualdad naranja, se deduce que    [texx]\big|f(c)\big|[/texx]    también es un extremo absoluto de la función.

Como,    [texx]c\in{(0,1)}[/texx]    no puede ser otra cosa que    [texx]c<1[/texx].    Al aplicar de nuevo el teorema de Lagrange al intervalo    [texx][0,c][/texx],    ha de existir    [texx]d\in{(0,c)}[/texx]    tal que:

[texx]\color{orange}\big|f(c)\big|\color{black}\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{hipótesis ii)}}\;\;\;\big|f(c)\big|-\big|f(0)\big|\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{Lagrange}}\;\;\;c\cdot{\big|f'(d)\big|}\;\;\;\underbrace{\leq}_{\textrm{hipotesis iii)}}\;\;\;{c\cdot{\big|f(d)\big|}}\;\;\;\underbrace{\color{orange}<}_{0<c<1}\;\;\;\color{orange}\big|f(d)\big|[/texx].

Otra vez la desigualdad naranja contradice v) consecuencia de iv).

Se puede concluir entonces que, suponer la función no idénticamente nula conduce al absurdo en cualquier caso.

Debería ser suficiente para probar lo que piden. ¿No?

Como siempre muy agradecido por las ayudas, en este caso particularmente a Luis Fuentes y Juan Pablo Sancho. Sin ellas no hubiese sido posible.

Saludos.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #22 : 19/07/2018, 08:43:00 »

Hola

Para el caso particular    [texx]x_e=1[/texx]    el argumento y las hipótesis no varían. En este caso será    [texx]\big|f(1)\big|[/texx]    el extremo absoluto de la función, entonces al igual que en el caso general (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=104863.msg415100#msg415100), existe    [texx]c\in{(0,1)}[/texx]    tal que:

[texx]\color{orange}\big|f(1)\big|\color{black}\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{hipótesis ii)}}\;\;\;\big|f(1)\big|-\big|f(0)\big|\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{Lagrange}}\;\;\;1\cdot{\big|f'(c)\big|}\;\;\;\underbrace{\leq}_{\textrm{hipotesis iii)}}\;\;\;{1\cdot{\big|f(c)\big|}}\color{orange}=\big|f(c)\big|[/texx].

De la igualdad naranja, se deduce que    [texx]\big|f(c)\big|[/texx]    también es un extremo absoluto de la función.

Como,    [texx]c\in{(0,1)}[/texx]    no puede ser otra cosa que    [texx]c<1[/texx].    Al aplicar de nuevo el teorema de Lagrange al intervalo    [texx][0,c][/texx],    ha de existir    [texx]d\in{(0,c)}[/texx]    tal que:

[texx]\color{orange}\big|f(c)\big|\color{black}\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{hipótesis ii)}}\;\;\;\big|f(c)\big|-\big|f(0)\big|\;\;\;\underbrace{=}_{\textrm{Lagrange}}\;\;\;c\cdot{\big|f'(d)\big|}\;\;\;\underbrace{\leq}_{\textrm{hipotesis iii)}}\;\;\;{c\cdot{\big|f(d)\big|}}\;\;\;\underbrace{\color{orange}<}_{0<c<1}\;\;\;\color{orange}\big|f(d)\big|[/texx].

Otra vez la desigualdad naranja contradice v) consecuencia de iv).

Se puede concluir entonces que, suponer la función no idénticamente nula conduce al absurdo en cualquier caso.

Debería ser suficiente para probar lo que piden. ¿No?

Como siempre muy agradecido por las ayudas, en este caso particularmente a Luis Fuentes y Juan Pablo Sancho. Sin ellas no hubiese sido posible.

Bien.

Saludos.
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